知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_提高练习题

正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)。

【要点梳理】

要点 一：周期函数的定义

函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.

要点诠释：

1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.

2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.

要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质

要点诠释：

（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。

要点 三：正弦型函数和余弦型函数的性质。

   函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：

（1）定义域：

（2）值域：

（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。

（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。

要点诠释：

判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。

（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。

要点诠释：

若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。

【典型例题】

类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域

例1．求函数的定义域；

【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。

画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。

∴定义域为。

【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。

举一反三：

【变式1】求函数的定义域.

【解析】由(k∈Z).

又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.

故所求定义域为.

【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.

【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.

【解析】0≤cosx＜1，且.

∴所求函数的定义域为.

例2．求下列函数的值域：

（1）y=|sin x|+sin x；

（2），；

（3）。

【解析】（1）∵，

又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。

（2）∵，∴。

∴。∴，

∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。

（3）∵，

当cos x=－1时，，

∴函数的值域为。

【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。

举一反三：

【变式1】（2015春 山东菏泽期中）已知．

（1）求函数y=cos x的值域；

（2）求函数的最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）最小值，最大值．

【解析】（1）∵．

∴当时，函数y=cos x取最小值，

当x=0时，函数y=cos x取最大值cos0=1，

∴函数y=cos x的值域为；

（2）化简可得

令cos x=t，由（1）知；

代入可得

由二次函数的性质可知，当时，y取得最小值，

当时，y取最大值．

类型二：正弦函数、余弦函数的单调性

例3．（2015春 四川阆中市月考）已知函数，x∈R

（1）求f（0）的值；

（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合；

（3）求函数f（x）的单调增区间．

【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式，求得f（0）的值．

（2）由条件利用正弦函数的最大值，求得函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合．

（3）根据正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调增区间．

【答案】（1）－1；（2）时，f（x）取最大值时x取值的集合为；（3），k∈Z．

【解析】（1）由函数，x∈R，可得．

（2）当时，．

此时，k∈Z，得，k∈Z．

∴f（x）取最大值时x取值的集合为．

（3）由，k∈Z，求得，k∈Z，

∴f（x）的单调增区间为，k∈Z．

【总结升华】求函数的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用．

举一反三：

【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：

【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，

减区间为［kπ-，kπ+］.

【变式2】三个数，，的大小关系是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】C

类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性

例4．判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）。

（3）。

【解析】（1）∵x∈R，，

∴，

∴函数为偶函数。

（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），

∴原函数的定义域不关于原点对称，

∴既不是奇函数也不是偶函数。

（3）函数定义域为R。

，

∴函数为奇函数。

【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。

举一反三：

【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：

①对任意的，都是非奇非偶函数；

②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使是奇函数；

④对任意的，都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.

【思路点拨】

当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.

当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.

当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，

当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.

所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.

【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

类型四：正弦函数、余弦函数的对称性

【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】

例5．指出下列函数的对称轴与对称中心

（1）；（2）.

【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。

∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。

   同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。

（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。

∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。

   同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）。

举一反三：

【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。

【答案】

【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（    ）

    A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

【答案】D

【解析】由题意知的图象关于对称，∴。

∴a=－b，。

∴。

∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。

类型五：正弦函数、余弦函数的周期

例6．求下列函数的周期。

（1）；（2）。

【思路点拨】对于（1），可直接利用公式；对于（2），应借助函数的周期及函数图象得到周期。

【答案】（1）（2）

【解析】 （1）∵ω=3，∴。

（2）∵函数的周期为π，而函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。

【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数或（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。

举一反三：

【变式1】已知函数，使f (x)的周期在内，求正整数k .

【答案】

【解析】 ，

         解得，所以

         所以的取值为

类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用

例7．已知是定义在实数集上的函数，且对任意x都有。

（1）求证：是周期函数；

（2）若，试求的值。

【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即，就是周期。

【答案】（1）略（2）

【解析】（1）证明：由已知，∴。

∴。

∴，即。

∴是以8为周期的函数。

（2）∵。

由，

∴。

【总结升华】（1）证明函数是周期函数：一可利用定义（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T≠0）为的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。

（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（n∈Z，T为周期），则。

举一反三：

【变式1】（2016 江西进贤县月考）已知函数

（1）若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范围；

（2）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）a≥2或a≤－2．

【解析】（1）令t=sinx，则原函数变为，t∈[－1，1]，其对称轴为t=a．

    ①a＞1时，函数在t∈[―1，1]上单调递增，所以函数值为[4―2a，4+2a]．

因此有．

②当－1≤a≤1时，有．

③当a＜－1时，函数在t∈[－1，1]上单调减函数，有，解得，

综上．

（2）①a＞1时，函数在t∈[―1，1]上单调递增，所以函数值为[4―2a，4+2a]．

因此有．

②当－1≤a≤1时，有，所以此时无解．

③当a＜－1时，函数在t∈[－1，1]上单调减函数，有，解得a≤－2，

综上，a≥2或a≤－2．