第一章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={0,2},则下列关系表示错误的是 (　　)
A.0∈A B.{2}∈A
C.⌀⊆A D.{0,2}⊆A
2.已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N= (　　)
A.{0,1} B.{0,-1}
C.{0} D.{1}
3.有下列四个命题,其中是真命题的是 (　　)
A.∀n∈R,n2≥n
B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m
C.∀n∈R,∃m∈R,m2 D.∀n∈R,n2 4.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则“x∈P”是“x∈∁RQ”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0 A.4 B.8
C.7 D.16
6.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|a≤x≤2a-1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a|a<-12或a>3 B.{a|a<1或a>3}
C.a|a<-12或a>1 D.{a|a≤1或a≥3}
7.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=a2+b2-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的 (　　)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 (　　)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩S)∩(∁SP) D.(M∩P)∪(∁VP)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩(∁UB)={1,4},(∁UA)∩B={5,6,7},则 (　　)
A.2∈A B.2∉B
C.A∩B={2,3} D.A∪(∁UB)={1,2,3,4}
10.已知U为全集,则下列说法正确的是 (　　)
A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=U
B.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀
C.若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=U
D.若A∪B=⌀,则A=B=⌀
11.下列说法正确的是 (　　)
A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题
B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件
C.命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0”
D.若“1 12.若命题“∃x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3≤0”是假命题,则k的值可能为 (　　)
A.-1 B.1 C.4 D.7
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.若命题p:∃x∈R,使x2-1>0,则¬p为　　　　　　. 
14.已知集合P={x|x2-x-2≤0},Q={x|0 15.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　. 
16.设集合M={1,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=　　　　;若集合A是由这k个元素(S1,S2,…,Sk)中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k})都有ai 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①B={x|-2 ②∁RB={x|-3a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
已知非空集合A={x|a 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.






18.(本小题满分12分)设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2}.
(1)求a,b的值及A,B;
(2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB).









19.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x +(a2-5)=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.







20.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.
(1)当a=3时,求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,且A≠⌀,求实数a的取值范围.








21.(本小题满分12分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.






22.(本小题满分12分)已知p:∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立;q:∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.



















答案全解全析
一、单项选择题
1.B　∵集合A={0,2},∴0∈A,{2}⊆A,⌀⊆A,{0,2}⊆A,故B中关系表示错误.
故选B.
2.C　因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,
解得a=0.此时M∩N={0},故选C.
3.B　对于选项A,令n=12,则122=14<12,故A错;
对于选项B,令n=1,则∀m∈R,m·1=m显然成立,故B正确;
对于选项C,令n=-1,则m2<-1显然无解,故C错;
对于选项D,令n=-1,则(-1)2<-1显然不成立,故D错.故选B.
4.A　∵Q={x|x≤0或x≥5},
∴∁RQ={x|0 ∴x∈P⇒x∈∁RQ,但x∈∁RQx∈P.
故“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分不必要条件.
5.B　由已知得,集合A={2,3},B={1,2,3,4,5}.因为A⊆C⊆B,所以集合C的个数为25-2=8.
6.B　因为A∪B=A,所以B⊆A.
①若B=⌀,则a>2a-1,解得a<1;
②若B≠⌀,则a≥1,2a-1<-2或a≥1,a>3,
解得a>3.
综上,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.
7. C　由φ(a,b)=0,得a2+b2-a-b=0,a2+b2-a-b=0⇒a2+b2=a+b⇒a2+b2=(a+b)2⇒ab=0且a≥0,b≥0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充分条件;反之,由a与b互补,可得a≥0,b≥0,且ab=0,从而有a2+b2=(a+b)2⇒a2+b2=|a+b|=a+b⇒φ(a,b)=a2+b2-a-b=0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的必要条件.
故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件.故选C.
8.C　题图中的阴影部分是M∩S的子集,但该子集中不含集合P中的元素,且该子集包含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.
二、多项选择题
9.ACD　∵A∩(∁UB)={1,4},
∴1,4∈A且1,4∉B.
∵(∁UA)∩B={5,6,7},
∴5,6,7∈B,且5,6,7∉A.
∵A∪B=U,∴2∈A,2∉B或2∈B,2∉A,则2∈A∩(∁UB)或2∈(∁UA)∩B,不符合题意,∴2∈A且2∈B.同理,可得3∈A且3∈B.
综上,A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},
A∪(∁UB)={1,2,3,4}.
故选ACD.
10.ACD　A说法正确,因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),A∩B=⌀,所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=U;B说法错误,若A∩B=⌀,则集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C说法正确,因为(∁UA)∩(∁UB)=
∁U(A∪B),A∪B=⌀,所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=U;D说法正确,A∪B=⌀,即集合A,B中均无任何元素,可得A=B=⌀.
11.CD　x=2是无理数,x2=2是有理数,故A错;
x=-1,y=-2时,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件,故B错;
命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0”,故C正确;
若“1 12.BC　由题可知,命题“∀x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3>0”是真命题.
当k2-1=0时,k=1或k=-1,
若k=1,则原不等式为3>0,恒成立,符合题意;
若k=-1,则原不等式为8x+3>0,不恒成立,不符合题意;
当k2-1≠0时,
依题意得k2-1>0,16(1-k)2-4(k2-1)×3<0,
即(k+1)(k-1)>0,(k-1)(k-7)<0,
解得1 综上所述,实数k的取值范围为{k|1≤k<7}.故选BC.
三、填空题
13.答案　∀x∈R,x2-1≤0
解析　命题p:∃x∈R,使x2-1>0为特称命题,∴¬p为全称命题,
即∀x∈R,x2-1≤0.
14.答案　{x|2 解析　由题意得P={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},Q={x|0 ∴∁RP={x|x<-1或x>2},
∴(∁RP)∩Q={x|2 故答案为{x|2 15.答案　{m|m<2}
解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m.
又由∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.
16.答案　10;6
解析　易得集合M的含有两个元素的子集的个数为10,则k=10.
这10个子集分别为{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4}, {2,6},{3,4},{3,6},{4,6},
因为aibi≠ajbj,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个,{1,3},{2,6}中只能取一个,{2,3},{4,6}中只能取一个,
故10个元素中要去掉4个,则k的最大值为6.
四、解答题
17.解析　选①:因为A是非空集合,
所以8-a>a, (2分)
解得a<4. (4分)
因为B={x|-2 所以a≥3或8-a≤-2, (7分)
解得a≥3或a≥10. (9分)
综上所述,a的取值集合是{a|3≤a<4}. (10分)
选②:因为A是非空集合,所以8-a>a, (2分)
解得a<4. (4分)
因为∁RB={x|-3 所以B={x|x≤-3或x≥5}, (6分)
因为A∩B=⌀,所以a≥-3,8-a≤5,a<4,
解得3≤a<4. (9分)
故a的取值集合是{a|3≤a<4}. (10分)
选③:因为A是非空集合,所以8-a>a, (2分)
解得a<4. (4分)
因为A∩B=⌀,B={x|x≥a2+6},A∪B={x|x>a},
所以a2+6=8-a, (7分)
解得a=-2或a=1, (9分)
故a的取值集合是{-2,1}. (10分)
18.解析　(1)因为A∩B={2},
所以2是方程x2+ax+12=0和x2+3x+2b=0的唯一公共解,(2分)
则22+2a+12=0,22+3×2+2b=0,
解得a=-8,b=-5, (4分)
所以A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6},
B={x|x2+3x-10=0}={x|(x-2)(x+5)=0}={2,-5}. (6分)
(2)由A={2,6},B={2,-5},可得全集U=A∪B={-5,2,6}, (8分)
所以∁UA={-5},∁UB={6}, (10分)
所以(∁UA)∪(∁UB)={-5,6}. (12分)
19.解析　由题意得A={1,2}, (1分)
∵A∪B=A,∴B⊆A, (2分)
∴B可能为⌀或{1}或{2}或{1,2}. (3分)
当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,
解得a<-3;(5分)
当B={1}时,有1+1=-2(a+1),1×1=a2-5,无解; (7分)
当B={2}时,有2+2=-2(a+1),2×2=a2-5,
解得a=-3; (9分)
当B={1,2}时,有1+2=-2(a+1),1×2=a2-5,无解. (11分)
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.(12分)
20.解析　(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},又B={x|x≤1或x≥4}, (2分)
∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}. (4分)
(2)∵B={x|x≤1或x≥4},
∴∁RB={x|1 由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,得A⫋∁RB, (8分)
又A={x|2-a≤x≤2+a},A≠⌀,
∴2-a≤2+a,2-a>1,2+a<4,∴0≤a<1. (11分)
∴a的取值范围是{a|0≤a<1}. (12分)
21.证明　必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则x02+2ax0+b2=0,x02+2cx0-b2=0, (2分)
两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0. (4分)
∵b≠0,∴a-c≠0,
∴x0=b2c-a,
将此式代入x02+2ax0+b2=0中,
可得b2+c2=a2,故∠A=90°. (6分)
充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,
∴b2=a2-c2.① (7分)
将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0. (9分)
将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0. (10分)
故两方程有公共实数根x=-(a+c). (11分)
∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(12分)
22.解析　当m∈{m|-1≤m≤1}时,22≤m2+8≤3, (2分)
若∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立,
则a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1, (5分)
故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1. (6分)
若q为真命题,则∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立, (7分)
∴Δ=a2-8>0,∴a>22或a<-22, (10分)
故命题q为假命题时,-22≤a≤22. (11分)
综上可知,当p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为-22≤a≤-1. (12分)