知识讲解_直线、平面平行的性质_提高练习题

直线、平面平行的性质

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；

3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．

【要点梳理】

【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】

要点一、直线和平面平行的性质

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.

符号语言：若，，，则.

图形语言：

要点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；

（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】

要点二、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：若，，，则.

图形语言：

要点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

要点三、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

【经典例题】

类型一：直线与平面平行的性质

例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，又M是PC的中点，

∴AP∥OM．

根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．

∵平面PAHG∩平面BDM=GH，

根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．

【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．

举一反三：

【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459例3】

【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．

证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，

∵∥平面，，∥平面，

∴∥，∥，∴∥，

又∵平面，平面，∴∥平面，

又平面，平面∩平面=，

∴∥，又∵∥，∴∥．

【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一．

例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．

【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．

∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．

于是，，∴．

【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．

在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．

举一反三：

【变式1】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．

【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，

四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4

因为0<PF/PB<1,截面四边形EFGH的周长l应大于小于12，8<l<12.

类型二：平面与平面平行的性质

例3．（2015秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求三棱锥D—AEC的体积；

（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；

（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．

【答案】（1）；（2）略

【解析】（1）取AB中点O，连接OE，

因为AE=EB，所以OE⊥AB．

因为AD⊥面ABE，OE面ABE，所以OE⊥AD，

所以OE⊥面ABD．

因为BF⊥面ACE，AE面ACE，所以BF⊥AE．

因为CB⊥面ABE，AE面ABE，所以AE⊥BC．

又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．

又BE面BCE，所以AE⊥EB．

所以△AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，

所以．

（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以．

因为MG∥AE，MG平面ADE，AE平面ADE，

所以MG∥平面ADE．

同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，

所以平面MGE∥平面ADE．

又MN平面MGN，所以MN∥平面ADE．

所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

举一反三：

【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．

（1）若点S在平面，之间，则SC=________；

（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．

【答案】（1）16    （2）272

【变式2】（2016 辽宁丹东一模）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．

（1）证明：ED⊥PE；

（2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．

【思路点拨】（1）由PA⊥平面ABCD先证明DE⊥PA．连接AE，由勾股定理证明DE⊥AE，通过证明DE⊥平面PAE，即可得证PE⊥ED．

（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，再过点H作HG∥DP交PA于点G，通过证明平面GEH∥平面PED，然后证明EG∥平面PFD．

【答案】详见解析

【证明】（1）由PA⊥平面ABCD，得DE⊥PA，连接AE，

因为AD=2AB，

所以由勾股定理可得DE⊥AE．

所以DE⊥平面PAE，

因此PE⊥ED．

（2）过点F作FH∥ED交AD于点H，

则FH∥平面PED，且有．

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PED，且．

由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，

进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD，

从而确定G点位置．

类型三：线面平行的判定与性质的综合应用

例4．如图所示，已知平面∥平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥∥．

【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．

∴EF∥，FG与CD可确定一个平面，设BM=∩平面CDGF，由于，故有CD∥BMFG∥BMFG∥．

如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABCBG平面ABCD∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥，而，故平面EFG∥∥．

【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．

（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．

例5.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．

证明：

证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．

∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥BC，

∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，

∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，

∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．

∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．

又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．

证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，

∴，，，

∴，∴FG∥∥BC．

又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．

又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．

总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明．将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质．

举一反三：

举一反三：

【变式1】如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．

（1）求证：BC∥平面AB1C1；

（2）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．

【思路点拨】（1）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；

（2）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．

【证明】（1）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，

因为BC平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，

所以BC∥平面AB1C1；

（2）E，F，H，G四点不共面，理由如下：

因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，

同理可证：GH∥C1A1；

因为GE平面EHG，GH平面EHG，GE∩GH=G，

CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，

所以平面EHG∥平面AA1C1C；

又因为F∈平面AA1C1C，

所以F平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．

例6．如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．

已知：直线a∥平面，B∈，B∈b，b∥a，求证：b．

【证明】证法一：如图，假设，过直线a和点B作平面，．

∵a∥，∴．

这样过点B就有两条直线b和b＇同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故b必在内．

证法二：过直线a及点B作平面，设．

∵a∥，∴．

这样，b＇与b都是过点B平行于a的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，∴b与b＇重合，∵，∴．

【总结升华】“反证法”也是证明“唯一性”问题的重要方法．