人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

教学内容解析

《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.

本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.

二、教学目标设置

1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.

2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的

关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区

间的判断方法.

3. 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感

受学习、探索、发现的乐趣.

教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.

教学难点：理解函数零点存在的判定条件.

三、学生学情分析：

通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过轴（次数不限），即曲线与轴一定有公共点（个数不限），可以用来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.

所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.

四、教学策略分析

1.教学方法的选定

在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用

了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.

在零点概念的教学上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二

次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，

我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨

论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理

解.

2.突破重、难点的策略

对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.

探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）的变式引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数，，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.

五、教学过程

六、板书设计