巩固练习_直线的交点坐标与距离公式_提高

【巩固练习】

1．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（    ）

A．k≠1或k≠9    B．k≠1或k≠－9    C．k≠1且k≠9    D．k≠1且k≠－9

2．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（    ）．

A．x―y+1=0    B．x+y―1=0    C．x―2y+3=0    D．x―2y―3=0

3．（2015春 湖北期末）与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线方程为（    ）

A．4x+3y+5=0    B．4x―3y+5=0    C．4x+3y―5=0    D．4x―3y―5=0

4．无论m、n取何实数，直线(3m―n)x+(m+2n)y―n=0都过一定点P，则P点坐标为（    ）

A．（―1，3）    B．    C．    D．

5．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（    ）

A．4x+2y=5    B．4x―2y=5    C．x+2y=5    D．x―2y=5

6．若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（    ）

A．    B．    C．8    D．0

7．在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（    ）

A．1条    B．2条    C．3条    D．4条

8．设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（    ）

A．20    B．19    C．18    D．16

9．（2016 浙江杭州模拟）已知直线l1：y=ax+2a与直线l2：ay=(2a―1)x―a，若l1∥l2，则a=________；若l1⊥l2，则a=________．

10．已知定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标是        ．

11．已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x―y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为________．

12．若直线m被两平行直线1：x―y+1=0与2：x―y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．

其中正确答案的序号是________（写出所有正确答案的序号）．

13．已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．

（1）求点A关于直线l的对称点A＇的坐标；

（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．

14．（2016春 浙江湖州期末）已知直线l1：3x+4ay―2=0（a＞0），l2：2x+y+2=0．

（1）当a=1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1=0，求直线l的方程；

（2）求点到直线l1的距离d的最大值．

15．已知函数的定义域为（0，+∞），且．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N（如右图）．

   （1）求a的值；

（2）问：PM·PN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，则说明理由．

16．证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．

【答案与解析】

1．【答案】D 

【解析】 不平行就相交，∴，∴k≠1且k≠―9．

2．【答案】B 

【解析】 特殊值代入，设斜率为1的直线为y=x，

则它与2x+y―1=0的交点为，

与x+2y―2=0的交点为，代入得B．

3．【分析】由条件求得，与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，用点斜式求得要求直线的方程．

【答案】A

【解析】直线4x―3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为，

故与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，

故要求的直线方程为，化简可得4x+3y+5=0，

故选：A．

【点评】本题主要考查关于x轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程．

4．【答案】D 

【解析】方程可化为m(3x+y)+n(―x+2y―1)=0，它必过3x+y=0与―x+2y―1=0的交点，故选D．

5．【答案】B 

【解析】 ，AB的中点为．故其垂直平分线的方程为，即4x―2y=5．

6．【答案】A

【解析】由题意知，，所以，或10，所以或8．

7．【答案】B 

【解析】  由题意可知所求直线显然不与y轴平行，

    ∴可设直线为y=kx+b，即kx―y+b=0，

∴，，

两式联立解得b1=3，，∴k1=0，．故所求直线共有两条．

8．【答案】C 

【解析】从已知的五个数中每次取两个数作为A、B的值，每两个数值可以得到两组A、B的值，得到两个方程．从1，2，3，4，5中取两个数，可以有以下10种取法：1，2；1，3；1，4；1，5；2，3；2，4；2，5；3，4；3，5；4，5，能得到20个直线方程，而其中x+2y=0和2x+4y=0，2x+y=0和4x+2y=0表示的是同一条直线，所以共表示18条直线，故选C．

9．【答案】a=1；a=0

【解析】（1）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，―x=0，不满足l1∥l2，舍去；

当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，，

∵l1∥l2，∴，2a≠1．解得a=1．

综上可得：l1∥l2，则a=1．

（2）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，―x=0，此时满足l1⊥l2，∴a=0；

当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，，

∵l1⊥l2，∴，解得a=0，舍去．

综上可得：l1⊥l2，则a=0．

故答案分别为：a=1；a=0．

10．【答案】

【解析】过A点作垂直于已知直线，此时线段最短．因为， ，，解得：．

11．【答案】―1

【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x―y=10的交点，求出即可．

【解析】由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x―y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，

则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x―y=10的交点．

联立，解得，

把x=4，y=―2代入ax+2y+8=0得a=―1．

故答案为―1．

12．【答案】①⑤ 

【解析】  因为两平行直线间的距离为，直线m被截得的线段的长为，所以m与1的夹角是30°，又因为1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为30°+45°=75°或45°―30°=15°．故填①⑤．

13．【分析】（1）设A＇（a，b），则由点A关于直线l的对称点A＇，利用垂直和中点在对称轴上这两个条件，求得a、b的值，可得A＇的坐标．

（2）由于点A关于x轴的对称点，由线段的中垂线的性质可得即为△ABC的周长的最小值，计算求得结果．

【解析】（1）设A＇（a，b），则由点A关于直线l的对称点A＇，

可得，解得，

故A＇的坐标为．

（2）由于点A关于x轴的对称点，

，

∴△ABC的周长的最小值为．

【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直和中点在对称轴上这两个条件，以及线段的中垂线的性质，体现了数形结合的数学思维．

14．【答案】（1）2x+y+2=0；（2）

【解析】（1）当a=1时，直线l1：3x+4y―2=0，l2：2x+y+2=0，

则，解得交点（―2，2）．

又由直线l垂直于直线x―2y―1=0，则直线x―2y―1=0的斜率，

∵两直线垂直得斜率乘积为―1，

得到k1=―2．

∴直线l的方程为y―2=―2（x+2），即2x+y+2=0．

（2）直线l1：3x+4ay―2=0（a＞0）过定点，

又，

∴点M到直线l1的距离d的最大值为．

15．【答案】（1）（2）1

【解析】（1）∵，∴．

（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，PN=x0，故有PM·PN=1，即PM·PN为定值，这个值为1．

16．【解析】  设出点P的坐标，由点P到直线y=x的距离公式求出PM的长，PN的长为点P的横坐标．

证明：设△ABC是边长为2a的等边三角形，以BC边所在直线为x轴，过BC边的中点O且垂直于BC的直线为y轴，建立如右图所示的直角坐标系，则点，B（―a，0），C（a，0），直线AB的方程为，直线AC的方程为，直线BC的方程为y=0．

设P（x0，y0）是△ABC内任意一点，

则点P到AB的距离，点P到BC的距离|PE|=|y0|，点P到AC的距离．

∵点P在直线AB，AC的下方，且在BC的上方，

∴（定值）．

因此，等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．