2021届江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份2021届江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了05，72，e2≈7等内容，欢迎下载使用。

盐城市2021届高三年级第三次模拟考试
数 学 2021.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，C＝{(x，y)|y＝}，则下列集合不为空集的是
A．A∩B B．A∩C C．B∩C D．A∩B∩C
2．若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．9
3．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则×＝0，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量为平面α的法向量，则平面α的方程为
A．2x－3y＋z＋4＝0 B．2x＋3y－z－4＝0
C．2x－3y＋z＝0 D．2x＋3y－z＋4＝0
4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为
A． B． C． D．
5．已知数列的通项公式为，则其前n项和为
A． B． C． D．
6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为x1，x2，x3，则，．已知函数，直线l与f(x)的图象相切于点，且交f(x)的图象于另一点，则
A． B．
C．2x1＋x2＋1＝0 D．2x1＋x2＝0
7．设双曲线C：0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，) B．(0，1) C．(，1) D．(，)
8．已知正数x，y，z满足xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为
A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．以上均不对
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
10．设数列{an}的前n项和为，若，则下列说法中正确的有
A．存在A，B，C使得{an}是等差数列
B．存在A，B，C使得{an}是等比数列
C．对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
11．已知矩形ABCD满足AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则
A．CP//平面B′AE
B．存在点B′，使得CP⊥平面AB′D
C．四棱锥B′－AECD体积的最大值为
D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内
12．将平面向量称为二维向量，由此可推广至n维向量．对于n维向量，其运算与平面向量类似，如数量积＝||||cosθ＝(θ为向量的夹角)，其向量的模||＝，则下列说法正确的有
A．不等式()()≤()2可能成立
B．不等式()()≥()2一定成立
C．不等式n＜()2可能成立
D．若，则不等式≥n2一定成立
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．
14．满足等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．
15．若向量，满足|－|＝，则×的最小值为 ．
16．对于函数x＋1，有下列4个论断：
甲：函数f(x)有两个减区间； 乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；
丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．
若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为 ．


四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．









18．(12分)
请在①；②；③这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．
命题：已知数列满足an＋1＝an2，若 ，则当n≥2时，an≥2n恒成立．

















19．(12分)
如图，在三棱柱中，，且平面ABC⊥平面
(1)求证：平面ABC⊥平面；
A1
(2)设点P为直线BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
C1

B1





C
A

P


B




20．(12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点P是抛物线上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线的切线l．
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；
(2)若椭圆过点P，l与的另一个交点为A，OP与的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．
y
x
y
o


P

A
B
O
x






21．(12分)
运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．












22．(12分)
设(n∈N*)．
(1)求证：函数f(x)一定不单调；
(2)试给出一个正整数a，使得对∀x∈(0，＋∞)恒成立．
(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)








盐城市2021届高三年级第三次模拟考试
数 学 2021.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，C＝{(x，y)|y＝}，则下列集合不为空集的是
A．A∩B B．A∩C C．B∩C D．A∩B∩C
【答案】A
【考点】集合的运算
【解析】由题意可知，集合A，B，均为数集，C为点集，则选项BCD均错误，故答案选A．
2．若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D
【考点】复数的运算
【解析】由题意可知，设z＝a＋bi，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|≤2，即a2＋(b－1)2≤4，不妨设a＝2cosθ，b＝2sinθ＋1，则z＝a2＋b2＝4cos2θ＋2sin2θ＋4sinθ＋1＝5＋4sinθ≤9，故答案选D．
3．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则×＝0，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量为平面α的法向量，则平面α的方程为
A．2x－3y＋z＋4＝0 B．2x＋3y－z－4＝0
C．2x－3y＋z＝0 D．2x＋3y－z＋4＝0
【答案】C
【考点】新情景问题下的直线方程的求解
【解析】由题意可知，平面α的方程为2(x－1)－3(y－0)＋1×(z＋2)＝0，化简可得，2x－3y＋z＝0，故答案选C．
4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】三角函数的图象与性质应用
【解析】由题意可知，g(x)＝sin(x＋)，令sinx＝sin(x＋)，解得x＋x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝kπ－，k∈Z，则当x∈(0，m)时，若要函数g(x)的图象在f(x)的上方，则m≤x＝kπ－，当k＝0时，m≤，故答案选C．
5．已知数列的通项公式为，则其前n项和为
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】数列的求和：裂项相消法
【解析】由题意可知，＝＝－，所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－，故答案选A．
6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程的3个实数根为x1，x2，x3，则，．已知函数，直线l与f(x)的图象相切于点，且交f(x)的图象于另一点，则
A． B．
C．2x1＋x2＋1＝0 D．2x1＋x2＝0
【答案】D
【考点】新情景问题下的导数的几何意义的应用
【解析】由题意可知，f′(x)＝6x2－1，所以直线l的斜率k＝f′(x1)＝6x12－1，且k＝＝＝＝2x12＋2x1x2＋2x22－1，即2x12＋2x1x2＋2x22－1＝6x12－1，化简得(2x1＋x2)(x1－x2)＝0，因为x1－x2≠0，所以2x1＋x2＝0，故答案选D．
7．设双曲线C：0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，) B．(0，1) C．(，1) D．(，)
【答案】B
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用
【解析】由题意可知，c＝1，渐近线方程为：bx±ay＝0，由圆P与渐近线相切可得，r＝＝，解得n＝0，所以圆的半径r＝a－m＝bm，所以m＝，则m2＝()2＝＝＝－1＋，因为b∈(0，1)，所以－1＋∈(0，1)，则m∈(0，1)，所以OP∈(0，1)，故答案选B．
8．已知正数x，y，z满足xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为
A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．以上均不对
【答案】A
【考点】比较大小
【解析】由题意可知，lny＞0，即y＞1，由xlny＝zx，可得z＝lny≤y－1，则z－y≤－1＜0，所以z＜y；又yez＝zx，所以(z＋1)ez≤yez＝zx＜yx，所以z＋1≤ez＜x，则z－x＜－1＜0，所以z＜x；因为xlny＝yez，所以x＝＝＞＝y，即x＞y，所以x＞y＞z，故答案选A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
【答案】AC
【考点】正态分布的应用
【解析】法一：由题意可知，对于选项AB，若σ1＞σ2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y＞μ1)＝P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)＋P(X＞μ2)＝1，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
法二：由题意可知，可把正态分布标准化，即＝Z＝，则Z ~ N(0，1)，对于选项AB，若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＝P(|Z|≤)，P(|Y－μ2|≤1)＝P(|Z|≤)，因为σ1＞σ2＞0，所以＜，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＝P(Z＞)，P(Y＞μ1)＝P(Z＞)，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝P(Z＞)＋P(Z≤)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
10．设数列{an}的前n项和为，若，则下列说法中正确的有
A．存在A，B，C使得{an}是等差数列
B．存在A，B，C使得{an}是等比数列
C．对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
【答案】ABD
【考点】等差与等比数列的综合应用
【解析】由题意可知，对于选项A，取A＝0，B＝C＝1，则有an＋Sn＝n＋1，此时可得到an＝1，即{an}是等差数列，所以选项A正确；对于选项B，取A＝0，B＝0，C＝1，则有an＋Sn＝1，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝1，两式相减可得2an＝an－1，即数列{an}是等比数列，所以选项B正确；对于选项CD，取A＝C＝0，B＝2，则有an＋Sn＝2n，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)，两式相减可得an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)，即数列{an－2}是以为公比的等比数列，所以{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以选项C错误，选项D正确；综上，答案选ABD．
11．已知矩形ABCD满足AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则
A．CP//平面B′AE
B．存在点B′，使得CP⊥平面AB′D
C．四棱锥B′－AECD体积的最大值为
D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内
【答案】ACD
【考点】立体几何的综合应用：位置关系、体积、外接球问题
【解析】由题意可知，对于选项A，取AB′的中点为Q，连结EQ、PQ，因为CEÚAD，PQÚAD，所以PQÚCE，所以四边形CEQP为平行四边形，所以CP∥QE，又QE Ì平面AB′E，CPË平面AB′E，所以CP∥平面AB′E，所以选项A正确；对于选项B，若CP⊥平面AB′D，则CP⊥AB′，所以QE⊥AB′，则与AB′⊥BE矛盾，所以选项B错误；对于选项C，过B′作B′O⊥AE，垂足为O，可得B′O＝，所以VB′－AECD＝SAECD×h＝××(1＋1)×1×h≤B′O＝，所以选项C正确；对于选项D，若三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内，则球心为△ADE的外心，则为△ADE直角三角形，且AD为斜边，则球心O为AD的中点，所以R＝OB′＝OA＝OD＝1，则AB′⊥B′D，所以B′D＝，而B′D∈(1，)，可知存在，则满足题意，所以选项D正确；综上，答案选ACD．
12．将平面向量称为二维向量，由此可推广至n维向量．对于n维向量，其运算与平面向量类似，如数量积＝||||cosθ＝(θ为向量的夹角)，其向量的模||＝，则下列说法正确的有
A．不等式()()≤()2可能成立
B．不等式()()≥()2一定成立
C．不等式n＜()2可能成立
D．若，则不等式≥n2一定成立
【答案】ABD
【考点】新情景问题下的数量积与模的应用
【解析】由题意，可设＝(x1，x2，…，xn)，＝(y1，y2，…，yn)，所以()()＝||2||2，()2＝(||×||)2＝||2||2cos2<，>，由cos2<，>≤1，可得()()≥()2，当且仅当<，>＝0或π时取等号，若xi＞0，则≥＝n2，所以选项A、B、D正确；设＝(1，1，…，1)(n个1)，则n＝n||2，()2＝(×)2＝||2||2cos2<，>＝n||2cos2<，>，由cos2<，>≤1，可得n≥()2，当且仅当<，>＝0或π时取等号，所以选项C错误；综上，答案选ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．
【答案】185
【考点】排列组合
【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从12个景区中选3个景区，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有－＝185．
14．满足等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．
【答案】(0，)；满足α＋β＝＋kπ，k∈Z，且α，β≠＋kπ，k∈Z的数组(α，β)均可．
【考点】开放性试题：三角函数的公式应用
【解析】由题意可知，可令α＝0，即有1－tanβ＝2，所以tanβ＝－1，则可令β＝即可满足题意．
15．若向量，满足|－|＝，则×的最小值为 ．
【答案】－
【考点】平面向量的综合应用
【解析】法一：由题意，|－|2＝2＋2－2×≥－2×－2×＝－4×，即3≥－4×，则×≥－．
法二：由题意，×＝≥－|－|2＝－，所以×的最小值为－．
16．对于函数x＋1，有下列4个论断：
甲：函数f(x)有两个减区间； 乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；
丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．
若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为 ．
【答案】2
【考点】逻辑推理题：函数的性质综合应用
【解析】由题意可知，f′(x)＝＋2mx＋n＝，当x＞1时，f′(x)＝0最多有一个解，则函数f(x)最多有一个减区间，则甲错误；若乙正确，则f(1)＝m＋n＋1＝－1，即有m＋n＝－2，此时f′(x)＝＝，若丙正确，则解得m＝1，所以n＝－3，而此时f(x)在x＝1处取极小值，且不单调，即与丙丁矛盾；若丁正确，则m＝2，n＝－4，可满足题意；综上，乙丁正确，且m＝2．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
【考点】解三角形与平面向量综合应用
【解析】
(1)因为×＝0，所以(＋)×＝0，
即(＋)×＝0， ……2分
所以bc×cosA＋b2＝0，
因为b＝c，所以cosA＝－， ……4分
因为0＜A＜π，所以A＝． ……5分
(2)因为×＝(＋)×＝bc×cosA＋b2＝0，
所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0， ……6分
cosB＝＝＝≥， ……8分
因为0＜B＜π，所以B的最大值为． ……10分
18．(12分)
请在①；②；③这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．
命题：已知数列满足an＋1＝an2，若 ，则当n≥2时，an≥2n恒成立．
【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明
【解析】
选②．
证明：由an＋1＝an2，且，所以an＞0，
所以lgan＋1＝lgan，lgan＝lg2，an＝， ……5分
当n≥2时，只需证明≥n，
令bn＝，则bn＋1－bn＝－＝＜0， ……10分
所以bn≤b2＝1，所以≥n成立．
综上所述，当a1＝2且n≥2时，an≥2n成立． ……12分
注：选②为假命题，不得分，选③参照给分．
19．(12分)
如图，在三棱柱中，，且平面ABC⊥平面
(1)求证：平面ABC⊥平面；
z
A1
A1
(2)设点P为直线BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
C1
C1

B1
B1





C
C
A

y
A
P

P

E
B
B

x

第19题图
【考点】立体几何中证明位置关系、求线面角的正弦值
【解析】
(1)证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1．
因为2∠ACB＝，所以∠ACB＝．
在△ABC中，＝，即＝，
所以sinB＝1，即AB⊥BC． ……2分
又因为平面ABC⊥平面，平面ABC∩平面＝BC，ABÌ平面ABC，
所以AB⊥平面．
又B1CÌ平面，所以AB⊥B1C，
在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1＝，
所以B1C2＝B1B2＋BC2－2B1B×BC×cos＝3，即B1C＝，
所以B1C⊥BC． ……4分
而AB⊥B1C，ABÌ平面ABC，BCÌ平面ABC，AB∩BC＝B，
所以B1C⊥平面ABC．
又B1CÌ平面，所以平面ABC⊥平面． ……6分
(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，分别以CE，CA，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则B(，，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，)，
所以P(，，0)，＝＝(－，，0)， ……8分
所以A1(－，，)，所以＝(，－，－)，
平面ACB1的一个法向量为＝(1，0，0)， ……10分
设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，
则sinα＝|cos<，>|＝＝＝． ……12分
20．(12分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点P是抛物线上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线的切线l．
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；
(2)若椭圆过点P，l与的另一个交点为A，OP与的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．
y


P

A
B
O
x




【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用：斜率表示、证明垂直问题
【解析】
(1)由x2＝2py，得y＝x2，所以y′＝x，
所以直线l的斜率为x0． ……3分
(2)设P(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，kPB＝，
由(1)知kPA＝x0＝， ……5分
设A(x1，y1)，所以＋x02＝1，＋x12＝1，
作差得＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，
即×＝－，所以kPAkAB＝－， ……10分
所以kAB＝－，即kAB＝－，
所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB． ……12分
注：其他解法参照评分．
21．(12分)
运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．
【考点】随机事件的概率与期望
【解析】
(1)P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋＝，P(ξ＝1)＝， ……3分
则ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
P



所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝． ……5分
(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝，……7分
法一：则Pn＝Pn＋1×＋Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×＋Pn＋3×＋…＋Pk－1×＋，
以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×，则Pn＝Pn＋1×， ……10分
则Pn＋1＝Pn＋2×，Pn＋2＝Pn＋3×，…，Pk－2＝Pk－1×，
则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1××××…×，
化简得Pn＝Pk－1×，而Pk－1＝，故Pn＝，
又n＝k－1时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)． ……12分
法二：同法一得Pn＝Pn＋1×， ……9分
则P0＝P1×，P1＝P2×，P2＝P3×，…，Pn－1＝Pn×，
则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn××××…×，
化简得P0＝Pn×(n＋1)，而P0＝1，故Pn＝(0≤n≤k－1)，
又n＝0时，Pn＝也成立，故Pn＝(0≤n≤k－1)． ……12分
法三：记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率，
则Pn＋1(n)＝，Pn＋2(n)＝Pn＋1(n)＋＝，
Pn＋3(n)＝Pn＋2(n)＋Pn＋1(n)＋＝， ……9分
依此类推，Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
所以Pk(n)＝(×(k－n－1)＋1)＝． ……12分
法四：记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率，
则Pk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋，
则kPk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，①
则(k－1)Pk－1(n)＝Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，②
①－得kPk(n)－(k－1)Pk－1(n)＝Pk－1(n)， ……9分
则Pk(n)＝Pk－1(n)(k≥n＋2)，
则Pk(n)＝Pn＋1(n)＝． ……12分

22．(12分)
设(n∈N*)．
(1)求证：函数f(x)一定不单调；
(2)试给出一个正整数a，使得对∀x∈(0，＋∞)恒成立．
(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)
【考点】函数与导数：函数单调性应用；恒成立问题
【解析】
(1)由得f′(x)＝＝，
因n∈N*，由f′(x)＝0，得x＝， ……1分
当x＞时，f′(x)＜0；当时0＜x＜，f′(x)＞0；
故函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋¥)上单调递减，
所以函数f(x)不单调． ……3分
(2)当a＝1时，可证明ex＞x2lnx＋sinx对"x∈(0，＋∞)恒成立，
当x∈(0，1)时，x2lnx≤0，sinx≤1，ex＞1，不等式成立； ……4分
当x∈(1，e)时，x2lnx＋sinx＜x2＋1，令g(x)＝，
所以g′(x)＝≤0，则函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)＝＜1，
所以ex＞x2＋1，原不等式成立； ……7分
当x∈(e，＋¥)时，因x2lnx＋sinx≤x2lnx＋1，故只需证ex＞x2lnx＋1，
即证＞＋，只需证＞＋，
在(1)中令n＝1，可得f(x)≤f(e)＝，故＋≤＋，
令h(x)＝，所以h′(x)＝＝0，解得x＝3，
当x∈(e，3)时，h′(x)＜0；当x∈(3，＋¥)时，h′(x)＞0，
所以h(x)≥h(3)＝＞，而＋≤＋＜，
所以原不等式也成立．
综上所述，当a＝1时，ex＞x2lnx＋sinx对"x∈(0，＋∞)恒成立． ……12分
注：当a＝2或a＝3时结论也成立，请参照评分；当a≥4时结论不成立．