2021年安徽肥西县长镇中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年安徽肥西县长镇中学九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=ax2+bx−3 经过点 1,1，则代数式 a+b 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 6

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是
A. sinA=35B. csA=35C. tanA=35D. tanA=45

3. 若 ab=cd，且 abcd≠0，则下列式子正确的是
A. a:c=b:dB. d:c=b:aC. a:b=c:dD. a:d=c:b

4. AB 为 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上．若 ∠ABD=42∘，则 ∠BCD 的度数是
A. 122∘B. 132∘C. 128∘D. 138∘

5. 已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC>BC，则下列结论正确的是
A. AB2=AC⋅BCB. BC2=AC⋅BC
C. AC=5−12BCD. BC=3−52AB

6. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，则 tan∠BDE 的值等于
A. 1013B. 1310C. 512D. 125

7. 如图，已知点 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的小三角形与 △ABC 相似，那么 D 点的位置最多有
A. 2 处B. 3 处C. 4 处D. 5 处

8. 若反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，则 m 的值可以是
A. 4B. 3C. 0D. −3

9. 如图，DE 是 △ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，CM 的延长线交 AB 于点 N，则 NM:MC 等于
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:5

10. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=3 cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1 cm 的速度向 B 点运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折线 AD−DC−CB 以每秒 3 cm 的速度运动，到达 B 点时运动同时停止．设 △AMN 的面积为 ycm2，运动时间为 x（秒），则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOC=60∘，则 ∠ABC 的度数是 ．

13. 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上一点，连接 AE 交 CD 于 F，则图中共有 对相似三角形．

14. 如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，求 AG:DF:CE= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 已知抛物线 y=−2x2+8x−6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小?

16. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A1,3，B4,2，C2,1．
（1）作出与 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 A1 的坐标；
（2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出 △A2B2C2，使 ABA2B2=12，并写出点 A2 的坐标．

17. 如图，D 是 AC 上一点，BE∥AC，AE 分别交 BD，BC 于点 F，G．若 ∠1=∠2，线段 BF，FG，FE 之间有怎样的关系?请说明理由．

18. 如图，点 M 是 △ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于 △ABC 的各边，所形成的三个小三角形 △1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，25．则 △ABC 的面积是 ．

19. 某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．经调查发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则每月销售量将减少 150 件，若每月销售量 y（件）与价格 x（元/件）满足关系式 y=kx+b．
（1）求 k，b 的值；
（2）问日用品单价应定为多少元时该商场每月获得利润最大，最大利润是多少?

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，连接 BF 并延长交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H．设 ADAB=EFAF=x．
（1）当 x=1 时，求 AG:AB 的值；
（2）设 S△GDHS△EBA=y，求 y 关于 x 的函数关系式；
（3）当 DH=3HC 时，求 x 的值．

21. 如图，⊙O 是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面 AB 宽 10 cm，水最深的地方深 3 cm，求输水管的半径．

22. 某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度．如示意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 β，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 α．测得 A，B 之间的距离为 4 米，tanα≈1.6，tanβ≈1.2．求建筑物 CD 的高度．

23. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 ym 与水平距离 xm 之间满足函数表达式 y=ax−42+h．已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m．
（1）当 a=−124 时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 125 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx−3a≠0 的图象经过点 1,1，
∴a+b−3=1，
∴a+b=4．
2. B【解析】在 Rt△ABC 中，BC=AB2−AC2=52−32=4．
A、 sinA=BCAB=45，选项错误；
D、 csA=ACAB=35，选项正确；
C、 tanA=BCAC=43，选项错误；
D、 tanA=BCAC=43，选项错误．
3. D【解析】A．a:c=b:d，得 ad=bc，故 A 错误；
B．d:c=b:a，得 bc=ad，故 B 错误；
C．a:b=c:d，得 bc=ad，故 C 错误；
D．a:d=c:b，得 ab=cd，故 D 正确．
4. B【解析】连接 AD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=42∘，
∴∠DAB=48∘，
∴∠BCD=180∘−48∘=132∘．
5. D
【解析】∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC>BC，
∴ BCAC=ACAB=5−12，即 AC2=BC⋅AB，故 A，B 错误；
∴ AC=5−12AB，故 C 错误；
BC=3−52AB，故 D 正确．
6. C【解析】连接 AD，
∵△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=5，
∴AD=AB2−BD2=12，
∴tan∠BAD=BDAD=512．
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90∘，∠BAD+∠ADE=90∘，
∴∠BDE=∠BAD，
∴tan∠BDE=tan∠BAD=512．
7. B【解析】∵ 截得的小三角形与 △ABC 相似，
∴ 过 P 作 AC 的垂线，作 AB 的垂线，作 BC 的垂线，所截得的三角形满足题意，则 D 点的位置最多有 3 处．
8. A【解析】因为反比例函数 y=m−3x 的图象在第一、第三象限，
所以 m−3>0，解得 m>3．
9. B【解析】∵DE 是 △ABC 的中位线，M 是 DE 的中点，
∴DM∥BC，DM=ME=14BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴DMBC=NMCN=14，
∴NMMC=13．
10. B
【解析】当点 N 在 AD 上时，即 0≤x≤1，S△AMN=12×x×3x=32x2，
点 N 在 CD 上时，即 1≤x≤2，S△AMN=12×x×3=32x，y 随 x 的增大而增大，所以排除 A，D；
当 N 在 BC 上时，即 2≤x≤3，S△AMN=12×x×9−3x=−32x2+92x，开口方向向下．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 150∘
【解析】在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，
∵∠AOC=60∘，
∴∠ADC=12∠AOC=30∘，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ABC=180∘−∠ADC=180∘−30∘=150∘．
13. 3
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴△ADF∽△EBA∽△ECF，共有 3 对相似三角形．
14. 1:2:1
【解析】连接 BD，BF．
∵AB⊥BC，BG⊥BE，
∴∠ABG=∠CBE．
AB=BC，BG=BE
∴△ABG≌△CBE．
∴AG=CE．
∵EF⊥BE,EF=BE，
∴∠EBF=45∘，BF=2BE．
∵BC⊥CD，BC=CD，
∴∠CBD=45∘，BD=2BC．
∴∠FBD=∠CBE，BDBC=BFBE=2．
∴△FBD∽△EBC．
∴DFEC=BDBF=2．
∴AG:DF:CE=1:2:1．
第三部分
15. （1） ∵y=−2x2+8x−6=−2x2−4x−6=−2x2−4x+4+8−6=−2x−22+2,
∴ 该抛物线的顶点坐标为 2,2，对称轴为直线 x=2．
（2） ∵ a=−2<0，
∴ 当 x≥2 时，y 随 x 的增大而减小．
16. （1） 如图 1，△A1B1C1 为所作，
A11,−3．
（2） 如图 2，△A2B2C2 为所作，
A2−2,−6．
17. BF2=FG⋅FE．
理由：
∵ BE∥AC，
∴ ∠1=∠E，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2=∠E，
又 ∵ ∠GFB=∠BFE，
∴ △BFG∽△EFB，
∴ BFEF=FGBF，
即 BF2=FG⋅FE．
18. 64
【解析】如图，过点 M 平行于 BC 的直线交 AB，AC 于 D，E，过点 M 平行于 AC 的直线交 AB，BC 于点 F，H，过 M 平行于 AB 的直线交 AC，BC 于点 I，G，
根据题意得，△1∽△2∽△3，
∵ △1:△2=1:4，△1:△3=1:25，
∴ 它们的边长比为 1:2:5，
又 ∵ 四边形 BDMG 与四边形 CEMH 为平行四边形，
∴ DM=BG，EM=CH，
设 DM 为 x，则 BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，
∴ BC:DM=8:1，
∴ S△ABC:S△FDM=64:1，
∴ S△ABC=1×64=64．
19. （1） 由题意可知：20k+b=360,25k+b=210,
解得：k=−30,b=960.
答：k 的值为 −30，b 的值为 960．
（2） 由（1）可知：y 与 x 的函数关系应该是 y=−30x+960，
设商场每月获得的利润为 W 元，由题意可得
W=x−16−30x+960=−30x2+1440x−15360．
∵−30<0，
∴ 当 x=−14402×−30=24 时，利润最大，W最大值=1920．
答：当单价定为 24 元时，获得的利润最大，最大的利润为 1920 元．
20. （1） 在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，AD∥BC，
∴ △AFG∽△EFB，
∴BEAG=EFAF，
∵x=1，即 ADAB=EFAF=1，
∴ADAB=BEAG=1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E 为 BC 的中点，
∴BE=12BC，
∴AG=BE=12BC=12AB，即 AG:AB=12．
（2） 如图 1，
∵ADAB=EFAF=x，
∴ 不妨设 AB=1，则 AD=x，BE=x2，
∴ △AFG∽△EFB，
∴BEAG=EFAF=x，
∴AG=12，DG=AD−AG=x−12，
∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴S△GDHS△EBA=DGBE2，
∴y=x−12x22，
∴y=4x2−4x+1x2．
（3） ① 如图 1，当点 H 在边 DC 上时，
∵DH=3HC，
∴DHDC=34，
∴DHAB=34，
∵△GDH∽△EBA，
∴DGBE=DHAB=34，
∴x−12x2=34，
解得：x=45；
② 如图 2，当点 H 在 DC 的延长线上时，
∵DH=3HC，
∴DHDC=32，
∴DHAB=32，
∵△GDH∽△EBA，
∴DGBE=DHAB=32，
∴x−12x2=32，
解得：x=2，
综上所述，可知 x 的值为 45 或 2．
21. 如答图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，交 ⊙O 于点 E，
则 AD=BD=12AB=5，DE=3．
设输水管的半径为 r，则 OD=r−3．
在 Rt△OBD 中，OB2=BD2+OD2，即 r2=52+r−32．
解得 r=173．
∴ 输水管的半径为 173 cm．
22. 设 DG=x 米．
在 Rt△DGF 中，tanα=DGGF，
∴tanα=xGF．
在 Rt△DGE 中，tanβ=DGGE，
∴tanβ=xGE．
∴GF=xtanα，GE=xtanβ．
∴EF=xtanβ−xtanα．
∴4=x1.2−x1.6．
解得 x=19.2．
∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．
答：建筑物高为 20.4 米．
23. （1） ①当 a=−124 时，
y=−124x−42+h，
将点 P0,1 代入，得：−124×16+h=1，
解得：h=53；
②把 x=5 代入 y=−124x−42+53
得：y=−124×5−42+53=1.625，
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网．
（2） 把 0,1，7,125 代入 y=ax−42+h，
得：
16a+h=1,9a+h=125,
解得：
a=−15,h=215,∴a=−15
．