专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.5  三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）

【学习目标】

 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；

2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；

3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

【知识点梳理】

知识点一、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.

       图一                                   图二

注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；

特别说明：如图二                          

（1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。

（2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心；

（3）三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；

(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.

知识点二、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．

三角形的中线的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.

图三                                           图四

特别说明：

（1）三角形的中线是线段；

(2)三角形三条中线全在三角形内部；

(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；

(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：

知识点三、三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.

图五                                         图六

注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .

特别说明：

（1）三角形的角平分线是线段；

（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；

图七                        

知识点四、三角形的稳定性

   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.  

特别说明：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

【典型例题】

 类型一、三角形的高线

（1）、三角形高线的画法

1 如图，已知，画出的高AD和CE．

解：如图，AD、CE为所作．
 

【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。此垂线段就是这边上的高。

（2）、三角形高线等面积法的计算

2. 如图，已知，按要求作图．

（1）过点作的垂线段；

（2）过作、的垂线分别交于点、；

（3），，，，求点到线段的距离．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为．

       【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；

（3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出．

 解：（1）如图，为所作；

（2）如图，、为所作；

（3），

，

即点到线段的距离为．

【点拨】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.

 类型二、三角形的中线

1）三角形中线中有关线段和角的计算

 3.如图，AD为的中线，BE为的中线．

（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；

（2）若的面积为40，BD边上的高为5，BD为多少？

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）直接根据三角形的外角性质即可得；

（2）先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的定义即可得．

解：（1）∵是的外角，

∴，

又∵，，

∴；

（2）的面积为40，BD边上的高为5，

，

解得，

AD为的中线，

，

即．

【点拨】本题考查了三角形的外角性质、三角形中线的定义等知识点，熟练掌握三角形的相关知识是解题关键．

2）与三角形重心有关线段和面积的计算

4. 已知点是的重心，连接、，那么_________．

【答案】

【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可．

 解：连接AG并延长交BC于D

∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，

∴△DGC的面积等于△ADC面积的，

△DGB的面积等于△ADB面积的，

∴△DGC的面积+△DGB的面积=（△ADC的面积+△ADB的面积）

∴△BCG的面积=△ABC的面积

∴

故答案为：

【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答此题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，点G为△ABC的重心，AG＝4，则中线AD的长为________．

【答案】6

【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD即可求出AD．

解：∵G是△ABC的重心，AD是中线，AG=4，
∴AG:GD=2:1，

∴GD=2
∴AD=AG+GD=6．
故答案为：6．

【点拨】此题主要考查了三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟练掌握．

 类型三、三角形的角平线

1）与三角形的角平分线的有关角和线段计算

5． 如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=______．

【答案】60°

【分析】

由AD∥BC，∠B=30°，根据平行线的性质，可得∠ADB=30°，又由DB平分∠ADE，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．

解：∵AD∥BC，∠B=30°，

∴∠ADB=∠B=30°，

∵DB平分∠ADE，

∴∠ADE=2∠ADB=60°，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ADE=60°．

【点拨】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

举一反三：

【变式1】 已知：如图，与点不重合的两点、分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点．

（1）当点、分别在射线、上，且时，求的度数；

（2）当点、分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围．

【答案】（1）45°；（2）不变，45°

【分析】（1）由题意，先求出，由角平分线的定义，求出，，由三角形外角的性质，即可求出答案；

（2）由三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义即可求出答案．

     解：（1）∵，即，，

∴，

∵平分，平分，

∴，，

∴．

（2）的大小不会发生变化，理由如下：

∵平分，平分，

∴，，

∴

．

【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所                   学的知识，正确的得到角的关系．

2）与三角形的角平分线的有关线段最值问题

 6． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，平分交于点，点、分别是线段、上的动点，求的最小值．

【答案】

【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出CH的长度，CH的长度即为的最小值．

 解：如解图，过点作于点，交于点，过点作 于点，

∵平分，

∴．

∴．

∵，

∴此时最短，即的值最小．

∵、、，

∴，．

∴为等腰直角三角形．

∴．

∴的最小值为．

【点拨】本题考查最短路径问题，过点作于点，根据垂线段最短、角平分线的性质得到CH的长度即为的最小值是解题的关键．

质是解题的关键．

3）三角形角平分线的有关几何模型

7． 如图BO、CO分别平分和，DE过点D且，，，求的周长．

【答案】周长为23cm.

【分析】根据已知可以推出OD=DB,OE=EC,那么△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=23.

解：∵BO、CO分别平分和，

，，

又．

，，

，，

，，

∴周长

【点拨】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及定理是解题关键.

8． 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠A2018的度数为________（用含α的代数式表示）．

【答案】

【分析】根据角平分线的定义以及三角形的外角性质可得∠A1＝α，∠A2＝α，∠A3＝α，据此找出规律解答即可．

 解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，

∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，

∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，

同理可得∠A2＝∠A1＝α，

∠A3＝∠A2＝α，

……

以此类推，∠A2018＝．

故答案为：．

【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质以及规律探求问题，熟练掌握上述知识是解题的关键．

 类型五、三角形的稳定性

9. 如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？

如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？

如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？

归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；

②四边形木架的形状______说明四边形没有______．

【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；

图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；

图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；

归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．

【分析】

①根据三角形的稳定性进行解答即可；

②根据四边形的不稳定性进行解答即可．

【详解】

图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；

图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；

图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；

归纳：

①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．

故答案为： 是三角形， 稳定性；

②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．

故答案为： 四边形， 稳定性 ．

【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．

举一反三：

【变式】 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？

【答案】根木条；根木条．

【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n边形需要多少很容易得出规律了.

 解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上根木条；

要使一个边形木架不变形，至少再钉上根木条．

【点拨】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.