专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了三角形的重心是，三角形的角平分线、中线、高线等内容，欢迎下载使用。

专题11.6 三角形高线、中线与角平分线（专项练习）
一、 单选题
知识点一：作三角形的高
1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组图形中，AD是的高的图形是　　
A． B． C． D．
3．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　）

A． CF B．BE C．AD D．CD
知识点二：三角形的高有关计算
4．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）

A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
5．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（　　）

A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
6．如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )

A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大
C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大
知识点三：垂心
7．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．三角形的重心是（　　）
A．三角形三边的高所在直线的交点
B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条内角平分线的交点
D．三角形三边中垂线的交点
9．如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
知识点四：三角形中线长度的有关计算
10．三角形的角平分线、中线、高线（ ）
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
11．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A． 线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
12．已知BD是的中线，，且的周长为11，则的周长是（ ）
A．9 B．14 C．16 D．不能确定
知识点五：三角形中线的有关面积计算
13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点， 且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（ ）

A．2cm2 B．1cm2 C．0．5 cm2 D．0．25 cm2
14．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为（ ）

A．2 B．1 C． D．
15．如图，△ABC 中，D、E 分别是 BC、AD 的中点，若△ABC 的面积是 18，则△ABE的面积是（ ）

A．9 B．4.5 C．6 D．4
知识点六：三角形重心
16．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的重心是其三条中线的交点
B．三角形的三条角平分线一定交于一点
C．三角形的三条高线一定交于一点
D．三角形中，任何两边的和大于第三边
17．如图，O是△ABC的重心，则图中与△ABD面积相等的三角形个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
18．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　）．

A． 点D B．点E C．点F D．点G
知识点七：三角形重心的有关性质
19．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）

A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
20．如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M， 若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（ ）

A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM
C．△ABD的周长等于△ACD的周长 D．△ABD的面积等于△ACD的面积
21．如图所示，已知G为直角△ABC的重心，，且，，则△AGD的面积是（ ）

A．9cm2 B．12cm2 C．18cm2 D．20cm2
知识点八：三角形的角平分线
22．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（　　）

A．4 B．3 C．6 D．5
23．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（　　）

A．115° B．110° C．100° D．90°
24．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（　　）

A． AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE
知识点九：三角形的稳定性
25．如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ）

A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
26．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
27．如图工人师傅砌门常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据（　　）

A．两点之间线段最短 B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
二、填空题
知识点一：作三角形的高
28．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段_____．

29．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段可以作为△ABC的高的有______条。

30．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AC的长；③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的为_________（填序号）

知识点二：三角形的高有关计算
31．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=_______.

32．如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．

33．如图，点A，B，C是方格纸上的格点，若最小方格的边长为1，则△ABC的面积为__________．

知识点三：垂心
34．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是______．
35．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是_____．
36．阅读下面材料：
如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高.

小明的作法如下：
（1）连接AD，BE，它们相交于点P；
（2）连接CP并延长，交AB于点F.
所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高.

请回答，小明的作图依据是________.
知识点四：三角形中线长度的有关计算
37．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是_____．　

38．在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC的中线，把△ABC的周长分为两部分，若其差为3 cm，则BA＝______．
39．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2，AB+AC=8，则AC的长为______．

知识点五：三角形中线的有关面积计算
40．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.

41．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2

42．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则 △ABC的面积等于_____________.

知识点六：三角形重心
43．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是_____．
44．如图，在中, ,, ，则它的重心到点的距离是_____.

45．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC的重心，连结BP，CP，则△BPC的面积为_____．

知识点七：三角形重心的有关性质
46．如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．

47．如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________ ．

48．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形CEFD的面积是_____．

知识点八：三角形的角平分线
49．△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为_________．

50．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.


51．如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝12________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．

知识点九：三角形的稳定性
52．人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了________.
53．如图,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?

答:______.
54．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加_____根木条才能固定．

二、 解答题
知识点一：作三角形的高
55． 画出如图所示的三角形的三条高．



知识点二：三角形的高有关计算
56．如图，在△ABC中，CE是△ABC的高．
(1)画出BC边上的高AD；
(2)若(1)中的AD＝10，CE＝5，AB＝20，求BC的长．



知识点三：三角形中线长度的有关计算
56． 如图，△ABE中，ÐE = 90°，AC 是ÐBAE的角平分线．
（1） 若ÐB = 30°，求ÐBAC的度数；
（2）若 D 是BC的中点，△ABC的面积为24，CD=3，求AE的长．








知识点四：三角形中线的有关面积计算
58．如图所示，已知△ABC的周长为21 cm，AB＝6 cm，BC边上中线AD＝5 cm，△ABD的周长为15 cm，求AC的长．



知识点五：三角形重心
59．如图，已知△ABC，AD为边BC上的中线，求作△ABC的重心M．




知识点六：三角形重心的有关性质
60．中，点是重心，//，+=7.2cm，求．





知识点七：三角形的角平分线
61．如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=113°，求∠BCF的度数．

知识点八：三角形的稳定性
62．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．


参考答案
1．D
【详解】
试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.
考点：三角形的高

2．D
【分析】
根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】
△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3．B
【解析】
试题分析：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
4．C
【详解】
试题分析:
∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB ，AB=2BF
故选C
考点：三角形的高，角平分线，中线..
5．C
【解析】
分析：
由已知条件可得：S△ABC=AB·CE=BC·AD，再代入AD=2，CE=4即可求得AB：BC的值.
详解：
∵在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的边BC和AB上的高，
∴S△ABC=AB·CE=BC·AD
∵AD=2，CE=4，
∴2AB=BC，
∴AB：BC=1：2.
故选C.
点睛：“由AD、CE分别是△ABC的边BC和AB上的高，得到S△ABC=AB·CE=BC·AD”是解答本题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．
【详解】
解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；
B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；
C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．
D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．
7．B
【解析】
试题分析：因为直角三角形的三条高线的交点是直角顶点，而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上，所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形．
故选B．
点睛：本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．
8．B
【分析】
根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
【详解】
解：三角形三条高的交点是垂心，A选项不符合题意；
三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B选项符合题意；
三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；
三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．
9．C
【分析】
直接根据钝角三角形的三条高线交于三角形的外部解答即可．
【详解】
解：钝角三角形的三条高线交于三角形的外部，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系，即：锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部．
10．A
【分析】
根据三角形的角平分线、中线、高线的定义进行判断．
【详解】
由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；
A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；
B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；
故选：A．
【点睛】
考查了三角形的角平分线、中线、高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
11．B
【详解】
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
【详解】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
其余线段DE、EF、FG都不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
12．A
【分析】
根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求解即可．
【详解】
解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵△ABD的周长为11，AB=5，
∴CD+BD=AD+BD=11-5=6，
∵BC=3，
∴△BCD的周长是6+3=9，
故选：A．

【点睛】
本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．
13．B
【分析】
依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出从而求得△BEF的面积．
【详解】
解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，


∵△ABC的面积是4，
∴S△BEF=1．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S= ×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．
14．B
【分析】
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解．
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE=S△ACD，S△ACD=S△ABC，
∴S阴影=S△ABC=×4=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
15．B
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.
【详解】
∵AD是BC上的中线，
∴，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴，
∴，
∵△ABC的面积是18，
∴.
故选B.
【点睛】
本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.
16．C
【解析】试题分析：A、三角形的重心是其三条中线的交点，正确；
B、三角形的三条角平分线一定交于一点，正确；
C、钝角三角形的三条高线不相交，故三角形的三条高线一定交于一点错误；
D、根据三角形的三边关系定理可知三角形中，任何两边的和大于第三边，正确．
故选C．
17．C
【解析】
【分析】
根据题干条件D、E、F为△ABC三边的中点，故得BD＝CD，又知△ABD与△ADC的高相等，于是得到△ABD与△ACD的面积相等并且为△ABC面积的一半，同理可得△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，即可求出与△ABD面积相等的三角形个数.
【详解】
∵O是△ABC的重心，
∴BD＝CD，
又∵△ABD与△ADC的高相等，
∴△ABD与△ACD的面积相等＝S△ABC，
同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，
∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形面积、重心的性质及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积＝底×高，此题难度一般．
18．A
【分析】
结合题意，根据三角形重心的定义分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、中线的性质，从而完成求解．
19．D
【分析】
根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】
解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选D．
【点睛】
考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
20．D
【分析】
由点M是重心得AD是中线，依次判断选项即可.
【详解】
∵点M是△ABC的重心，点M在线段AD上，
∴AD是BC边的中线，
∴BD=CD,
∴A. ∠BAD＝∠CAD错误；
B. AM＝2DM,故该选项错误；
C.AB+AD+BD＞AC+AD+CD,故选项C错误；
D. △ABD与△ACD是等底同高的两个三角形，故△ABD的面积等于△ACD的面积，此选项正确.
故选：D.
【点睛】
此题考查三角形的重心，确定三角形重心的构成是三条中线的交点是解题的关键.
21．A
【分析】
由于G为直角△ABC的重心，所以BG＝2GD，AD＝DC，根据三角形的面积公式可以推出，而△ABC的面积根据已知条件可以求出，那么△AGD的面积即可求得．
【详解】
解：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG＝2GD，AD＝DC，
∴，
而，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的重心的性质，解题的关键是根据G为直角△ABC的重心，得出BG＝2GD，AD＝DC．
22．B
【解析】
过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3.
故选B.
23．A
【分析】
由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数．
【详解】
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴
∴
∴∠BDC=180°﹣65°=115°，
故选A．
【点睛】
考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.
24．C
【解析】
【分析】
根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可.
【详解】
∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，
∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，
∴A、B、D正确，C错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键.
25．A
【分析】
根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．
【详解】
解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．

故答案选A.
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
26．C
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可．
【详解】
解：A、不具有稳定性，故不符合题意；
B、不具有稳定性，故不符合题意；
C、具有稳定性，故符合题意；
D、不具有稳定性，故不符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，熟练掌握是解题的关键．
27．D
【分析】
根据三角形具有稳定性进行解答．
【详解】
解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得．
28．AD
【分析】
根据三角形的高的概念解答即可．
【详解】
解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，
故答案为AD
【点睛】
此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答．
29．3
【解析】
分析：过△ABC的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高.
详解：根据三角形高的定义，AB上的高是DC，BC上的高是AC，CA上的高是BC.
故答案为3.
点睛：本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点.
30．①③④
【分析】
根据点到点的距离，点到直线的距离定义以及三角形的高的定义，即可得到答案.
【详解】
根据两点间的距离的定义，得：点A与点B得距离就是线段AB的长，∴①正确；
点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②错误；根据三角形高的定义，得：线段CD是△ABC边AB上的高，线段CD是△BCD边BD上的高，∴③④正确.∴，正确答案是①③④
【点睛】
深刻理解两点间得距离和点到直线的定义，是解题的关键
31．10°
【解析】
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的性质可得出∠CAD的度数，在△ACE中利用三角形内角和定理可求出∠CAE的度数，再根据∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出结论．
【详解】
∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=40°.
∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，
∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.
故答案为10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及角平分，根据三角形内角和定理（角平分线的性质）求出∠CAD、∠CAE的度数是解题的关键．
32．15cm2，30cm2；
【分析】
由三角形面积计算方法可知， ，，再由由三角形中线的定理求出BC的长则可求△ABE和△ABC的面积.
【详解】
由三角形面积计算方法可知，，.再由由三角形中线的定理，，所以.所以，.
故本题答案为：与
【点睛】
本题主要考查三角形的高.
33．10
【解析】
分析：根据网格结构找出△ABC的BC边上高，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
详解：由图可知，△ABC的边BC=4，BC边上的高线长为5，
所以S△ABC=×5×4=10．
故答案为10
点睛本题考查了三角形的面积，根据网格结构找出BC边上的高线的长度是解题的关键．
34．直角三角形
【分析】
根据三角形的高的概念，结合已知条件，可得这个三角形一定是直角三角形．
【详解】
解：∵一个三角形的三条高的交点恰好是该三角形的一个顶点，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为直角三角形．
【点睛】
本题考查三角形的高的概念，钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形的外部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部．
35．直角三角形
【解析】
【分析】
根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【详解】
解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
36．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点.
【解析】
∵AB是直角，
∴∠AEB＝90°，∠ADB=90°，
∴AD,BE是△ABC的高.
∵三角形三条高线相较于一点，
∴CF是△ABC的高
37．2
【分析】
由BD是△ABC的中线可得AD=CD，然后根据三角形的周长列式计算即可.
【详解】
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差
=(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)
=AB+BD+AD-BC-BD-CD
=AB-BC
=8-6
=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了三角形中线的定义及三角形周长的计算.熟练掌握三角形中线的定义是解答本题的关键.
38．8cm或2cm
【详解】
解：AD是△ABC的中线，
BD=CD．
AD把△ABC周长分为两部分，其差为3 cm，
,
如果，那么,；
如果，那么,．
故答案为：或．

39．5
【分析】
根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=2；又AC+AB=8．易求AC的长度．
【详解】
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长-△ABD的周长=2．
∴AC-AB=2．
又∵AB+AC=8，
∴AC=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的中线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
40．7
【分析】
连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【详解】
如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2.
S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.

【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
41．1
【分析】
由点为的中点，可得的面积是面积的一半；同理可得和的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．
【详解】
解：如图，点是的中点，

的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
42．48
【分析】
由于F是BE的中点，BF=EF，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△EFD和△BFD的面积相等，进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍；同理，由于E是AD的中点，得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍；由于AD是BC边上的中线，得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍，代入求解即可．
【详解】
∵F是BE的中点，∴BF=EF，
∴S△EFD=S△BFD，
又∵S△BDE=S△EFD+S△BFD，
∴S△BDE=2S△BFD=2×6=12．
同理，S△ABC=2S△ABD=2×2S△BDE=4×12=48．
故答案为48．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，难度中等．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
43．2．
【分析】
画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.
【详解】
如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.

∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵I是△ABC的重心，
∴DI＝CD＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.
44．
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，然后再利用三角形重心的性质，即可求出重心G到C点的距离．
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴AB=，
设△ABC斜边上的中线为x，则x=AB=×15=7.5，
又∵G是△ABC的重心，
∴CG=x=×7.5=5．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形重心和勾股定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
45．4
【分析】
△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，即可求解．
【详解】
解：△ABC的面积S＝AB×BC＝＝12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP＝BE，（证明见备注）

△BEC的面积＝S＝6，
BP＝BE，
则△BPC的面积＝△BEC的面积＝4，
故答案为：4．
备注：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G．

求证：EG＝CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H．
∵AE＝BE，EH∥BF，
∴AH＝HF＝AF，
又∵AF＝CF，
∴HF＝CF，
∴HF：CF＝，
∵EH∥BF，
∴EG：CG＝HF：CF＝，
∴EG＝CG．
【点睛】
此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
46．3.
【分析】
先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AC的中点，
∴点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG=2，
∴AD=AG+DG=2+1=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
47．4
【分析】
首先根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得AG的长度是AD的长度的；然后根据分数乘法的意义，用AD的长度乘以，求出AG的长度是多少即可．
【详解】
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
∴AG=AD×
=6×
=4．
故答案为：4．
48．4
【解析】
【分析】
由题意知点F是△ABC的重心，由重心性质可知△AEF的面积是2，△DBF的面积是2，进而可求得结论.
【详解】
∵△ABC的中线AD，BE相交于点F，
∴点F是△ABC的重心，
∴BF=2FE，AF=2FD，
∵△ABF的面积是4，
∴△AEF的面积是2，△DBF的面积是2，
∴△ABD的面积是6，
∴△ABC的面积是12，
∴四边形CEFD的面积=12﹣4﹣2﹣2=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为1:2.
49．直角三角形
【分析】
根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状.
【详解】
∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴2∠ADE+2∠ADF=180°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形.
故答案为直角三角形.
【点睛】
本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键.
50．66°
【分析】
过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD．
【详解】
过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠BAC+∠ABC，
∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，
∵∠DCE是△DBC的外角，
∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②，
由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º，
∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º，
∵DH=DF，DG=DF，
∴DH=DG，
∵DG⊥AC，DH⊥BA，
AD平分∠HAC，
∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º．
故答案为：66．

【点睛】
本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键．
51．BAD CAD BAC； AE CE AC； AFC CFB ⊥
【解析】
【分析】
分别根据三角形的角平分线、中线、高的定义填空即可。
【详解】
AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC;
BE是△ABC的中线,则AE=CE=12AC;
CF是△ABC的高,则AB⊥CF或∠AFC=∠CFB=90°.
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记概念是解题关键.
52．三角形的稳定性
【解析】
试题分析：根据三角形具有稳定性解答．
解：分开两腿站立与抓栏杆的手成三角形形状，
利用了三角形的稳定性.
故答案为三角形的稳定性.
53．稳定性
【解析】
塔吊的上部是三角形结构，可以保证安全吊塔上部的结构的稳定性，应用了三角形的稳定性，故答案为三角形的稳定性
54．3．
【分析】
根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．
【详解】

如图， 要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加3根木条才能固定，
故答案为3．

【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键.
55．见解析
【分析】
根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可．
【详解】
解：画出三角形的三条高如下图：

【点睛】
本题是考查作三角形的高．注意：钝角三角形两条钝角边上的高在形外．
56．（1）详见解析；（2）BC＝10.
【解析】
【分析】
(1)延长BC, 过点A作AD⊥BC于D即可;
(2)根据三角形的面积等于三角形的一边乘这边上的高再除以2可得答案.
【详解】
解：(1)如图．延长BC, 过点A作AD⊥BC于D即可.

(2)因为S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
所以×20×5＝×10·BC，
解得BC＝10.
【点睛】
解答这道题目用到的知识点是过三角形的一个顶点作三角形的高和三角形的面积公式,对于学生来说作高应该是最基本的作图, 而在解决三角形的一些问题时会用到三角形的面积的不同表示方法,这点应该注意.
57．（1）30°；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）先利用互余计算出∠BAE＝60°，再利用角平分线的定义得到∠BAC＝∠BAE＝30°；
（2）先利用D是BC的中点得到BC＝6，再根据三角形面积公式得到×6×AE＝24，然后解关于AE的方程即可．
【详解】
解：（1）∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝90°−30°＝60°，
∵AC是∠BAE的角平分线．
∴∠BAC＝∠BAE＝30°；
（2）∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝6，
∵S△ABC＝BC•AE，
∴×6×AE＝24，
∴AE＝8．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形中线的性质，难度不大，熟记性质是关键．
58．7cm.
【解析】
试题分析：先根据△ABD周长为15cm，AB=6cm，AD=5cm，由周长的定义可求BC的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD=15-6-5=4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC=21-6-8=7cm．
故AC长为7cm．
考点：三角形的角平分线，中线，高
点评：考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．
59．见解析
【分析】
直接利用重心的定义结合线段垂直平分线的作法得出答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线EF交AB于点N，连接CN交AD于点M，即为所求．

【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及重心的定义，正确把握相关定义是解题关键．
60．4.32．
【分析】
连接，并延长交于点，根据三角形重心的性质可得，继而由平行线分线段成比例得到，再设，根据题意列式解出的值即可解题．
【详解】
解：连接，并延长交于点，
是重心，



设
则

．
【点睛】
本题考查三角形重心、平行线分线段成比例等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
61．44°．
【解析】试题分析：根据三角形高的定义得到∠BDF=90°，利用三角形外角的性质可得∠ABE=∠BFC∠BDF=113°90°=23°，已知BE为角平分线，根据角平分线的定义可得∠CBF=∠ABE=23°，最后利用三角形的内角和定理即可得∠BCF=180°∠BFC∠CBF=44°．
试题解析：
∵CD是AB边上高，∴∠BDF=90°，
∠ABE=∠BFC∠BDF=113°90°=23°，
∵BE为角平分线，
∴∠CBF=∠ABE=23°，
∴∠BCF=180°∠BFC∠CBF=44°．
62．小明的做法正确，理由见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．
小明的做法正确，
理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．