中考数学课时复习（含答案）：61 圆的有关性质

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61圆的有关性质
一、选择题
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

　
A．
160°
B．
150°
C．
140°
D．
120°

考点：
圆周角定理；垂径定理．
分析：
利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答：
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评：
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
　
2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．
分析：
连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．
解答：
解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==，
∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴===．
故选B．

点评：
本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
　
3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（　　）

　
A．
2∠C
B．
4∠B
C．
4∠A
D．
∠B+∠C

考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解答：
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选A．
点评：
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

4.下列叙述正确的是（ ）
　
A．
方差越大，说明数据就越稳定
　
B．
在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
　
C．
不在同一直线上的三点确定一个圆
　
D．
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等

考点：
方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件
分析：
利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
解答：
解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；
B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；
C、正确；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误．
故选C．
点评：
本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单．

5.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）

　
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3

考点：
垂径定理；勾股定理
分析：
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
解答：
解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．

点评：
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

6.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ）

　
A．
1
B．

C．
3
D．


考点：
圆周角定理；解直角三角形
分析：
由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．
解答：
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵cos∠ACD=，
∴cos∠B=，
∴tan∠B=，
∵BC=4，
∴tan∠B===，
∴AC=．
故选D．
点评：
此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

7.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
分析：
（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．
解答：
解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=．
在Rt△BFP和Rt△OAF中，
，
∴Rt△BFP∽RT△OAF．
∴===，
∴AF=FB，
在Rt△FBP中，
∵PF2﹣PB2=FB2
∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2
∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，
解得BF=r，
∴tan∠APB===，
故选：B．
点评：
本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．
8．如图，有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点．若∠B＝74°，∠C＝46°，则的度数为何？(　　)

A．23 B．28 C．30 D．37
分析：由有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点．若∠B＝74°，∠C＝46°，可求得与的度数，继而求得答案．
解：∵有一圆通过△ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点，
∴＝2×∠C＝2×46°═92°，＝2×∠B＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋，
∴＝(148﹣92)＝28°．
故选B．
点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？(　　)

A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC
分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．
解：∵G为△ABC的重心，
∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，
又∵GHa＝GHb＞GHc，
∴BC＝AC＜AB．
故选D．

点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键．
10．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（　　）
　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65°
分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．
解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

11.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（　　）

　
A．
①③
B．
①②③④
C．
②③④
D．
①③④

考点：
垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．
分析：
分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．
解答：
解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵点A是点A是劣弧的中点，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OB=OB=AB=6cm，
∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，
∴BC=2BE=6cm，故B正确；
∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=，
故③正确；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵点A是劣弧的中点，
∴AC=OC，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
故选B．

点评：
本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．
12.已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）
　
A．
3
B．
3
C．

D．


考点：
垂径定理；等边三角形的性质．
分析：
先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
解答：
解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，
∴BD=OB•sin∠BOD==，
∴BC=2BD=，
∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，
∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．
故选C．

点评：
本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

二.填空题
1．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD=2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是　①③⑤　．

考点：
圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：
推理填空题．
分析：
（1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．
（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．
（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．
（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
解答：
解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴结论“CE=CF”正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=BC=2．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为4．
∴结论“线段EF的最小值为2”错误．
（3）当AD=2时，连接OC，如图3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．
∴结论“EF与半圆相切”正确．
④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴=．
∵FC=EF，
∴FH=FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB=AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB﹣DB=4．
∴结论“AD=2”错误．
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影=2S△ABC
=2×AC•BC
=AC•BC
=4×4
=16．
∴EF扫过的面积为16．
∴结论“EF扫过的面积为16”正确．
故答案为：①、③、⑤．


点评：
本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．
　
2. 如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为　1　米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为　　米．

考点：
圆锥的计算；圆周角定理
专题：
计算题．
分析：
（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；
（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．
解答：
解：（1）∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=，
∴AB=BC=1；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=．
故答案为1，．

点评：
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
　
3. 如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　．

考点：
垂径定理；勾股定理．
分析：
作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．
解答：
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC===3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．

点评：
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
　
4．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　3　cm．

考点：
切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理
分析：
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
解答：
解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=，
即CE=3．
故答案为：3．

点评：
本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．
5. 如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是　28°　．

（第1题图）
考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．
解答：
解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°．
点评：
此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．

6. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为　　cm．

（第2题图）
考点：垂径定理、圆周角定理．
分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解答：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为2．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．

7. 如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为　y=（x＞0）　．

（第3题图）
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
分析：
连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．
解答：
解：连接AE，DE，

∵∠AOD=120°，
∴为240°，
∴∠AED=120°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=60°；
∴∠AEB+∠CED=60°；
又∵∠EAB+∠AEB=60°，
∴∠EAB=∠CED，
∵∠ABE=∠ECD=120°；
∴=，
即=，
∴y=（x＞0）．
点评：
此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力．
8．如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 50° ．

考点：
圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质．
分析：
连接CD，求出∠B=65°，再根据CB=CD，求出∠BCD的度数即可．
解答：
解：连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°．
故答案为：50°．

点评：
此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．
9．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为　　．

分析：连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解．
解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，
在Rt△BCE中，BE==2，
∴sinα===．故答案为．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．

三.解答题
1. 如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：
反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3×CD．
∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C===．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG==．
∴OM=OH=EG=．
∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH===．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG===．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．




点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．
　
2．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．

考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．
解答： 解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC=90°，
而∠EOF=∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，
∴⊙O的半径OC=9；
在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，
∴CF==3，
∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴CD=2CF=6．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
　
3．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： （Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．

点评： 本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
　
4．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2，求⊙O的半径．

考点：
切线的判定．
专题：
证明题．
分析：
（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4．
解答：
（1）证明：连结OC，如图，
∵=，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵==，
∴∠BOC=×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，
∴AB=2BC=4，
∴⊙O的半径为4．

点评：
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
　
5．已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．

考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 综合题；存在型；分类讨论．
分析： （1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵点P是AC中点，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×PE•DE
=PE•DE
=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE2=DP2﹣
=（）2﹣
=．
∴DE=，
∴S四边形DEPF=DE
=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．




点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
　
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）求证：BC2=BD•BA；
（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

分析： （1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；
（3）利用正方形的性质证明．
证明：（1）如图，连接OD．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．
∴EB=EC，即点E为边BC的中点；
（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；
（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°
∴Rt△ABC为等腰直角三角形．
点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

考点：
切线的判定
分析：
（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．
解答：
（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切．

点评：
此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

8.如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．

考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
分析：
（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
解答：
解：（1）如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，
∴PA===．

（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴=，
又∵AB=13 AC=5 OP=，
代入得 ON=，
∴AN=OA+ON=9
∴在RT△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在RT△ANP中 有PA===3
∴PA=3．
点评：
本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．

9.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

考点：
圆的综合题
分析：
（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）利用△ADP∽△BDA，得出==，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则=，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．
解答：
（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；
（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=BC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴==，
∵AD=2，PD=1
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD﹣DP=3，
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴=，
∴AP2=CP•PD，
∴AP2=（3+AP）•1，
解得：AP=或AP=（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+．

点评：
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的判定与性质等知识，熟练利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

考点：
作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．
分析：
（1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；
（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案．
解答：
解：（1）如图：

（2）AB与⊙O相切．
证明：作OD⊥AB于D，如图．

∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OD=OC，
∴AB与⊙O相切．
点评：
此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．

11.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．

考点：
切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质
分析：
（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．
解答：
解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD． （1分）
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．（3分）
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．…（4分）
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，…（5分）
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．…（6分）
（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴=，
∴．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，． （7分）
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，（8分）
∴．
又∵tan∠ABC=，
∴，
∴．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC2+OC2=OP2，
∴（4k）2+72=（3k+7）2，
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24． （10分）

点评：
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．


考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解答： （1）证明：作OE⊥AB，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13. △ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
（第1题图）
考点：
相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形
分析：
（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
解答：
解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°==，cos60°==．
∵BF=m，
∴DF=m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S△ADF=AD•DF
=×（4﹣）×m
=﹣m2+m．
同理：S△AEF=AE•EF
=×（4﹣）×（4﹣m）
=﹣m2+2．
∴S=S△ADF+S△AEF
=﹣m2+m+2
=﹣（m2﹣4m﹣8）
=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．
∵﹣＜0，0＜2＜4，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为3．
（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF=，
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵∠C=60°，
∴=tan60°=．
设EC=x，则EF=x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=A．
∴x=．
∴EF=，AE=．
∵∠AEF=90°，
∴AF==．
∴此圆直径长为．

点评：
本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．








（第2题图）
考点：圆的性质、两圆的位置关系、解直角三角形
分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．
解答：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

则AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB==5cm．
∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．
（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，
∴PG=，BG=．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．
①当⊙P与⊙O外切时，
如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四边形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=CE，
∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．
在Rt△OPH中，
由勾股定理，，
解得 t=．
②当⊙P与⊙O内切时，
如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四边形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，
在Rt△OPM中，
由勾股定理，，解得 t=2．
综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．
点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．
15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

考点：
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析：
（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠AOC，得出结论，
（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，
解答：
（1）证明：如图，连接OC

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°，
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠AOC，
∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴=，
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴=，
∴BC2=12，
∴BC=2，
∴AC==2，
∴△AEC的外接圆的半径为．
点评：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．