2022届初中数学一轮复习 第2讲 整式运算及因式分解 课件

这是一份2022届初中数学一轮复习 第2讲 整式运算及因式分解 课件，共60页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，答案C，解决问题，Part2，幂的运算，整式除法运算等内容，欢迎下载使用。
命题点1　列代数式1.(2018·安徽,6,4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则(　　)A.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2a
答案 B解析 由题意知,2016年有效发明专利数为a万件,增长率为22.1%,则2017年为(1+22.1%)a万件,2018年为(1+22.1%)(1+22.1%)a=(1+22%)2a万件,故选B.
2.(2016·安徽,6,4分)2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a、b之间满足的关系式为(　　)A.b=a(1+8.9%+9.5%)B.b=a(1+8.9%×9.5%)C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)
答案 C解析 2013年收入a亿元,2014年增长率为8.9%,则2014年收入为(1+8.9%)a亿元,2015年增长率为9.5%,则2015年的收入为(1+9.5%)(1+8.9%)a亿元.故选C.
命题点2　求代数式的值3.(2014·安徽,7,4分)已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为(　　)A.-6B.6C.-2或6D.-2或30
答案 B解析 ∵x2-2x-3=0,∴2×(x2-2x-3)=0,即2×(x2-2x)-6=0.∴2x2-4x=6.故选B.
命题点3　幂的运算4.(2020·安徽,2,4分)计算(-a)6÷a3的结果是(　　)A.-a3B.-a2C.a3D.a2
答案 C解析 (-a)6÷a3=a6÷a3=a3.故选C.
5.(2019·安徽,2,4分)计算a3·(-a)的结果是(　　)A.a2B.-a2C.a4D.-a4
答案 D解析 原式=-a3·a=-a4.故选D.
6.(2018·安徽,3,4分)下列运算正确的是(　　)A.(a2)3=a5B.a2·a4=a8C.a6÷a3=a2D.(ab)3=a3b3
答案 D解析 ∵(a2)3=a6,∴A不符合题意;∵a2·a4=a6,∴选项B不符合题意;∵a6÷a3=a3,∴C不符合题意;∵(ab)3=a3b3,∴D符合题意.故选D.
7.(2017·安徽,2,4分)计算(-a3)2的结果是(　　)A.a6B.-a6C.-a5D.a5
答案 A解析 原式=(a3)2=a3×2=a6,故选A.
8.(2016·安徽,2,4分)计算a10÷a2(a≠0)的结果是(　　)A.a5B.a-5C.a8D.a-8
答案 C解析 原式=a10-2=a8.故选C.
命题点4　整式的运算9.(2013·安徽,4,4分)下列运算正确的是(　　)A.2x+3y=5xyB.5m2·m3=5m5C.(a-b)2=a2-b2D.m2·m3=m6
答案 B解析 2x+3y无法计算,故A选项错误;5m2·m3=5m5,故B选项正确;(a-b)2=a2-2ab+b2,故C选项错误;m2·m3=m5,故D选项错误.故选B.
10.(2012·安徽,15,8分)计算:(a+3)(a-1)+a(a-2).
解 原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.
命题点5　因式分解11.(2020·安徽,12,5分)分解因式:ab2-a=_____________. 
答案 a(b+1)(b-1)解析 原式=a(b2-1)=a(b+1)(b-1).
12.(2018·安徽,5,4分)下列分解因式正确的是(　　)A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)
13.(2017·安徽,12,5分)因式分解:a2b-4ab+4b=_____________. 
答案 b(a-2)2解析 原式=b(a2-4a+4)=b(a-2)2.
14.(2016·安徽,12,5分)因式分解:a3-a=_____________. 
答案 a(a+1)(a-1)解析 原式=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).
命题点6　数式规律探索15.(2017·安徽,19,10分)【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n= ,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为_____________,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=_____________,因此12+22+32+…+n2=_____________. 
解析 【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:
考点一　代数式(低频考点)　1.代数式的概念代数式概念:代数式是用基本运算符号　(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数　和表示数　的字母　连接起来的式子.单独的一个数或一个字母是　(填“是”或“不是”)代数式. 2.列代数式(10年2考)把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出来.3.代数式求值(10年2考)代数式的值:用数值代替代数式里的字母　,计算后所得的结果. 
考点二　整式的运算(高频考点)　1.整式的加减(1)单项式:由数与字母的乘积　组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母　也是单项式).单项式中的数字　因数叫做这个单项式的系数.单项式中的所有字母的指数的和　叫做这个单项式的次数. (2)多项式:几个单项式的和　叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项　.不含字母的项叫做常数项　.一个多项式中,次数最高　项的次数,叫做这个多项式的次数. (3)单项式　和多项式　统称为整式. 
(4)所含字母相同　,且相同字母　的指数也相同的项叫做同类项,所有的常数项　都是同类项. (5)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项　,叫做合并同类项.合并同类项的法则为:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变. (6)去括号法则:去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同　;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反　. (7)整式的加减:实际上就是去括号和合并同类项.进行整式加减运算的一般步骤是:①根据去括号法则去括号;②准确找出同类项,按照合并同类项法则合并同类项.
3.整式乘法运算(10年9考)
考点三　因式分解(高频考点)　1.概念把一个多项式化为几个整式的积　的形式叫做因式分解. 注意:(1)因式分解的结果一定要分解到每个因式不能再分解为止;(2)能提取公因式的一定要提取公因式,特别是数字因式时不能忽略; (3)结果一定是积的形式.
2.方法(10年8考)(1)提公因式法①ma+mb=m(a+b)　. ②公因式的确定.系数:取各项系数的最大公约数　; 字母:取各项相同　的字母; 指数:取各相同字母的最低　次幂. 
(2)公式法(3)因式分解的一般步骤:一提:若有公因式,应先提公因式;二套:若各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式.当多项式为两项时,考虑用平方差公式,当多项式为三项时,考虑用完全平方公式;三查:检查因式分解是否彻底,是不是分解到每一个多项式都不能再分解.
考法1列代数式例1(2020·安徽模拟)一辆汽车沿一条公路上山,速度是10 km/h,从原路下山,速度是20 km/h,则这辆汽车上、下山的平均速度是(　　)A. km/h　　　　　B.12.5 km/hC.14.5 km/h D.15 km/h
方法总结 本题主要考查了列代数式的知识,属于平均速度的问题,一般公式为总路程除以总时间.
对应练1(2020·安徽亳州二模)某公司去年10月份的利润为a万元,11月份比10月份减少5%,12月份比11月份增加了9%,则该公司12月份的利润为(　　)A.(a-5%)(a+9%)万元B.(a-5%+9%)万元C.a(1-5%+9%)万元D.a(1-5%)(1+9%)万元
答案 D解析 由题意得11月份利润为a(1-5%)万元,则12月份利润为a(1-5%)(1+9%)万元.
对应练2(2020·河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.第一次按键后,A,B两区分别显示:(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.
解 (1)A区显示结果为:25+a2+a2=25+2a2,B区显示结果为:-16-3a-3a=-16-6a.(2)和不能为负数.理由如下:初始状态按4次后A区显示为:25+a2+a2+a2+a2=25+4a2,B区显示为:-16-3a-3a-3a-3a=-16-12a,25+4a2+(-16-12a)=4a2-12a+9=(2a-3)2.(2a-3)2≥0恒成立,故和不能为负数.
考法2求代数式的值例2(2020·新疆建设兵团)先化简,再求值:(x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1),其中x=- .
解析 (x-2)2-4x(x-1)+(2x+1)(2x-1)=x2-4x+4-4x2+4x+4x2-1 =x2+3.
方法总结 求代数式的值的问题,我们可以把代数式中的字母的值直接代入求解,通常的做法是如果代数式能分解因式,那么先分解因式后进行化简,最后求值.也可以把要求的代数式进行变形,整体代入求解.
对应练3(2020·山东济宁)先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x= .
对应练4(2020·贵州黔西南州)如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2020次输出的结果为_____________. 
对应练5(2020·四川成都)已知a=7-3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为_____________. 
答案 49解析 由题意,得a2+6ab+9b2=(a+3b)2=72=49.
考法3幂的运算例3(2020·江苏苏州)下列运算正确的是(　　)A.a2·a3=a6B.a3÷a=a3C.(a2)3=a5D.(a2b)2=a4b2
答案 D解析 a2·a3=a5,故A选项错误;a3÷a=a2,故B选项错误;(a2)3=a6,故C选项错误;(a2b)2=a4b2,故D选项正确.故选D.
方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方,以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.
对应练6(2020·四川成都)下列计算正确的是(　　)A.3a+2b=5abB.a3·a2=a6C.(-a3b)2=a6b2D.a2b3÷a=b3
答案 C解析 3a+2b无法计算,故A选项错误;a3·a2=a5,故B选项错误;(-a3b)2=a6b2,故C选项正确;a2b3÷a=ab3,故D选项错误.
对应练7(2020·四川乐山)已知3m=4,32m-4n=2.若9n=x,则x的值为(　　)A.8B.4C.2 D.
考法4整式的运算例4(2020·贵州黔东南州)下列运算正确的是(　　)A.(x+y)2=x2+y2B.x3+x4=x7C.x3·x2=x6D.(-3x)2=9x2
答案 D解析 (x+y)2=x2+2xy+y2,故A选项错误;x3+x4,不是同类项,无法合并,故B选项错误;x3·x2=x5,故C选项错误;(-3x)2=9x2,故D选项正确正确.
方法总结 此题主要考查了完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a,b所表示的两个数及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.
对应练8(2020·四川遂宁)下列计算正确的是(　　)C.(-3a2b)2=6a4b2D.3a2b÷b=3a2
对应练9(2020·江苏无锡)若x+y=2,z-y=-3,则x+z的值等于(　　)A.5B.1C.-1D.-5
答案 C解析 ∵x+y=2,z-y=-3,∴(x+y)+(z-y)=x+z=-1,∴x+z的值等于-1,故选C.
对应练10(2020·浙江杭州)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P=_____________. 
考法5因式分解例5(2020·贵州黔东南州)在实数范围内分解因式:xy2-4x=_____________. 
答案 x(y+2)(y-2)解析 xy2-4x=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).
方法总结 因式分解在初中范围内主要有两种方法,一是提取公因式法,二是运用公式法(即运用平方差公式或完全平方公式).在进行分解因式的时候,首先看能否提取公因式,然后看能否运用公式.切记:因式分解要进行到每个因式都不能再分解为止.
对应练11(2020·四川成都)分解因式:x2+3x=____________.
对应练12(2020·山东聊城)因式分解:x(x-2)-x+2=_____________. 
答案(x-2)(x-1)解析 x(x-2)-x+2=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1).
对应练13(2020·山东济宁)因式分解:ab2-2ab+a=_____________. 
答案 a(b-1)2解析 ab2-2ab+a=a(b2-2b+1)=a(b-1)2.
考法6数式规律探索例6(2020·山东聊城)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成,如图中的每一个小正方形表示一块地砖,如果按图①②③…的次序铺设地砖,第n个图形用图 表示,那么图 中的白色小正方形地砖的块数是(　　)A.150B.200C.355D.505
答案 C解析 该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解.方法1:根据图形规律可知,白色小正方形地砖的块数分别为:① 5×3-3×1;② 5×5-3×2;③ 5×7-3×3;…则图 有白色小正方形地砖的块数是5(2n+1)-3n=7n+5,图 中的白色小正方形地砖的块数是7×50+5=355.
方法2:从数字规律考虑,图①②③中白色小正方形地砖的块数分别为12,19,26,…发现相邻两数的差均为7,即有① 12=7×1+5;② 19=7×2+5;③ 26=7×3+5;…则图 中白色小正方形地砖的块数是7n+5,图 中的白色小正方形地砖的块数是7×50+5=355.
方法3:从函数角度入手考虑,根据题意,初步猜想白色小正方形地砖的块数s与图形序号n具有一次函数关系,设s=kn+b,把(1,12),(2,19)代入,得∴s=7n+5.验证:当n=3时,s=7×3+5=26,符合题意.当n=50时,s=7×50+5=355.
方法总结 一、数式的变化规律1.找出等式中“变”与“不变”的部分.2.分析出“变”的规律.3.常用数字规律有:(1)正整数数列规律:1,2,3,…,n;(2)奇(偶)数列规律:1,3,5,…,2n-1(2,4,6,…,2n);(3)2,4,8,16,…,2n;(4)3,9,27,81,…,3n;(5)正整数和:1+2+3+…+n= ;(6)正奇数和:1+3+5+…+(2n-1)=n2;(7)正偶数和:2+4+6+…+2n=n(n+1).
二、图形的变化规律1.标序号:记每组图形的序号为“1,2,3,…,n”; 2.数图形的个数:在图形数量变化时,要记下每组图形表示的个数;3.寻找图形数量与序号n的关系:针对寻找第n个图形表示的数量时,先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比较,通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化,然后按照定量变化推导出第n个图形的个数;4.验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确.(注:当图形变化规律不明显时,可把序号n作为自变量,把第n个图形的个数看作是函数值,设函数解析式为y=an2+bn+c,再代入三组值进行计算即可,若a=0,则是一次函数)
对应练14(2020·重庆A卷)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,……,按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为(　　)A.10B.15C.18D.21
答案 B解析 ∵第①个图案中黑色三角形的个数为1,第②个图案中黑色三角形的个数为3=1+2,第③个图案中黑色三角形的个数为6=1+2+3,……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15.
对应练15(2020·甘肃天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=S,用含S的式子表示这组数据的和是(　　)A.2S2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2-2S-2
答案 A解析 由题意得这组数据的和为:2100+2101+2102+…+2199+2200=2100(1+2+…+299+2100)=2100(1+2101-2)=2100(2101-1)=2100(2100×2-1),∵2100=S,∴原式=S(S×2-1)=2S2-S.
对应练16(2020·青海)观察下列各式的规律:①1×3-22=3-4=-1;②2×4-32=8-9=-1;③3×5-42=15-16=-1.请按以上规律写出第4个算式_____________.用含有字母的式子表示第n个算式为_____________. 
答案 4×6-52=24-25=-1　n×(n+2)-(n+1)2=-1.解析 ①1×3-22=3-4=-1,②2×4-32=8-9=-1,③3×5-42=15-16=-1,④4×6-52=24-25=-1.所以第4个算式为4×6-52=24-25=-1.第n个式子为n×(n+2)-(n+1)2=-1.
对应练17(2020·黑龙江绥化)如图各图形是由大小相同的黑点组成,图1中有2个点,图2中有7个点,图3中有14个点,……,按此规律,第10个图中黑点的个数是_____________. 
答案 119解析 ∵图1中黑点的个数为2×1×(1+1)÷2+(1-1)=2,图2中黑点的个数为2×2×(1+2)÷2+(2-1)=7,图3中黑点的个数为2×3×(1+3)÷2+(3-1)=14,……∴第n个图形中黑点的个数为2n(n+1)÷2+(n-1)=n2+2n-1,∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10-1=119.
杨辉三角杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,如图所示.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年.
1.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:徽、爱、我、安、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是(　　)A.我爱美　B.安徽游　C.我爱安徽　D.美我安徽
答案 C解析 因式分解:(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),根据题中的相应式子对应的密码信息可得,结果可能为“我爱安徽”,故选C.
2.(2019·广东)如图①所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示.小明按图②所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是_____________(结果用含a,b的代数式表示).  图①　　　　　　　　 图②
答案 a+8b解析 由拼成的图形可知,5个水平正放置基本图形的长度为5a,上下图形拼接部分的长度为4[b-(a-b)]=8b-4a.∴拼成的图形的总长度为5a+(8b-4a)=a+8b.