知识讲解_圆的方程_基础练习题

圆的方程

【学习目标】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【要点梳理】

【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】

要点一：圆的标准方程

，其中为圆心，为半径.

要点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：

(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

要点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(1)若点在圆上

(2)若点在圆外

(3)若点在圆内

要点三：圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.

要点诠释：

由方程得

(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

要点四：几种特殊位置的圆的方程

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.

(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

要点六：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

3．求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；

（2）列出关于的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

（5）作答．

【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1．求满足下列条件的各圆的方程：

（1）圆心在原点，半径是3；

（2）圆心在点C（3，4）上，半径是；

（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．

【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．

【答案】（1）x2+y2=9 （2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25

【解析】 

（1）x2+y2=9；

（2）(x―3)2+(y―4)2=5；

（3）解法一：∵圆的半径，圆心在点C（8，―3）．

∴圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．

解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)2+(y+3)2=r2．

又∵点P（5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r2，∴r2=25，

∴所求圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．

【总结升华】  确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．

确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；

（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

举一反三：

【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（    ）

A．(x―4)2+(y+1)2=10     B．(x+4)2+(y―1)2=10

C．(x―4)2+(y+1)2=100    D．

【答案】A

例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

    （1）x2+y2=2；

（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；

（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）．

【答案】（1）（0，0），（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|

【解析】  （1）圆心（0，0），半径为；

（2）圆心（3，0），半径为|a|；

（3）圆心（―2，―1），半径为|b|．

【总结升华】（2）、（3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a＞0，b＞0，∴半径r=|a|、|b|．

例3．求经过A（0，―1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=―2x上的圆的方程．

【思路点拨】根据圆心在直线y=―2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离，由距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程．

【答案】或

【解析】因为圆心在直线y=―2x上，设圆心坐标为（a，―2a）

设圆的方程为

圆经过点A（0，―1）和直线x+y=1相切，

所以有

解得，a=1或

所以圆的方程为  或．

【总结升华】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，会利用待定系数法求圆的标准方程．

举一反三：

【变式1】求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2，―3），B（―2，―5）的圆的标准方程．

【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10

【解析】设圆的标准方程为，则

解得：

所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10．

类型二：圆的一般方程

例4．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．

（1）2x2+y2―7y+5=0；

（2）x2―xy+y2+6x+7y=0；

（3）x2+y2―2x―4y+10=0；

（4）2x2+2y2―5x=0．

【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆 

【解析】  （1）∵方程2x2+y2―7y+5=0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．

（2）∵方程x2―xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．

（3）方程x2+y2―2x―4y+10=0化为(x―1)2+(y―2)2=―5，∴它不能表示圆．

（4）方程2x2+2y2－5x=0化为，∴它表示以为圆心，为半径长的圆．

【总结升华】（1）判断一个二元二次方程是否表示圆的方法：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x2与y2的系数相等；②不含xy的项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2+E2―4F是否大于零；二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．

（2）圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．

举一反三：

【变式1】（1）下列方程各表示什么图形；

①x2+y2―4x―2y+5=0；②x2+y2―2x+4y―4=0；③．

（2）圆C：x2+y2―2x―4y+4=0的圆心到直线：3x+4y+4=0的距离d=________．

   【答案】

（1）①方程表示点（2，1）；②方程表示以（1，―2）为圆心，3为半径长的圆；③当a=0时，该方程表示的图形为一个点（0，0）；当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为，半径长为|a|． 

（2）3

【解析】（1）略；

（2）圆的方程可化为：，圆心坐标为（1，2），所以到直线的距离．

例5．（2016春 辽宁大连庄河市期末）已知方程C：x2+y2―2x―4y+m=0，

（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；

（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y―4=0相交于M、N两点，且，求m的值．

【思路点拨】（1）由圆的一般方程的定义知4+16―4m＞0，由此能法语出实数m的取值范围．

    （2）求出圆心到直线x+2y―4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值．

【答案】（1）（―∞，5）；（2）m=4

【解析】（1）∵方程C：x2+y2―2x+4y+m=0表示圆，

∴D2+E2―4F＞0，

即4+16―4m＞0解得m＜5，

∴实数m的取值范围是（―∞，5）．

（2）∵方程C：x2+y2―2x―4y+m=0，

∴(x―2)2+(y―2)2=5―m，

圆心（1，2）到直线x+2y―4=0的距离，

∵圆与直线l：x+2y―4=0相交于M、N两点，且，

∴，

解得m=4．

【总结升华】本题考查圆的方事参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

举一反三：

【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】

【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；

（2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程．

【答案】

【解析】

（1）法一：设圆的方程为：，则

，解得：

所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为．

法二：线段的中点为为，

线段的中垂线为，即

同理得线段中垂线为

联立，解得

所以所求圆的方程为（4，1），半径

所以．

（2）法一：设圆的方程为：，则

，解得：

所以圆的方程为．

法二：过点与直线垂直的直线是，

线段的中垂线为，

由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，

所以圆的方程为．

【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．

【答案】，

类型三：点与圆的位置关系

例6．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．

【答案】M在圆上  N在圆外  Q在圆内

【解析】  ∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，

分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得

(6―5)2+(9―6)2=10，∴M在圆上；

(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N在圆外；

(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q在圆内．

【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|＜r；点P在圆上|PQ|=r；点P在点圆外|PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则点M（x0，y0）在圆上(x0―a)2+(y0―b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0―a)2+(y0―b)2＞r2；点M（x0，y0）在圆内(x0―a)2+(y0―b)2＜r2．

举一反三：

【变式1】已知点A（2，3）在圆外，则实数m的取值范围为________．

【答案】（3，5）

【解析】∵圆即，

∴5－m＞0，则m＜5．

∵点A（2，3）在圆外，∴4+9－4－12+m＞0，∴m＞3．

综上可得，3＜m＜5，

故答案为：（3，5）．

类型四：轨迹问题

例7．已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．

【思路点拨】先设出要求点的坐标，然后列出点满足的几何条件，化简整理即可。

【答案】(x+1)2+y2=4   曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆

【解析】  在给定的坐标系中，设M（x，y）是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是．

由两点间距离公式，得，两边平方并化简，得曲线方程x2+y2+2x―3=0，配方得(x+1)2+y2=4．

所以所求曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆（如图）．

【总结升华】  本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下：

（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；

（2）几何点集：写出满足题设的点M的集合P={M|P (M)}；

（3）翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；

（4）化简方程：通过同解变形化简方程；

（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．

举一反三：

【变式1】如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．

【答案】2ax+2by=a2+b2（x＞0且y＞0）．