2021年安徽利辛县陈袁中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年安徽利辛县陈袁中学九年级上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则 AC 的长为
A. 2B. 4C. 6D. 8

2. 如图，在平面直角坐标系中，直线 OP 过点 1,3，则 tanα 的值是
A. 13B. 3C. 1010D. 31010

3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与 ⊙O 相切于点 D，若 ∠C=40∘，则 ∠CDA 的度数是
A. 110∘B. 115∘C. 120∘D. 125∘

4. 如图，A，B 是曲线 y=3x 上的点，经过 A，B 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段，若 S阴影=1，则 S1+S2=
A. 3B. 4C. 5D. 6

5. 如图，反比例函数 y1=kx 与一次函数 y2=ax+b 交于点 4,2，−2,−4 两点，则使得 y1A. −24
C. −24

6. 根据表中的二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与 x 轴
x⋯−1012⋯y⋯4−0.5−2−0.5⋯
A. 只有一个交点
B. 有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧
C. 有两个交点，且它们均在 y 轴同侧
D. 无交点

7. 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过 O 点作 OE⊥AC，交 AB 于点 E，若 BC=4，△AOE 的面积是 5，则下列说法错误的是
A. AE=5B. ∠BOE=∠BCE
C. CE⊥OBD. sin∠BOE=35

8. 矩形 ABCD 中，AD=8 cm，AB=6 cm．动点 E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2 cm/ s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1 cm/ s 的速度运动至点 D 停止．如图可得到矩形 CFHE，设运动时间为 x（单位：s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的
A. B.
C. D.

9. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

10. 已知二次函数的图象 0≤x≤3 如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A. 有最小值 0，有最大值 3B. 有最小值 −1，有最大值 0
C. 有最小值 −1，有最大值 3D. 有最小值 −1，无最大值

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 已知线段 AB=a，C，Cʹ 是线段 AB 的两个黄金分割点，则 CCʹ= ．

13. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则 sinA= ．

14. 如图，直线 y=−x+bb>0 与双曲线 y=kxx>0 交于 A，B 两点，连接 OA，OB，AM⊥y 轴于点 M，BN⊥x 轴于点 N，现有以下结论：① OA=OB；② △AOM≌△BON；③若 ∠AOB=45∘，则 S△AOB=k；④当 AB=2 时，AM=BN=1．其中结论正确的是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 求值：3cs245∘−sin30∘tan60∘+12sin60∘．

16. 已知二次函数的顶点坐标为 A1,9，且其图象经过点 −1,5．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该函数图象与 x 轴的交点为 B，C，求 △ABC 的面积．

17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A−2,1，B−3,2，C−1,4．
（1）以原点 O 为位似中心，在第二象限内画出将 △ABC 放大为原来的 2 倍后的 △A1B1C1．
（2）画出 △ABC 绕 C 点逆时针旋转 90∘ 后得到的 △A2B2C．

18. 如图，△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求 CD 的长．

19. 已知：如图，在 ⊙O 中，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，连接 OA，BD．
（1）若 AE=5，DE=1，求 OA 的长．
（2）若 OA∥BD，则 tan∠OAE 的值为多少?

20. 如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y=kx 相交于 A−1,2，B2,b 两点，与 y 轴相交于点 C．
（1）求 m，n 的值；
（2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求 △ABD 的面积；
（3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 S△PAB=S△DAB?若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，说明理由．

21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角 ∠MON∠MON=135∘ 的两边为边，用总长为 120 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形 OBDG 为直角梯形．
（1）若①②③的面积相等，则 OB 的长度为 m；
（2）设 OB=x m，四边形 OBDG 的面积为 y m2，
①求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；
②设①②③这三块区域的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1:S2:S3=3:2:1，求 GE:ED:DC．

22. 某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图 1，正方形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H，则 EF GH；（填“>”“=”或“<”）
（2）如图 2，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H，求证：EFGH=ADAB；
（3）如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90∘，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 DNAM 的值．

23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼 AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：
（1）根据测量方案和所得数据，第 组的数据无法算出大楼高度?
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75．
答案
第一部分
1. C【解析】∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC，即 63=4EC，
解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6．
2. A【解析】如图：作 PC⊥y 轴于点 C，
tanα=PCOC=13．
3. B【解析】连接 OD，如图，
∵CD 与 ⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90∘，
∴∠COD=90∘−∠C=90∘−40∘=50∘，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
而 ∠COD=∠A+∠ODA，
∴∠ODA=12∠COD=25∘，
∴∠CDA=∠ODC+∠ODA=90∘+25∘=115∘．
4. B【解析】∵A，B 是曲线 y=3x 上的点，
∴S1+S阴影=S2+S阴影=3，
又 ∵S阴影=1，
∴S1=S2=3−1=2，
∴S1+S2=4．
5. D
【解析】根据函数的图象可得：x 的取值范围是 −24．
6. B【解析】由题意可知抛物线过 −1,4，0,−0.5，1,−2，2,−0.5，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点在 −1,0 与 0,0 之间，且 x=1 时，y 取得最小值 −2，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在 2,0 与 3,0 之间，
∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，且它们分别在 y 轴两侧．
7. C【解析】A、过点 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥AB 于点 G，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，
∴OA=OD，
∴AF=FD=12AD=12BC=2，
∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90∘，
∴ 四边形 AGOF 是矩形，
∴OG=AF=2，
∵S△AEO=12AE⋅OG=5，
∴AE=10OG=102=5，
∴ 此选项的说法正确；
B 、 ∵OE⊥AC，
∴∠EOC=90∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠ABC+∠EOC=180∘，
∴E，B，C，O 四点共圆，
∴∠BCE=∠BOE，
∴ 此选项的说法正确；
C、 ∵AO=CO，OE⊥AC，
∴OE 是 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE，
在 Rt△BEC 中，由勾股定理得：BE=52−42=3，
∴AB=3+5=8，
∴AC=AB2+BC2=82+42=45，
∴AO=12AC=25，
∴EO=AE2−AO2=52−252=5，
∴OE≠BE，
∵∠EOC=90∘，
∴EC 是直径，
∴EC 与 OB 不垂直；
此选项的说法不正确；
D、 sin∠BOE=sin∠BCE=BEEC=35，
∴ 此选项的说法正确．
8. A
9. D【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义可知：
A选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故此选项正确．
10. C
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 5−2a
【解析】∵ 线段 AB=a，C，Cʹ 是线段 AB 的两个黄金分割点，
∴ 较小线段 ACʹ=BC=3−52a，则 CCʹ=AB−ACʹ−BC=a−2×3−52a=5−2a．
13. 35
【解析】过点 B 作 BD⊥AC，
∵AB=12+22=5，BC=3，AC=22+42=25，
∴S△ABC=12×3×2=12×25×BD，解得：BD=355，
在 Rt△ABD 中，sinA=BDAB=3555=35．
14. ①②③
【解析】设点 Ax1,y1，Bx2,y2，
因为点 A，B 在双曲线 y=kx 上，
所以 x1⋅y1=x2⋅y2=k．将 y=−x+b 代入 y=kx 中，整理得：x2−bx+k=0，
所以 x1⋅x2=k，
又因为 x1⋅y1=k，
所以 x2=y1，x1=y2，
所以 ON=OM，AM=BN．
在 △OMA 和 △ONB 中，
OM=ON,∠OMA=∠ONB,AM=BN.
所以 △AOM≌△BON，②正确；
所以 OA=OB，
所以①正确；
③作 OH⊥AB 于点 H，如图 1 所示．
因为 OA=OB，∠AOB=45∘，△AOM≌△BON，
所以 ∠AOH=∠BOH=22.5∘，∠AOM=∠BON=22.5∘．
在 △AOM 和 △AOH 中，
∠OMA=∠OHA=90∘,∠AOM=∠AOH=22.5∘,OA=OA.
所以 △AOM≌△AOH，
同理：△BON≌△BOH，
所以 △AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，
所以
S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON=12k+12k=k.
③正确；
④延长 MA，NB 交于 G 点，如图 2 所示．
因为 NG=OM=ON=MG，BN=AM，
所以 GB=GA，
所以 △ABG 为等腰直角三角形，
当 AB=2 时，GA=GB=22AB=1，
因为 OM，ON 不确定，
所以无法得出 AM=AN=1，④错误．
综上所述：结论正确的是①②③．
第三部分
15. 3cs245∘−sin30∘tan60∘+12sin60∘=3×12−12×3+12×32=32−32+34=34.
16. （1） 设抛物线解析式为 y=ax−12+9，
把 −1,5 代入得 −1−12a+9=5，解得 a=−1，
∴ 抛物线解析式为 y=−x−12+9．
（2） 当 y=0 时，−x−12+9=0，解得 x1=4，x2=−2，
∴B，C 两点的坐标为 −2,0，4,0，
∴S△ABC=12×9×4+2=27．
17. （1） 如图 1，△A1B1C1 为所作．
（2） 如图 2，△A2B2C 为所作．
18. ∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴BABC=BDBA，
∵AB=6，BD=4，
∴6BC=46，
∴BC=9，
∴CD=BC−BD=9−4=5．
19. （1） ∵ 直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，
∴OD⊥AB，
设 AO=x，则 DO=x，
∵DE=1，
∴EO=x−1，
在 Rt△AOE 中：AE2+EO2=AO2，
∴52+x−12=x2，解得：x=3，
∴AO=3．
答：AO 的长为 3．
（2） ∵OA∥BD，
∴∠OAB=∠EBD，
∵ 直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，
∴AE=BE，EO⊥AB，
在 △AOE 和 △BDE 中，
∠OAE=∠DBE,AE=BE,∠OEA=∠DEB,
∴△AOE≌△BDE，
∴EO=ED，
∵AO=DO，
∴OE=12AO，
∴∠OAE=30∘，
∴tan∠OAE=33．
答：tan∠OAE 的值为 33．
20. （1） ∵A−1,2 在双曲线 y=kx 上，
∴2=k−1，
解得，k=−2，
∴ 反比例函数解析式为：y=−2x，
∴b=−22=−1，
则点 B 的坐标为 2,−1，
∴−m+n=2,2m+n=−1,
解得 m=−1,n=1,
答：m 的值为 −1，n 的值为 1．
（2） 对于 y=−x+1，当 x=0 时，y=1，
∴ 点 C 的坐标为 0,1，
∵ 点 D 与点 C 关于 x 轴对称，
∴ 点 D 的坐标为 0,−1，
∴S△ABD=12×2×3=3．
答：△ABC 的面积为 3．
（3） P 点坐标为 −1,0 或 3,0 或 0,3．
【解析】对于 y=−x+1，当 y=0 时，x=1，
∴ 直线 y=−x+1 与 x 轴的交点坐标为 0,1，
当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为 a,0，
S△PAB=12×∣1−a∣×2+12×∣1−a∣×1=3，
解得，a=−1或3，
当点 P 在 y 轴上时，设点 P 的坐标为 0,c，
S△PAB=12×∣1−c∣×2+12×∣1−c∣×1=3，
解得，c=−1或3，根据题意 c=−1 舍去；
∴P 点坐标为 −1,0 或 3,0 或 0,3．
21. （1） 20
【解析】由题意可知，∠MON=135∘，∠EOB=∠D=∠DBO=90∘，
∴∠EGO=∠EOG=45∘，
∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，
设 OB=CF=DE=x m，则 GE=OE=BD=13120−3x=40−xm，
∵ ①②③的面积相等，
∴1240−x2=12⋅x40−x，
∴x=20 或 40（舍去），
∴BC=20 m．
（2） ① y=x+x+40−x2⋅40−x=−12x2+8000② ∵S1:S2:S3=3:2:1，
∴1240−x2=12−12x2+800，
∴x=403或40（舍去），
∴EG=40−403=803，ED=403，DC=23EG=1609，
∴EG:DE:DC=803:403:1609=6:3:4．
22. （1） =
【解析】如图 1 中，过点 A 作 AP∥GH，交 BC 于点 P，过点 B 作 BQ∥EF，交 CD 于点 Q，交 AP 于点 T．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90∘，
∴ 四边形 AGHP，四边形 BEFQ 都是平行四边形，
∴ AP=GH，EF=BQ．
又 ∵ GH⊥EF，
∴ AP⊥BQ，
∴ ∠PBT+∠ABT=90∘，∠ABT+∠BAT=90∘，
∴ ∠CBQ=∠BAT，
在 △ABP 和 △BCQ 中，
∠BAP=∠CBQ,AB=BC,∠ABP=∠C,
∴ △ABP≌△BCQ，
∴ AP=BQ，
∴ EF=GH．
（2） 过点 A 作 AP∥EF，交 CD 于点 P，过点 B 作 BQ∥GH，交 AD 于点 Q，如图 2，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴ 四边形 AEFP，四边形 BHGQ 都是平行四边形，
∴ AP=EF，GH=BQ．
又 ∵ GH⊥EF，
∴ AP⊥BQ，
∴ ∠QAT+∠AQT=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠DAB=∠D=90∘，
∴ ∠DAP+∠DPA=90∘，
∴ ∠AQT=∠DPA．
∴ △PDA∽△QAB，
∴ APBQ=ADBA，
∴ EFGH=ADAB；
（3） 过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于点 R，交 BC 的延长线于点 S，如图 3，
则四边形 ABSR 是平行四边形．
∵ ∠ABC=90∘，
∴ 平行四边形 ABSR 是矩形，
∴ ∠R=∠S=90∘，RS=AB，AR=BS．
∵ AM⊥DN，
∴ 由（2）中的结论可得 DNAM=ARAB，
设 SC=x，则 AR=BS=3+x，
∵ ∠ADC=∠R=∠S=90∘，
∴ ∠ADR+∠RAD=90∘，∠ADR+∠SDC=90∘，
∴ ∠RAD=∠CDS，
∴ △ARD∽△DSC，
∴ DRSC=ADDC=ARDS=7.55=32，
∴ DR=32x，DS=23x+3，
在 Rt△ARD 中，
∵ AD2=AR2+DR2，
∴ 7.52=x+32+32x2，
整理得 13x2+24x−189=0，解得 x=3或−6313（舍去），
∴ AR=6，AB=RS=172，
∴ DNAM=ARAB=1217．
23. （1） 二
（2） 第一组：
在 Rt△ABD 中，AB⊥BC，由 ∠ADB=45∘，
得 AB=BD．
设 AB=BD=x，则 BC=12+x，
在 Rt△ABC 中，由 ∠C=37∘，
tan∠C=ABBC，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．
第三组：
在 Rt△ABF 中，AB⊥BP，由 ∠AFB=45∘，
得 AB=BF．
在 Rt△PEF 中，由 EF=9，∠P=37∘，
得 PF=12，
设 AB=BF=x，则 BP=12+x．
在 Rt△PAB 中，由 ∠P=37∘，tan∠P=ABBP，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．