【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：元素和集合的关系

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一、选择题（共27小题；共135分）
1. 已知集合 A=xx≤10，a=2+3，则 a 与集合 A 的关系是
A. a∈AB. a∉AC. a=AD. a∈A

2. 下列结论正确的是
A. ∅⫋AB. ∅∈0
C. 1,2⊆ZD. 0∈0,1

3. 集合 A 只含有元素 a，则下列各式正确的是
A. 0∈AB. a∉AC. a∈AD. a=A

4. 下列关系中表述正确的是
A. 0∈∅B. 0∉xx2−x=0
C. 0∈ND. 0∉yy=x,x∈N

5. 已知集合 A=x∣xx−2=0 ，那么
A. 0∈AB. 2∉AC. −1∈AD. 0∉A

6. 已知集合 M=x∣x2≥3 ，下列实数 a 中，符合 a∉M 的是
A. a=−2B. a=−1C. a=2D. a=3

7. 由实数 x，−x，∣x∣，x2，−3x3 所组成的集合最多含
A. 2 个元素B. 3 个元素C. 4 个元素D. 5 个元素

8. 已知非空集合 M⊆1,2,3,4,5，若 a∈M，则 6−a∈M，那么集合 M 的个数为
A. 5B. 6C. 7D. 8

9. 给出以下关系式：
① 2∈R；② 0.3∈Q；③ 0∈N；④ 0∈0；
⑤ 0∈N+；⑥ 12∈N+；⑦ −π∈Z；⑧ −5∈Z．
其中正确关系式的个数是
A. 4B. 5C. 6D. 7

10. 设集合 A=−1,1,2，集合 B=xx∈A且2−x∉A，则 B=
A. −1B. 2C. −1,2D. 1,2

11. 已知 P=x2A. 6
12. 已知集合 A=x,yx2+y2≤3,x∈Z,y∈Z，则 A 中元素的个数为
A. 9B. 8C. 5D. 4

13. 已知集台 M=x,yy=3x2−2x−5,x,y∈R，N=x,yy=−4x,x,y∈R，则
A. −1,0∉M，2,−2∉N
B. 2,3∉M，2,−2∈N
C. −2,3∈M，1,−4∉N
D. 1,−4∈M，4,−1∈N

14. 已知集合 P=xx=aa+bb,a,b为非零常数，则下列选项中不正确的一项是
A. −1∈PB. −2∈PC. 0∈PD. 2∈P

15. 定义集合 A，B 的一种运算：A*B=xx=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B，若 A=1,2,3，B=1,2，则 A*B 中的所有元素的数字之和为
A. 9B. 14C. 18D. 21

16. 设集合 M=xx>2，P=xx<3，那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的
A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件D. 非充分条件，也非必要条件

17. 集合 P=1,3,5,7,9,⋯,2n−1,⋯(n∈N*)，若 a∈P，b∈P，则 a⊕b∈P，则运算可能是
A. 加法B. 减法C. 除法D. 乘法

18. 已知集合 M 由三个元素 1，2，1x−2 构成，且 x∈M，则实数 x 的值为
A. −1B. 0C. 1D. −1 或 0

19. 已知集合 A=yy=−x2+5x−4,x∈R，则有
A. 1∈A，且 4∈AB. 1∈A，且 4∉A
C. 1∉A，且 4∈AD. 1∉A，且 4∉A

20. 下列各个关系式中，正确的是
A. ∅=0B. 2∈Q
C. 3,5≠5,3D. 1⊆xx2=x

21. 集合 P=1,4,9,16,⋯，若 a∈P，b∈P，有 a⊙b∈P，则运算 ⊙ 可能是
A. 加法B. 减法C. 除法D. 乘法

22. 当一个非空数集 G 满足“若 a,b∈G，则 a+b，a−b，ab∈G，且 b≠0 时，ab∈G”时，我们就称 G 是一个数域．以下四个关于数域的命题：
① 0 是任何数域中的元素；
②若数域 G 有非零元素，则 2019∈G；
③集合 P=xx=2k,k∈Z 是一个数域；
④有理数集是一个数域．
其中真命题有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

23. 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ∀a,b∈S，有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封闭的．若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且 ∀a,b,c∈T，有 abc∈T，有 ∀x,y,z∈V，有 xyz∈V．则下列结论恒成立的是：
A. T，V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. T，V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. T，V 中有且只有有一个关于乘法是封闭的
D. T，V 中每一个关于乘法是封闭的

24. 已知集合 1,2,3,4,5 的非空子集 A 具有性质 P：当 a∈A 时，必有 6−a∈A．则具有性质 P 的集合 A 的个数是
A. 8B. 7C. 6D. 5

25. 对于任意两个正整数 m，n 定义某种运算”※”如下：当 m，n 都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当 m，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合 M=a,ba※b=12,a∈N+,b∈N+ 中的元素个数是
A. 10B. 15C. 16D. 18

26. 已知集合 A=0,1,2，则集合 B=x−yx∈A,y∈A 中元素的个数是
A. 1B. 3C. 5D. 9

27. 在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 k，即 k=5n+kn∈Z，k=0，1，2，3，4，给出如下四个结论：
① 2011∈1；② −3∈3；③若整数 a，b 属于同一“类”，则 a−b∈0；④若 a−b∈0，则整数 a，b 属于同一“类”．其中，正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 已知集合 A 是由 x<1 的数构成，则下面结论正确的是
A. 0∈AB. 1∈AC. 3∉AD. −1∉A

29. 给出关于满足 A⫋B 的非空集合 A，B 的四个命题，其中正确的命题是
A. 若任取 x∈A，则 x∈B 是必然事件
B. 若任取 x∉A，则 x∈B 是不可能事件
C. 若任取 x∈B，则 x∈A 是随机事件
D. 若任取 x∉B，则 x∉A 是必然事件

30. 已知集合 M=aa=x2−y2,x∈Z,y∈Z，下面结论正确的是
A. 如果 a∈Z 且 a∈M，则 −a∈M
B. 如果 P=bb=2n+1,n∈Z，那么 P⊆M
C. 如果 c=4n+2，n∈Z，那么 c∈M
D. 如果 a1∈M，a2∈M，那么 a1a2∈M
答案
第一部分
1. A【解析】由于 2+3<10，所以 a∈A．
2. C
3. C
4. C
5. A
6. B
7. A【解析】x2=∣x∣，−3x3=−x．
当 x>0 时，∣x∣=x，
当 x<0 时，∣x∣=−x，
当 x=0 时，∣x∣=x=−x=0，
所以 x，−x，∣x∣ 中，至少有 2 个实数相等，
由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含 2 个元素．
8. C【解析】因为 a∈M，6−a∈M，非空集合 M⊆1,2,3,4,5，
所以 3 在 M 中可单独出现，1 和 5，2 和 4 必须成对出现，逐个验证，可得集合 M 为 1,5，2,4，3，3,1,5，3,2,4，1,5,2,4，1,5,3,2,4，共 7 个．
9. B【解析】⑤⑥⑦错误，①②③④⑧正确．
10. C
【解析】集合 B=xx∈A且2−x∉A，集合 A=−1,1,2．
当 x=−1 时，可得 2−−1=3∉A；
当 x=1 时，可得 2−1=1∉A；
当 x=2 时，可得 2−2=0∉A；
所以 B=−1,2，故选C．
11. B
12. A【解析】由 x2+y2≤3 知，−3≤x≤3，−3≤y≤3．又 x∈Z，y∈Z，
所以 x∈−1,0,1，y∈−1,0,1，
所以 A 中元素的个数为 9．
13. D【解析】将各选项中的点分别代入一元二次函教 y=3x2−2x−5 与反比例山数 y=−4x 进行验证．
14. A【解析】讨论 a，b 的符号，去掉绝对值．若 a，b 同正，则 x=2；若 a，b 同负，则 x=−2；若 a，b 异号，则 x=0．所以集合 P=−2,0,2．
15. B
16. B
17. D
18. C
19. B
20. D
21. D【解析】P 中的元素可以改写成 n2,n∈N*，所以 a⋅b∈P．
22. C【解析】由 a,b∈G，a−b∈G，得 b=a 时，a−a=0∈G，所以①正确；
若数域 G 有非零元素，则必有 1∈G，则 1+1=2∈G⇒3∈G⇒⋯⇒2019∈G，所以②正确；
集合 P 表示偶数集，显然 2∈P，可得 22=1∈G，这与 P 中元素为偶数矛盾，所以③错误；
由于有理数进行四则运算的结果仍为有理数，所以④正确．
23. A【解析】由于 T∪V=Z，故整数 1 一定在 T，V 两个集合中的一个中，
不妨设 1∈T，则 ∀a,b,∈T，
由于 a,b,1∈T，则 a⋅b⋅1∈T，即 ab∈T，从而 T 对乘法封闭；
另一方面，当 T=非负整数，V=负整数 时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故D不对；
当 T=奇数，V=偶数 时，T，V 显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对．
24. B【解析】由条件可知，A 中有 1，必有 5；有 2，必有 4；3 可单独出现．
满足题意的子集有 3，1,5，2,4，3,1,5，3,2,4，3,1,5,2,4，1,5,2,4，共 7 个．
25. B
【解析】从定义出发，抓住 a，b 的奇偶性对 12 实行分拆是解决本题的关键．当 a，b 同奇偶时，根据 a※b=a+b 将 12 分拆成两个奇数或两个偶数的和，当 a，b 一奇一偶时，根据 a※b=ab 将 12 分拆成一个奇数、一个偶数的积，再算其组数即可．
若 a，b 同奇偶，有 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6，前面的 5 种可以交换位置，最后一种只有 1 个，这时有 2×5+1=11 个；
若 a，b 一奇一偶，有 12=1×12=3×4，每种可以交换位置，这时有 2×2=4 个．
共有 11+4=15 个．
26. C【解析】当 x=0,y=0 时，x−y=0；当 x=0,y=1 时，x−y=−1；当 x=0,y=2 时，x−y=−2；当 x=1,y=0 时，x−y=1；当 x=1,y=1 时，x−y=0；当 x=1,y=2 时，x−y=−1；当 x=2,y=0 时，x−y=2；当 x=2,y=1 时，x−y=1；当 x=2,y=2 时，x−y=0．根据集合中元素的互异性知，B 中元素有 0,−1,−2,1,2，共 5 个．
27. C【解析】由于 k=5n+kn∈Z，对于①，2011 除以 5 等于 402 余 1，所以 2011∈1，所以①对；对于②，−3=−5+2，被 5 除余 2，所以②错；对于③，因为 a，b 是同一类，可设 a=5n1+k，b=5n2+k，则 a−b=5n1−n2 能被 5 整除，所以 a−b∈0，所以③正确；对于④，若 a−b=0，则可设 a−b=5n，n∈Z，即 a=5n+b，n∈Z，不妨令 b=5m+k，m∈Z，k=0，1，2，3，4，则 a=5n+5m+k=5m+n+k，m∈Z，n∈Z，所以 a，b 属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．
第二部分
28. A， C
【解析】因为集合 A 是由 x<1 的数构成，3，1 不满足不等式 x<1，而 0，−1 满足不等式 x<1，
所以 0∈A，1∉A，3∉A，−1∈A．
故选AC．
29. A， C， D
30. A， B， D
【解析】对于选项A，易知 −a=y2−x2，
所以 −a∈M，故选项A正确；
对于选项B，b=2n+1，n∈Z，则恒有 2n+1=n+12−n2，
所以 2n+1∈M，
所以 P⊆M，故选项B正确；
对于选项C，c=4n+2，n∈Z，
若 4n+2∈M，则存在 x,y∈Z，使得 x2−y2=4n+2，
所以 4n+2=x+yx−y，
所以 x+y 和 x−y 同奇或同偶，
若 x+y 和 x−y 都是奇数，则 x+yx−y 为奇数，而 4n+2 是偶数，
若 x+y 和 x−y 都是偶数，则 x+yx−y 能被 4 整除，而 4n+2 不能被 4 整除，
所以 4n+2∉M，即 c∉M，故选项C错误；
对于选项D，因为 a1∈M，a2∈M，
所以令 a1=x12−y12，a2=x22−y22，xi,yi∈Z，i=1,2，
所以
a1a2=x12−y12x22−y22=x1x22+y1y22−x1y22−x2y12=x1x2+y1y22−x1y2+x2y12,
所以 a1a2∈M，故选项D正确．