2023-2024学年安徽省六安市金安区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金安区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A. y=x2+1B. y=−x2+1C. y=2x+1D. y=−2x+1
2.如果反比例函数y=kx的图象经过点(1,−2)，那么k的值是( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
3.已知点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y34.大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是( )
A. 5 5+5
B. 15−5 5
C. 5 5−5
D. 15+5 5
5.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )
A. 4B. 4 2C. 6D. 4 3
6.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB的值为( )
A. 12
B. 22
C. 1
D. 33
8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是cm．( )
A. 92B. 6C. 163D. 8
9.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+(b−1)x+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC=90°，连结EF，则EF的最小值为( )
A. 3 3−32
B. 2 3−3
C. 3 3−3
D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若nm=37，则m+nm的值为______ ．
12.若抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为______ ．
13.如图，△ABC∽△CBD，AB=4，BD=6，则BC= ______ ．
14.如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)第一象限的图象上，连接AD．
(1)若OB=5，CD=3，则k= ______ ；
(2)若k=7，则OA2−AD2= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：|−2|+2sin30°−(− 3)2+(tan45°)−1．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
定义新运算：对于任意实数m、n都有m*n=m2−mn．
例如：−2*2=(−2)2−(−2)×2=8，根据以上知识解决下列问题：
求抛物线y=(x+2)*(−2)的顶点坐标．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3，求AB的长．
18.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2;
(1)把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．
19.(本小题10分)
学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm，BC=6cm.求零件的截面面积.参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60．
20.(本小题10分)
如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E．
(1)求证：△EFB∽△FDC；
(2)若AD=10，CD=6，求BE的长；
21.(本小题12分)
如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A(4,3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
(1)求函数y=kx+b和y=ax的表达式；
(2)已知点C(0,5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．
22.(本小题12分)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
(2)若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
(3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
23.(本小题14分)
如图，已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t(0(1)求A，B的坐标和直线BC的解析式；
(2)连接BP，求△CPB面积的最大值；
(3)已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A中，函数y=x2+1，x<0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y=−x2+1，x>0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y=2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y=−2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得：y=kx的图象经过点(1,−2)，则−2=k1，
解得：k=−2．
故选：C．
把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数y=kx(k≠0)的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内y随x的增大而增大．首先根据k<0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y1>0，y2>0，y3<0，最后再根据−4<−2得y1【解答】
解：∵y=kx，k<0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)，
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1>0，y2>0，y3<0，
又∵−4<−2，
∴y1∴y34.【答案】A
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点，
∴AP= 5−12AB，
即AB=2 5−1×10=(5 5+5)cm．
故选：A．
由黄金分割知：AP= 5−12AB，由此可求得AB的长．
本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵BC=8，AD是△ABC的中线，
∴CD=12BC=4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴ACBC=CDAC，
∴AC2=CD⋅BC=4×8=32，
∴AC=4 2．
故选：B．
根据AD是中线，得出CD=4，再证出△CBA∽△CAD，得出ACBC=CDAC，求出AC即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是证出△CBA∽△CAD，是一道基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1200×0.5=Fl，
即F=600l，是反比例函数，
又∵动力臂l>0，
故B选项符合题意．
故选：B．
直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接AD，CD，设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD= 10，OC=AC= 5，
在△ODA中，由等腰三角形三线合一得：∠OCD=90°，
则CD= OD2−OC2= 5，
∴sin∠AOB=CDOD= 5 10= 22，
故选：B．
连接AD，CD根据勾股定理可以得到OD=AD，则CD是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE=15cm，CD=8cm，AB/​/CD，
∴OF⊥AB，
∴OF=10cm，
∵AB/​/CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△ABO∽△CDO，
∴OFOE=ABCD，
∴1015=AB8，
解得：AB=163，
∴蜡烛火焰的高度是163cm，
故选：C．
过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE=15cm，CD=8cm，OF=10cm，AB/​/CD，然后利用平行线的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D从而可得△ABO∽△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y=ax2+(b−1)x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断．
本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【解答】
解：由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴函数y=ax2+(b−1)x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，
∴A符合条件，
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：取BC的中点Q，连接DQ，FQ，
∵F为AB的中点，
∴FQ=12AC，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AC=BCtanA=6 33=6 3，
∴FQ=3 3，
∵∠BEC=90°，
∴EQ=12BC=3，
当E、F、Q三点共线的时，EF的值最小，
∴EF=FQ−EQ=3 3−3．
故选：C．
根据锐角三角函数得到AC=6 3，再利用中位线定理得到FQ=3 3，最后根据E、F、Q三点共线的时，EF的值最小即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
11.【答案】107
【解析】解：m+nm=1+nm=1+37=107．
将分式m+nm化成含有nm的形式，再代入nm的值计算即可．
本题考查了分式的求值，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键．
12.【答案】9
【解析】解：∵抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，
∴36−4a=0，
∴a=9，
故答案为：9．
根据抛物线y=x2−6x+a与x轴只有一个公共点，得出36−4a=0，解出即可．
本题考查抛物线与x轴只有公共点、二次函数的性质，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
13.【答案】2 6
【解析】解：∵△ABC∽△CBD，
∴ABCB=CBDB，
∴CB2=AB⋅BD=24，
∵CB>0，
∴CB=2 6，
故答案为：2 6．
利用相似三角形的性质求解．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．
14.【答案】16 14
【解析】解：(1)∵点A在直线y=x上，AB⊥x，
∴xA=yA，即OB=AB，
∵OB=AB=5，CD=3，
∴AC=5−3=2，D点的横坐标为：5+3=8，
点D的坐标为：(8,2)，
∴k=8×2=16．
故答案为：16；
(2)设正方形的边长为a，AC=CD=a，
则A(t,t)，OB=AB=t，
∴OA= 2t，AD= 2a，
∵点D在反比例函数y=kx的图象上，k=7，
∴(t+a)(t−a)=7，即t2−a2=7，
∴OA2−AD2=( 2t)2−( 2a)2=2(t2−a2)=14．
故答案为：14．
(1)根据OB=AB=5，CD=3可以计算出点D的坐标为(8,2)，进而计算出k的值；
(2)设正方形的边长为a，A(t,t)，则OB=AB=t，AC=CD=a，利用等腰直角三角形的性质得OA= 2t，AD= 2a，点D在反比例函数y=kx的图象上，k=7，可得t2−a2=7，再代入计算OA2−AD2．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2+1−3+1=1．
【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16.【答案】解：根据题意知，
y=(x+2)2−(−2)(x+2)=x2+4x+4+2x+4=x2+6x+8=(x+3)2−1，
∴顶点坐为(−3,−1)．
【解析】利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案．
本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标，解题的关键是掌握新定义运算法则．
17.【答案】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2 3，
∴CD= 3，
∴BD=CD= 3，
由勾股定理得：AD= AC2−CD2=3，
∴AB=AD+BD=3+ 3，
答：AB的长是3+ 3．

【解析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18.【答案】解：(1)，(2)如图：

【解析】本题考查图形的平移变换及位似变换，注意图形的变换，看关键点作变换即可．
(1)把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可;
(2)延长OA1到A2，使OA2=2OA1，同法得到其余各点，顺次连接即可．
19.【答案】解：∵四边形AEFD为矩形，∠BAD=53°，
∴AD/​/EF，∠E=∠F=90°，
∴∠BAD=∠EBA=53°，
在Rt△ABE中，∠E=90°，AB=10，∠EBA=53°，
∴sin∠EBA=AEAB≈0.80，cs∠EBA=BEAB≈0.60，
∴AE=8，BE=6，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=90°−∠EBA=37°，
∴∠BCF=90°−∠FBC=53°，
在Rt△BCF中，∠F=90°，BC=6，
∴sin∠BCF=BFBC≈0.80，cs∠BCF=FCBC≈0.60，
∴BF=245，FC=185，
∴EF=6+245=545，
∴S矩形AEFD=AE⋅EF=8×545=4325，
S△ABE=12⋅AE⋅BE=12×8×6=24，
S△BCF=12⋅BF⋅CF=12×245×185=21625，
∴截面的面积=S矩形AEFD−S△ABE−S△BCF=4325−24−21625=531925cm2．
【解析】由四边形AEFD为矩形，可得AD/​/EF，则∠BAD=∠EBA，又AB=10cm，结合三角函数值可求出AE与BE的长度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，结合三角函数值可求出BF，CF的长度，由零件的截面面积=矩形AEFD的面积−△ABE的面积−△BCF的面积，即可得出结论．
本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠性质知，∠A=∠DEF=90°，
∴∠BEF+∠BFE=∠BEF+∠DEC=90°，
∴∠BFE=∠DEC，
∴△EFB∽△FDC；
(2)解：由折叠性质知，AD=DF=10，
∵CD=6，
∴CF= DE2−CD2= 102−62=8，
∵AD=BC=10，
∴BF=BC−CE=10−8=2．
【解析】(1)由折叠性质得∠DEF=90°，再根据互余性质得出△EFB和△EDC的两个锐角相等，便可由相似三角形的判定得出结论；
(2)由折叠性质得DE，再由勾股定理求得CE，由线段和差求得BE．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，注意对应相等关系．
21.【答案】解：(1)把点A(4,3)代入函数y=ax得：a=3×4=12，
∴反比例函数表达式为y=12x．
OA= 32+42=5，
∵OA=OB，
∴OB=5，
又∵点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为(0,−5)，
把B(0,−5)，A(4,3)代入y=kx+b得：
b=−54k+b=3
解得：k=2b=−5
∴一次函数的表达式为y=2x−5；
(2)如图，
∵点C(0,5)，B(0,−5)，
∴OB=OC，
∴x轴是线段BC的垂直平分线，
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴点M在x轴上，
又∵点M同时在一次函数y=2x−5上，
∴令y=0，则2x−5=0，解得x=52，
∴点M的坐标为(52,0)．
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
(1)利用待定系数法即可解答；
(2)根据MB=MC，OB=OC=5判断点M在x轴上，再由点M同时在一次函数y=2x−5图象上即可解答．
22.【答案】解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20−4t，
(1)当t=3秒时，CP=20−4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ= CP2+CQ2= 82+62=10cm；
(2)由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20−4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20−4t)×2t=20t−4t2cm2；
(3)分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20−4t20=2t15，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20−4t15=2t20，解得t=4011秒．
因此t=3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】(1)在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
(2)由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；
(3)应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．
本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
23.【答案】解：(1)令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)；
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(3,0)，C(0,3)代入解析式得：3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3；
(2)∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y=−x2+2x+3上，D在直线y=−x+3，
∴P(t,−t2+2t+3)，D(t,−t+3)，
∴PD=−t2+2t+3−(−t+3)=−t2+2t+3+t−3=−t2+3t，
∴S△CPB=12PD⋅OB=12(−t2+3t)×3=−32(t2−3t)=−32(t−32)2+278，
∵−32<0，
∴当t=32时，S△CPB有最大值，最大值为278，
∴△CPB面积的最大值为278；
(3)①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时，

∵PM⊥x轴，QF⊥x轴，
∴PD//EQ，
∵四边形PDEQ为平行四边形，
∴PD=QE，
∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y=−x2+2x+3上，E在直线y=−x+3，
∴Q(t+2,−t2−2t+3)，E(t+2,−t+1)，
∴QE=−t2−2t+3−(−t+1)=−t2−2t+3+t−1=−t2−t+2，
∴−t2+3t=−t2−t+2，
解得t=12；
②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时，

同①得出QE=−t+1−(−t2−2t+3)=t2+t−2，
∴−t2+3t=t2+t−2，
解得t1=1+ 52，t2=1− 52，
∵0∴t=1+ 52．
综上所述，t=12或1+ 52．
【解析】(1)令y=0，则−x2+2x+3=0，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线y=−x2+2x+3上，D在直线y=−x+3，得出P(t,−t2+2t+3)，D(t,−t+3)，从而得出PD=−t2+3t，然后由三角形的面积公式得出S△CPB=−32(t−32)2+278，再由函数的性质求最值即可；
(3)分四边形PDEQ为平行四边形和四边形PDQE为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出PD，EQ，再根据PD=EQ得出关于t的方程，解方程求出t即可．
本题考查二次函数的综合题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，函数的性质以及平行四边形的性质．