巩固练习_数列的全章复习与巩固_提高

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【巩固练习】一、选择题1．已知数列的通项公式为，则该数列的首项和第四项分别为A.0,0    B.0,1    C.-1,0    D.-1,1 2．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第1行1第2行2　3第3行4　5　6　7……则第9行中的第4个数是(　　)A．132 　　　　  B．255         C．259        D．2603．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)A．5   B．4C．3   D．24．（2016  衡水模拟）等差数列{an}中的两项a2、a2016恰好是关于x的函数f（x）=2x2+8x+a（a∈R）的两个零点，且a1009+a1010＞0，则使{an}的前n项和Sn取得最小值的n为（    ）A．1009       B．1010       C．1009，1010       D．20165．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）Ａ．2  Ｂ．4  Ｃ．6  Ｄ．8      6．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A．63  B．45  C．36  D．27   二、填空题7．设Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S9＝18，Sn＝240，若an－4＝30(n>9)，则n＝________. 8．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为f(n)＝________(n∈N*)．9．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是　　． 10．设数列{an}的通项为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.三、解答题11．已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：．12．已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值.13．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13  (1)求{an}，{bn}的通项公式；  (2)求数列的前n项和Sn.14．(2015  新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an2+2an=4Sn+3(Ⅰ)求{an}的通项公式：(Ⅱ)设，求数列{bn}的前n项和.15．(2015  山东) 设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.     （I）求{an}的通项公式；     （II）若数列{bn}满足anbn=log3 ，求{bn}的前n项和Tn.   16．（2016  静安区一模）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”。某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%。每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营。如此每月循环继续。（1）问到2015年年底（按照12个月计算），该创客有余款多少元？（结果保留至整数元）（2）如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年（12个月）能否还清银行贷款？
   【答案与解析】1．【答案】 B【解析】，2．【答案】C【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共有 (个)，故第9行中的第4个数是259.3．【答案】　C【解析】　∵S偶－S奇＝5d，∴5d＝15，∴d＝3.4．【答案】　A 【解析】由题意可得a2、a2016是2x2+8x+a=0的两根，可得a2+a2016=―4，设公差为d，可得2a1+2016d=―4，即a1+1008d=―2，即有a1009=―2，又a1009+a1010＞0，可得a1010＞0，则公差d＞0，数列单调递增，且a1，a2，…，a1009＜0，a1010＞0，…可得前n项和Sn取得最小值的n为1009。故选A。  5．【答案】 B【解析】由题意知：，，则即∵，∴，解得或（舍去），故选Ｂ6． 【答案】 B法一：依据已知有即，解得，所以。法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、、成等差数列，所以，有，故选B。7．【答案】　15 【解析】　由，得a5＝2，∴，∴n＝15. 8．【答案】　2n2－2n＋1【解析】 f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，…则有：f(2)－f(1)＝4＝1×4，f(3)－f(2)＝8＝2×4，f(4)－f(3)＝12＝3×4，……f(n)－f(n－1)＝(n－1)×4，∴.9．【答案】4【解析】设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8＝a6＋2a4，∴，化为q4－q2－2＝0，解得q2＝2．∴．故答案为：4．10．【解析】　由an＝2n－7<0⇒n<3.5，∵n∈N*，∴n＝1,2,3，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝S15－2S3＝153.【答案】　15311．【解析】（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)n=1时，a1=1n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1∴对n∈N*总有an=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)∴∴12．【解析】（1）∵，∴，解得（2）∵，∴数列的通项公式为∴∵函数在和上分别是单调减函数，∴，当时，∴数列中的最大项是，最小项是13．【解析】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题意q>0.∴，  解得∴an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1 (2)∴Sn=   ① 2Sn=    ②②-①可知，Sn=            =            =.14．【解析】（1）由an2+2an=4Sn+3∴当n=1时  a12+2a1=4a1+3∴a12－2a1－3=0    ∴a1=3或a1=－1（舍去）∵an2+2an=4Sn+3  ①当n≥2时，a2n－1+2an－1=4Sn－1+3  ②①－②得  a2n－a2n－1+2(an－an－1)=4an∴a2n－a2n－1=2(an+an－1)=4an∵an＞0  ∵an－an－1=2  ∴{an}为首项为3，公差为2的等差数列∴an=a1+(n－1)d=2n+1（2）∴{bn}的前n项和15．【解析】（I）因为2Sn=3n+3，            所以2a1=3+3，故 a1=3，            当n＞1时，2Sn―1=3n―1+3，            此时 ，即，              所以     （II）因为anbn=log32，所以 ，              当n＞1时，，              所以；              ，              所以              两式相减，得                  ，              所以              经检验，n=1也适合，              综上可得 16．【解析】法1：（1）设n个月的余款为an，则a1=1000000×1.2×0.9―3000=105000，a2=100000×1.22×0.92―3000×1.2×0.9―3000=110400，…a12=100000×1.212×0.912―3000×1.211×0.911―…―3000=100000×1.212×0.912―3000×≈194890（元），法2：a1=100000×1.2×0.9―3000=105000，一般的，an=an―1·1.2·0.9―3000，构造an+c=1.2×0.9(an―1+c)，c=―37500an―37500=(105000―37500)(1.2×0.9)n―1an=37500+67500×1.08n―1，a12≈194890。（2）194890―100000×1.05=89890（元），能还清银行贷款。