知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_基础练习题

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正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)．【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．要点诠释：判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．要点诠释：若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数的定义域；【答案】【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得．画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示． ∴定义域为．【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．举一反三：【变式1】求函数的定义域【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），∴函数的定义域为．例2．求下列函数的值域：（1）y=3―2sin x（2），；（3）．【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]．（2）∵，∴．∴．∴，∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．（3）∵，当cos x=－1时，，∴函数的值域为．【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．举一反三：【变式1】 求y=cos2x+4sin x―2的值域．【解析】y=cos2x+4sin x―2=―sin2x+4sin x―1=―(sin x―2)2+3．∵－1≤sin x≤1，∴当sin x=―1时，ymin=―6；当sin x=1时，ymax=2．∴函数的值域为[－6，2]．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．（2016 浙江温州期末）设函数（1）若a＞0，求f（x）的单调递增区间；（2）当时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值．【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式可得答案；（2）由，可得，结合题意可得或，解方程组可得．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）∵a＞0，由可得，∴f（x）的单调递增区间为；（2）当时，，∴，∵f（x）的值域为[1，3]，∴，或，分别可解得或举一反三：【变式1】（2015春 河南期中）已知函数 （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；（2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间．【答案】（1）T=4π，；（2）单调递增区间为：和．【解析】（1）由题意函数的周期，∵x∈[0，π]，∴，∴，即函数在区间[0，π]上的值域为；（2）原函数可化为，原函数的增区间即为的减区间，令，解得，k∈Z，令k=0，可得，令k=－1，可得，∵x∈[－2π，2π]，∴函数的单调递增区间为：和．类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）； 【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立．∴函数为偶函数．（2）由2sin x－1＞0，即，得函数定义域为（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．举一反三：【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：①对任意的，都是非奇非偶函数；②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是奇函数；④对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5．（2015春 湖南益阳月考）已知函数．（1）求函数的最值及相应的x值集合；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．【解析】（1）当，即，k∈Z，即，k∈Z，此时函数取得最大值为2；故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为；（2）由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．（3）由，得，k∈Z．即函数f（x）的图象的对称轴为，k∈Z．由，得，k∈Z，即对称中心为，k∈Z．【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心（1）；（2）.【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．∴函数的对称轴方程是（k∈Z）． 同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为．（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．∴函数的对称轴方程是（k∈Z）． 同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）．类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6．求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）①令，而，即．．∴T=2π．②令z=2x，则，即，∴T=π．③令，则，∴T=4π④∵原式，∴．举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）是 （2）不是 （3）类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7．已知函数．（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；（4）写出单调区间．【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成．【解析】（1）由，得，∴x≠kπ，k∈Z．∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵，∴，∴函数的值域为{y|y≥0}．（2）∵，∴函数是偶函数．（3）∵，∴函数是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证）（4）设t=|sin x|，当时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数；当时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数．又∵函数为减函数，∴函数的单调增区间为，k∈Z；单调减区间为，k∈Z．举一反三：【变式】已知函数． （1）画出函数的简图；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；（3）指出这个函数的单调增区间．【解析】 （1）．函数图象如右图所示．（2）由图象知函数的周期是2π．（3）由图象知函数的单调区间为（k∈Z）【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间k∈Z增区间减区间增区间减区间最值点k∈Z最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心k∈Z对称轴k∈Z