专题11.8 三角形角平分线几何模型（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题11.8 三角形角平分线几何模型（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题11.8 三角形角平分线几何模型（专项练习）
一、填空题
1．（2018·上海虹口区·七年级期末）如图，在△中，，如果与的平分线交于点，那么＝_________ 度．

2．（2020·青县第二中学八年级月考）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝_________，∠A2021＝____________．

3．（2020·四川成都市·成都实外七年级期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________．

4．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝_____

5．（2020·长沙市望城区郡维学校八年级月考）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）

6．（2020·固原市原州区三营中学八年级月考）如图，已知的角平分线BD，CE相交于点O，∠A=60°，则∠BOC=__________．

7．（2020·浙江杭州市·八年级专题练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则_______，________，________
（2）若，则________．


二、解答题
8．（2019·全国九年级单元测试）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.

9．（2019·全国九年级单元测试）如图，在中，的平分线与，的外角平分线交于点，的延长线于点，已知，，求、的度数.

10．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系.

11．（2019·全国九年级专题练习）如图，，，为平分线，为的平分线，求的度数.

12．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数.

13．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）中，．
（1）如图①，若点是与平分线的交点，求的度数；
（2）如图②，若点是与平分线的交点，求的度数；
（3）如图③，若点是与平分线的交点，求的度数；
（4）若.请直接写出图①，②，③中的度数，(用含的代数式表示)

14．（2020·江苏泰州市·泰兴市实验初级中学七年级期中）直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
15．（2020·福建省福州民族中学八年级月考）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数

16．（2020·福建省泉州实验中学七年级期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
17．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学七年级期末）在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形；
（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　．
（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．

18．（2020·山东淄博市·七年级期中）如图，的角平分线相交于点．

（1）若，则________；
（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．
19．（2019·蚌埠第一实验学校八年级期中）（1）问题发现：
如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．

20．（2020·广东东莞市·虎门成才实验学校八年级月考）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．

（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
21．（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．

22．（2020·安陆市涢东学校八年级月考）平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．

23．（2019·福建泉州市·七年级期末）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．
①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．

24．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，，于，与的平分线交于点，与的平分线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由.

25．（2020·江苏无锡市·七年级月考）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝ °；
（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON＝n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．

26．（2019·浙江八年级期末）（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由．
（2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由．

27．（2020·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．

（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：
①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；
②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．
28．（2019·上海闵行区·七年级期中）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．
（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，，则_________．

（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．

29．（2020·河南七年级期末）在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．

30．（2020·广东中山市·八年级期中）已知，在四边形ABCD中，．

（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
参考答案
1．125
【分析】
先利用三角形内角和定理求出的度数，进而可求的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】
，
．
∵BD平分，CD平分 ，
，
．
故答案为：125．
【点拨】
本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．
2．
【分析】
据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】
解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=，
同理可得：∠An=，
∴∠A2021=，
故答案为：，．
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
3．36
【分析】
首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果；
【详解】
由图知：，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵的两条高、交于点，
∴，，
∴，
∴在四边形中有：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】
本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．
4．40°
【分析】
根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，
故答案为：40°．
【点拨】
本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．
5．①④
【分析】
依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．
【详解】
∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝（∠ACD−∠ABC）＝∠1，
故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）
＝180°−（∠ABC＋∠ACB）
＝180°−（180°−∠1）
＝90°＋∠1，
故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；
故答案为：①④．
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
6．
【分析】
根据三角形的内角和定理、角平分线的定义即可得．
【详解】
，
，
BD、CE是的角平分线，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
7．40° 20° 10°
【分析】
（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；
（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．
【详解】
解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC
=∠ACD－∠ABC
=（∠ACD－∠ABC）
=∠A
=40°
同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°
故答案为：40°；20°；10°．
（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC
=∠ACD－∠ABC
=（∠ACD－∠ABC）
=∠A
=°
同理可证：∠A2=∠A1=°，
∠A3=∠A2=°
∴∠A2015=°
故答案为：°．
【点拨】
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．
8．
【解析】
【分析】
运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】
解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，
∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=180°-（180°-m°+180°-n°）；
=
【点拨】
本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
9．；.
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理、角平分线定义得出，即可
【详解】
解：，，．
平分，
．
是内、外角平分线的交角，
．
．
是内、外角平分线的交角，
．
【点拨】
此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．
10．
【解析】
【分析】
先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A1与∠A的关系，同理得出∠A2与∠A1的关系，从而推导出∠A2与∠A的关系，……，进而归纳出∠An与∠A的关系，即可得出答案.
【详解】
解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC，
在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵与的平分线相交于，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，
∴∠A1=∠A，
同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A，
由此可得，∠A3=∠A，
……
∴.
【点拨】
本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键.
11．
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质分别用三个式子表达出，进而利用等式性质即可得出答案.
【详解】
解：由四边形BODE中，①；
在三角形COD中，②，
在三角形AOB中，③，
由②+③得，，
即，
∵为平分线，为的平分线，
∴，，
∴.
【点拨】
本题考查了三角形外角的性质.在图形中利用三角形外角的性质得出的三种表达形式，并灵活应用等式的性质是解题的关键.
12．，.
【解析】
【分析】
先利用三角形外角的性质得到,,再根据角平分线的性质即可得到,即可求出的度数,再根据平角及角平分线的性质即可求出的度数.
【详解】
解:∵PB平分,PC平分,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵PC平分, OC平分,
∴,
∴,
∵,
∴.
【点拨】
本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键.
13．（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①；②；③
【分析】
（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；
（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；
（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=∠A，即可得出结果；
（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．
【详解】
解:（1），
，
点是与平分线的交点，
，，
，
；
（2），
，
点是与平分线的交点，
，
；
（3）点是与平分线的交点，
，，
，，
，
；
（4）若，在（1）中，；
在（2）中，同理得：；
在（3）中，同理得：．
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．
14．(1) ∠AEB的度数为120°；(2) ∠CED的大小不发生变化，其值为60°；(3) ∠DCE的度数为40°或80°．
【分析】
（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；
（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义以及三角形内角和可得∠F =90°-∠AOB，∠CED =90°-∠F，即可得出∠CED的度数；
（3）分三种情况求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=50°．
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠EAB=∠OAB=35°，∠EBA=∠OBA=25°，
∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；
（2）不发生变化，理由如下：
如图，延长BC、AD交于点F，
∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，
∴∠FAB=∠PAB=(180°-∠OAB)，∠FBA=∠MBA=(180°-∠OBA)，
∴∠FAB+∠FBA=(180°-∠OAB)+(180°-∠OBA)=(180°+∠AOB)=90°+∠AOB，
∵∠AOB=60°，
∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-∠AOB=60°，
同理可求∠CED =90°-∠F=60°；

（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；
②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE==80°；
③当∠DCE=∠CDE时，∠DCE==40°，
综上可知，∠DCE的度数40°或80°．
【点拨】
本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和的定理．
15．40°
【分析】
由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．
【详解】
由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，
则有 ，
①-2×②可得∠A=2∠E，
∴∠E=∠A=40°．
【点拨】
本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
16．（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°
【分析】
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】
（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．

【点拨】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
17．（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°
【分析】
（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，
（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，
（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．
【详解】
解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝2∠C，
∴△ABC为2倍角三角形，
故答案为：2；
（2）∵最小内角为α，
∴3倍角为3α，
由题意可得：
3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，
∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．
故答案为22.5°＜α＜30°．
（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，
∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，
∵△EAF是4倍角三角形，
∴∠E＝×90°或×90°，
∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，
∴∠E＝∠ABO，
∴∠ABO＝2∠E，
∴∠ABO＝45°或36°．

【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．
18．（1）60；（2），见解析．
【分析】
（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可．
【详解】
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠A=180°-50°-70°=60°．
故答案为60．
（２）∠DPC=90°-∠A ，
理由：的平分线相交于点，，


，
∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：90°-∠A．
【点拨】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．
19．（1）110°；（2）；（3）
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答；
（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵和的平分线交于，
∴，，
∴
故答案为110°
（2），
证明：∵是的外角，
是的外角，
∴
，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）由（1）得，，
故答案为：．
【点拨】
本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．
20．（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
【点拨】
本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
21．（1）120°；（2）
【分析】
（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；
（2）方法同（1）
【详解】
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；
（2）
证明：在四边形ABCD中，
∴
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴
【点拨】
此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
22．（1）33°；（2）123°
【分析】
（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．
（2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．
【详解】
解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图：

∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线，
∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，
∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，
即：∠M+b=24°+a①，
又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角，
可得∠M+a=42°+b②，
①式＋②式得2∠M=24°+42°，
解得：∠M=33°，
∴．
（2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图:

∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线，
∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，
∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角，
∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
即：24°+(180°-2m）=42°+2n，
可得m+n=81°①，
又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角，
可得∠N+n=24°+(180°-m），
得∠N=204°-（m+n）②，
①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，
∴．
【点拨】
本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．
23．（1）①；②；(2) （3）
【详解】
：（1）①；②；
（2）∵和分别平分和
∴,
∴


即
（3）由轴对称性质知：
由（1）②可得
∴．
24．，见解析.
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余，可分别求出，，即可判断出与的数量关系.
【详解】
解：.理由如下：
∵，
∴，
∵与的平分线交于点，
∴，
∴，
同理可求，
.
【点拨】
本题考查了角平分线的性质及直角三角形两锐角互余等相关知识.熟练根据角平分线的性质及直角三角形两锐角互余这一性质求出与的度数是解题的关键.
25．（1）60°；45°；（2）90°－n；（3）90°－n．
【分析】
（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；
（2）根据（1）中的结论即可求出答案；
（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.
【详解】
（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，
∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABC=∠ABO，∠BAC=∠BAO，
当∠MON＝60°，
∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=60°，
当∠MON＝90°，
∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=45°，
故答案为：60°，45°；
（2）由（1）知∠ACG=（180°-∠MON），
∵∠MON＝n°，
∴∠ACG=（180°-∠MON）=90°－n；
（3）∵AC平分∠BAO，
∴∠BAC=∠CAO
∵CF∥OA，
∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，
∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,
∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,
∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－n，
∴∠BGO－∠ACF=90°－n.

【点拨】
此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.
26．(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
【分析】
(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；

(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；

(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；

(4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．
【详解】
解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线
∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=
(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD
∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD
∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x
∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y
∵∠D+∠AEG=∠MAP
∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y=
∴
∴
【点拨】
本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析
【分析】
（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；
（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
【详解】
（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)
=180°−(∠ABC+∠ACB)
=180°−(180°−∠A)
=180°−90°+∠A
=90°+∠A，
即：∠D=90°+∠A；
（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，
∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，
∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，
∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，
即：∠A−360°+2∠D=−180°，
∴2∠D=180°−∠A，
即：∠A=180°−2∠D；
②∠A=2∠D，理由如下：
∵∠DCE是△ABC的一个外角，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，
∴∠A=2∠D.
【点拨】
本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
28．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）根据以及和分别平分和，算出和,从而算出
【详解】

如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为
∴
又∵
∴
∵在四边形中，内角和为
∴
（2）
∵和分别平分和
∴
又∵
∴
∴
∴
（3）如图：连接AC

∵，
∴
∴
又∵和分别平分和
∴
∴
∴
【点拨】
三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键．
29．（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．
【分析】
（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的内角和定理可求解；
（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性质可求解；
（3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.
【详解】
解：（1）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；
（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，
∴∠BFC＝∠A＝；
（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，
∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，
∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，
∴∠G＝∠BFC＝，
∴∠BMC＝90°+.
【点拨】
此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.
30．（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解
【分析】
（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【详解】
（1）证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF
连接BD
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．

【点拨】
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．