湘教版高中数学必修第一册第一章集合与逻辑章末检测含解析

章末检测(一)　集合与逻辑

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则綈p是(　　)

A．∃x>1，x2－4≥0　　　 B．∃x≤1，x2－4<0

C．∀x≤1，x2－4≥0  D．∀x>1，x2－4≥0

解析：选D　命题是特称命题，则否定是全称命题，即∀x>1，x2－4≥0，故选D.

2．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是(　　)

A．N⊆M  B．M∪N＝M

C．M∩N＝N  D．M∩N＝{2}

解析：选D　∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误．

3．满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：选C　因为M∪{a}＝{a，b}，所以M⊆{a，b}且b∈M，所以M可能为{b}或{a，b}，共2个．

4．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|1≤x≤2}  B．{x|1<x<2}

C．{x|1<x≤2}  D．{x|1≤x<2}

解析：选D　∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．

又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．

5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a<1}  B．{a|a>3}

C．{a|a≤1}  D．{a|a≥3}

解析：选C　由p是真命题，可知a≤(x)min，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.

6．已知非空集合M，P，则M⃘P的充要条件是(　　)

A．∀x∈M，x∉P

B．∀x∈P，x∈M

C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P

D．∃x∈M，x∉P

解析：选D　由M⃘P，可得集合M中存在元素不在集合P中，所以M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.

7．已知条件p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)

A．{m|m≥8}  B．{m|m＞8}

C．{m|m＞－4}  D．{m|m≥－4}

解析：选B　由4x－m＜0，得x＜.由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，即m＞8，故选B.

8．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)

解析：选A　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．下列四个命题中的假命题为(　　)

A．∃x∈N，1<4x<3

B．∃x∈Z，5x－1＝0

C．∀x∈Q，x2－1＝0

D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

解析：选ABC　由1<4x<3得<x<，因此不存在x∈N满足条件，因此选项A中命题为假命题；由5x－1＝0得x＝∉Z，因此选项B中命题为假命题；由x2－1＝0得x＝±1，不具有任意性，因此选项C中命题为假命题；x2＋x＋2＝＋>0恒成立，因此选项D中命题为真命题．故选A、B、C.

10．集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是(　　)

A．ST  B．T∁US

C．F∁US  D．T∁UF

解析：选AC　由题图知S是T的子集，S与F无公共元素，则A、C正确．

11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　)

A．当x＝，y＝时，z＝1

B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子

C．A⊗B中有3个元素

D．A⊗B中所有元素之和为3

解析：选BCD　当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，元素之和为3，C、D正确．

12．下列说法中正确的是(　　)

A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件

B．命题p：∀x∈R，x2>0，则綈p：∃x∈R，x2<0

C．命题“若a>b>0则<”的否定是假命题

D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件

解析：选AC　对于选项A，a>1，b>1时，易得ab>1故A正确；对于选项B，全称命题的否定为特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2>0的否定为綈p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a>b>0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．命题“同位角相等”的否定为________________．

解析：全称命题的否定是特称命题．

答案：有的同位角不相等

14．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，若A＝B，则实数m＝________．

解析：若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.

答案：1

15．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．

解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，

则{x|x≤a}{x|x<－1}，

∴a<－1.

答案：{a|a<－1}

16．已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.

(1)A∩M＝________；

(2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________．

解析：(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，

所以A∩M＝{x|－3<x<5}．

(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，

所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，

又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R.

所以解得－2≤b<－1.

所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．

答案：(1){x|－3<x<5}　(2){b|－2≤b<－1}

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)三角形的三个内角都为60°；

(4)存在三角形至少有两个锐角．

解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．

(2)是全称命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题．

(3)是全称命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题．

(4)是特称命题，否定为：每个三角形至多有一个锐角，假命题．

18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|(x－m)(x－m－6)≤0}，其中m∈R.

(1)当m＝2时，求A∪B；

(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分条件，求m的取值范围．

解：A＝{x|x2－5x－6≤0}＝{x|－1≤x≤6}，

B＝{x|m≤x≤m＋6}，

(1)当m＝2时， B＝{x|2≤x≤8}，

所以A∪B＝{x|－1≤x≤8}．

(2)因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分条件，

所以A⊆∁RB，

又∁RB＝{x|x<m或x>m＋6}，

所以m>6或m＋6<－1，即m>6或m<－7，

所以实数m的取值范围为(－∞，－7)∪(6，＋∞)．

19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0，a∈R}．

(1)若1∈A，求实数a的值；

(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0，b∈R}，且A∩B＝{3}，求A∪B.

解：(1)∵1∈A，∴1－a＋3＝0，∴a＝4.

(2)∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，

∴解得

∴A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，

B＝{x|2x2－9x＋9＝0}＝，

∴A∪B＝.

20．(本小题满分12分)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．

解：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；

若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>.

又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝.

21．(本小题满分12分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．

问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}．

(1)当a＝2时，求A∪B；

(2)若________，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：(1)当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．

(2)若选择①A∪B＝B，则AB，

因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，

又B＝{x|－1≤x≤3}，

所以解得0≤a≤2，

所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．

若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则AB，

因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，

又B＝{x|－1≤x≤3}，

所以解得0≤a≤2，

所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．

若选择③，A∩B＝∅，

因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}，

所以a－1>3或a＋1<－1，

解得a>4或a<－2.

所以实数a的取值范围是{a|a>4或a<－2}．

22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．

(1)当a＝3时，求A∩B；

(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，且A≠∅，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，

又B＝{x|x≤1或x≥4}，

∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．

(2)∵B＝{x|x≤1或x≥4}，

∴∁RB＝{x|1<x<4}．

由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，

得A∁RB，

又A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，A≠∅，

∴∴0≤a<1.

∴a的取值范围是{a|0≤a<1}．