知识讲解_直线、平面垂直的判定_基础练习题

直线、平面垂直的判定

【学习目标】

1．了解空间直线和平面的位置关系；

2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理；

3．理解直线与平面所成的角的概念．会求直线与平面所成的角；

4．理解二面角及二面角的平面角的概念，会求一些简单的二面角的大小；

5．能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题．

【要点梳理】

要点一、直线和平面垂直的定义与判定

1.直线和平面垂直的定义

如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.

要点诠释：

(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.

(3)若，则.

2.直线和平面垂直的判定定理

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

图形语言：

符号语言：

特征：线线垂直线面垂直

要点诠释：

(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.

相关的重要结论

    ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．

    ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．

    ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．

要点二、直线与平面所成的角

1．直线与平面所成角的定义

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.

(2)直线与平面垂直时射影是点.

(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.

2．直线与平面所成的角的范围：

    直线和平面平行或直线在平面内，=0°．．

直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．

3．求斜线与平面所成角的一般步骤：

    (1)确定斜线与平面的交点即斜足；

    (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；

    (3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．

要点三、二面角

1.二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.

2.二面角的平面角

(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

(3) 二面角与平面角的对比

(4) 二面角的平面角的确定方法

    方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

    如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．

    方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

    如下图（左），已知二面角，

    过棱上一点O作一平面，使，且，．

∴，，且⊥OA，⊥OB，

∴∠AOB为二面角的平面角．

    方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．

    如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．

    过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．

    ∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．

    又EF⊥BC，AE∩EF=E，

    ∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF

    由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角．

要点四、平面与平面垂直的定义与判定

1.平面与平面垂直定义

定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

表示方法：平面与垂直，记作.

画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理

文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直面面垂直

要点诠释：

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.

【经典例题】

类型一：直线和平面垂直的定义

例1．下列命题中正确的个数是(    )

①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；

②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；

③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；

④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直．

A．0    B．1    C．2    D．3

【答案】B

【解析】当直线与平面平行或在平面内时，在平面内都有直线与直线垂直，故在平面内存在一组平行线（无数条）与垂直，因此①②③均错，④正确．

【总结升华】“无数条直线”只说明直线的条数有无穷多，而“任意条直线”除能说明直线无穷多条外，还说明直线的位置关系是任意的，是不受限制的．解题时一定要加以区别．

举一反三：

【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（  ）

A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直   

B．过直线有且只有一个平面与平面垂直   

C．与直线垂直的直线不可能与平面平行  

D．与直线平行的平面不可能与垂直

【答案】B

【解析】可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选B．

类型二：直线与平面垂直的判定

例2．如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD．

【思路点拨】要证AH⊥平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可．

【解析】

证明：取AB中点F，连CF，DF，

∵BC=AC，∴CF⊥AB．

又∵AD=BD，∴DF⊥AB，

∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD．

又BE⊥CD，且AB∩BE=B，

根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD⊥平面ABE．

∴CD⊥AH．

而AH⊥BE，CD∩BE=E，∴AH⊥平面BCD．

【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化．

例3．（2016 山西运城模拟）如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．

（1）求证：MN∥平面DCC1；

（2）试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC．

【思路点拨】（1）连接AC1，由中位线定理即可得出MN∥AC1，故而MN∥平面DCC1；

    （2）由BC⊥平面ACC1A1可得BC⊥C1D，故当C1D⊥CD时有DC1⊥平面DBC，设AD=x，根据勾股定理列方程解出x，从而确定D的位置．

【证明】（1）连接AC1，

∵M，N分别是AB，BC1的中点，

∴MN∥AC1，

又MN平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1．

即MN∥平面DCC1．

（2）∵CC1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴CC1⊥BC，

又AC⊥BC，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，

∴BC⊥平面ACC1A1，∵C1D平面ACC1A1，

∴BC⊥C1D．

故当C1D⊥CD时，C1D⊥平面BCD．

设AD=x，则A1D=4－x，

，．

又CC1=4，

∴CD2+C1D2=CC12，即x2+4+(4－x)2+4=16．解得x=2．

∴D为AA1中点时，C1D⊥平面BCD．

【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：

①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．

②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．

③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．

（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．

举一反三：

高清：空间的线面垂直 398999 例2

【变式1】 正方体，求证：面.

证明：（略写），

同理：

所以面

【变式2】（2015年 江苏）如图，在直三棱柱中，已知AC⊥BC，BC＝，设的中点为D，∩＝E．

求证：（1）DE∥平面；

 （2）⊥．

【思路点拨】（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形，因此点E为的中点，从而由三角形中位线性质得DE∥AC，再由线面平行判定定理得DE∥平面；（2）因为直三棱柱中BC＝，所以侧面BB1C1C为正方形，因此⊥，又AC⊥BC，AC⊥（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得AC⊥平面，从而AC⊥，再由线面垂直判定定理得⊥平面，进而可得⊥

【答案】详见证明

【证明】（1）由题意知，E为的中点，

又D为的中点，因此DE∥AC．

又因为DE平面，AC平面，

所以DE∥平面．

（2）因为棱柱是直三棱柱，

所以⊥平面ABC．

因为AC平面ABC，所以AC⊥．

又因为平面，所以⊥AC．

因为BC＝，所以短形是正方形，因此⊥．

因为AC，平面，AC∩＝C，所以⊥平面．

又因为平面，所以⊥．

类型三：直线和平面所成的角

例4．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC．

求直线AS与平面SBC所成的角．

【思路点拨】确定AS在平面SBC上的射影是关键，即找过点A的平面SBC的垂线．

因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，所以△ASB与△ASC都是等边三角形．

因此，AB=AC．

【答案】45°

【解析】

取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．

设SA=a，则在Rt△SBC中，，．

在Rt△ADC中，，则AD2+SD2=SA2，所以AD⊥SD．

又BC∩SD=D，所以AD⊥平面SBC．因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．

在Rt△ASD中，，所以∠ASD=45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°．

【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值．其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．

举一反三：

【变式1】（1）正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

（2）已知三棱锥S—ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】（1）D（2）D

类型四：二面角

例5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．

【答案】

【解析】取A1C1的中点O，连接B1O，BO．

由题意知B1O⊥A1C1，

又BA1=BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．

设正方体的棱长为a，则，

在Rt△BB1O中，，

所以二面角B-A1C1-B1的正切值为．

【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．

举一反三：

【变式1】已知Rt△ABC，斜边BC，点，AO⊥，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小．

【答案】60°

【解析】  如图所示，在平面内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．

设OC=a，∵AO⊥，BC，∴AO⊥BC．

又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD．

而AD平面AOD，

∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．

由AO⊥，OB，OC知AO⊥OB，AO⊥OC．

又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a，，AB=2a．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴，

∴．

在Rt△AOD中，．

∴∠ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60°．

【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．

类型五：平面与平面垂直的判定

例6．（2015年 张家港模拟）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

【思路点拨】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO，证明PA∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE．

（2）在△PAC中，推出∠APC=90°，求出PC，然后证明BE⊥DE，BE⊥PC，得到BE⊥面PDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PDC．

【证明】（1）连接AC交BD于O，连接EO，PO

∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC中点，

又E为PC中点，∴PA∥EO

又EO面BDE，PA面BDE，∴PA∥平面BDE

（2）在△PAC中，易得

∴∠APC=90°，∴

∴在△PDC中可求得，同理在△PBC中可求得

∴在△BDE中可得∠BED=90°，即BE⊥DE

又PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC

BE⊥面PDC，又BE面PBC

∴平面PBC⊥平面PDC

举一反三：

【变式1】 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：平面EBD⊥平面ABCD．

【证明】 如图连接AC，与BD交于点F，连接EF．

因为F为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，所以F为AC的中点．

又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，

所以EF∥SC．

又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．

又EF平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．