2021届江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟考试数学试题
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盐城市2021届高三年级第三次模拟考试
数 学 2021.05
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|y=},B={y|y=},C={(x,y)|y=},则下列集合不为空集的是
A.A∩B B.A∩C C.B∩C D.A∩B∩C
2.若复数z满足|z-i|≤2,则z的最大值为
A.1 B.2 C.4 D.9
3.同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax+By+C=0,我们可以这样理解:若直线l过定点P0(x0,y0),向量=(A,B)为直线l的法向量,设直线l上任意一点P(x,y),则×=0,得直线l的方程为,即可转化为直线方程的一般式.类似地,在空间中,若平面α过定点Q0(1,0,-2),向量为平面α的法向量,则平面α的方程为
A.2x-3y+z+4=0 B.2x+3y-z-4=0
C.2x-3y+z=0 D.2x+3y-z+4=0
4.将函数的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若x∈(0,m)时,函数g(x)的图象在f(x)的上方,则实数m的最大值为
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式为,则其前n项和为
A. B. C. D.
6.韦达是法国杰出的数学家,其贡献之-是发现了多项式方程根与系数的关系,如:设一元三次方程的3个实数根为x1,x2,x3,则,.已知函数,直线l与f(x)的图象相切于点,且交f(x)的图象于另一点,则
A. B.
C.2x1+x2+1=0 D.2x1+x2=0
7.设双曲线C:0)的焦距为2,若以点P(m,n)(m<a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切,则OP长的取值范围是
A.(0,) B.(0,1) C.(,1) D.(,)
8.已知正数x,y,z满足xlny=yez=zx,则x,y,z的大小关系为
A.x>y>z B.y>x>z C.x>z>y D.以上均不对
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知X ~ N(μ1,σ12),Y ~ N(μ2,σ22),μ1>μ2,σ1>0,σ2>0,则下列结论中一定成立的有
A.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)<P(|Y-μ2|≤1)
B.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)>P(|Y-μ2|≤1)
C.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1
D.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)<1
10.设数列{an}的前n项和为,若,则下列说法中正确的有
A.存在A,B,C使得{an}是等差数列
B.存在A,B,C使得{an}是等比数列
C.对任意A,B,C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D.存在A,B,C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
11.已知矩形ABCD满足AB=1,AD=2,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折起,点B折至B′,得到四棱锥B′-AECD,若点P为B′D的中点,则
A.CP//平面B′AE
B.存在点B′,使得CP⊥平面AB′D
C.四棱锥B′-AECD体积的最大值为
D.存在点B′,使得三棱锥B′-ADE外接球的球心在平面AECD内
12.将平面向量称为二维向量,由此可推广至n维向量.对于n维向量,其运算与平面向量类似,如数量积=||||cosθ=(θ为向量的夹角),其向量的模||=,则下列说法正确的有
A.不等式()()≤()2可能成立
B.不等式()()≥()2一定成立
C.不等式n<()2可能成立
D.若,则不等式≥n2一定成立
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题,遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区,还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线,从上述12个景区中选3个景区,则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种.
14.满足等式(1-tanα)(1-tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组 .
15.若向量,满足|-|=,则×的最小值为 .
16.对于函数x+1,有下列4个论断:
甲:函数f(x)有两个减区间; 乙:函数f(x)的图象过点(1,-1);
丙:函数f(x)在x=1处取极大值;丁:函数f(x)单调.
若其中有且只有两个论断正确,则m的取值为 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D满足3=与
(1)若b=c,求A的值;
(2)求B的最大值.
18.(12分)
请在①;②;③这3个条件中选择1个条件,补全下面的命题使其成为真命题,并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分).
命题:已知数列满足an+1=an2,若 ,则当n≥2时,an≥2n恒成立.
19.(12分)
如图,在三棱柱中,,且平面ABC⊥平面
(1)求证:平面ABC⊥平面;
A1
(2)设点P为直线BC的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
C1
B1
C
A
P
B
20.(12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知点P是抛物线上的一个点,其横坐标为x0,过点P作抛物线的切线l.
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示);
(2)若椭圆过点P,l与的另一个交点为A,OP与的另一个交点为B,求证:AB⊥PB.
y
x
y
o
P
A
B
O
x
21.(12分)
运用计算机编程,设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下:按下回车键,等可能的将[0,k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值,反复按回车键执行以上操作直到输出k=0后终止操作.
(1)若输入的初始值k为3,记按回车键的次数为ξ,求ξ的概率分布与数学期望;
(2)设输入的初始值为k(k∈N*),求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k-1)的概率.
22.(12分)
设(n∈N*).
(1)求证:函数f(x)一定不单调;
(2)试给出一个正整数a,使得对∀x∈(0,+∞)恒成立.
(参考数据:e≈2.72,e2≈7.39,e3≈20.10)
盐城市2021届高三年级第三次模拟考试
数 学 2021.05
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|y=},B={y|y=},C={(x,y)|y=},则下列集合不为空集的是
A.A∩B B.A∩C C.B∩C D.A∩B∩C
【答案】A
2.若复数z满足|z-i|≤2,则z的最大值为
A.1 B.2 C.4 D.9
【答案】D
3.同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax+By+C=0,我们可以这样理解:若直线l过定点P0(x0,y0),向量=(A,B)为直线l的法向量,设直线l上任意一点P(x,y),则×=0,得直线l的方程为,即可转化为直线方程的一般式.类似地,在空间中,若平面α过定点Q0(1,0,-2),向量为平面α的法向量,则平面α的方程为
A.2x-3y+z+4=0 B.2x+3y-z-4=0
C.2x-3y+z=0 D.2x+3y-z+4=0
【答案】C
4.将函数的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若x∈(0,m)时,函数g(x)的图象在f(x)的上方,则实数m的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
5.已知数列的通项公式为,则其前n项和为
A. B. C. D.
【答案】A
6.韦达是法国杰出的数学家,其贡献之-是发现了多项式方程根与系数的关系,如:设一元三次方程的3个实数根为x1,x2,x3,则,.已知函数,直线l与f(x)的图象相切于点,且交f(x)的图象于另一点,则
A. B.
C.2x1+x2+1=0 D.2x1+x2=0
【答案】D
7.设双曲线C:0)的焦距为2,若以点P(m,n)(m<a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切,则OP长的取值范围是
A.(0,) B.(0,1) C.(,1) D.(,)
【答案】B
8.已知正数x,y,z满足xlny=yez=zx,则x,y,z的大小关系为
A.x>y>z B.y>x>z C.x>z>y D.以上均不对
【答案】A
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知X ~ N(μ1,σ12),Y ~ N(μ2,σ22),μ1>μ2,σ1>0,σ2>0,则下列结论中一定成立的有
A.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)<P(|Y-μ2|≤1)
B.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)>P(|Y-μ2|≤1)
C.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1
D.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)<1
【答案】AC
10.设数列{an}的前n项和为,若,则下列说法中正确的有
A.存在A,B,C使得{an}是等差数列
B.存在A,B,C使得{an}是等比数列
C.对任意A,B,C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D.存在A,B,C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
【答案】ABD
11.已知矩形ABCD满足AB=1,AD=2,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折起,点B折至B′,得到四棱锥B′-AECD,若点P为B′D的中点,则
A.CP//平面B′AE
B.存在点B′,使得CP⊥平面AB′D
C.四棱锥B′-AECD体积的最大值为
D.存在点B′,使得三棱锥B′-ADE外接球的球心在平面AECD内
【答案】ACD
12.将平面向量称为二维向量,由此可推广至n维向量.对于n维向量,其运算与平面向量类似,如数量积=||||cosθ=(θ为向量的夹角),其向量的模||=,则下列说法正确的有
A.不等式()()≤()2可能成立
B.不等式()()≥()2一定成立
C.不等式n<()2可能成立
D.若,则不等式≥n2一定成立
【答案】ABD
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题,遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区,还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线,从上述12个景区中选3个景区,则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种.
【答案】185
14.满足等式(1-tanα)(1-tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组 .
【答案】(0,);满足α+β=+kπ,k∈Z,且α,β≠+kπ,k∈Z的数组(α,β)均可.
15.若向量,满足|-|=,则×的最小值为 .
【答案】-
16.对于函数x+1,有下列4个论断:
甲:函数f(x)有两个减区间; 乙:函数f(x)的图象过点(1,-1);
丙:函数f(x)在x=1处取极大值;丁:函数f(x)单调.
若其中有且只有两个论断正确,则m的取值为 .
【答案】2
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D满足3=与
(1)若b=c,求A的值;
(2)求B的最大值.
【考点】解三角形与平面向量综合应用
【解析】
(1)因为×=0,所以(+)×=0,
即(+)×=0, ……2分
所以bc×cosA+b2=0,
因为b=c,所以cosA=-, ……4分
因为0<A<π,所以A=. ……5分
(2)因为×=(+)×=bc×cosA+b2=0,
所以b2+c2-a2+b2=0,即2b2+c2-a2=0, ……6分
cosB===≥, ……8分
因为0<B<π,所以B的最大值为. ……10分
18.(12分)
请在①;②;③这3个条件中选择1个条件,补全下面的命题使其成为真命题,并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分).
命题:已知数列满足an+1=an2,若 ,则当n≥2时,an≥2n恒成立.
【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明
【解析】
选②.
证明:由an+1=an2,且,所以an>0,
所以lgan+1=lgan,lgan=lg2,an=, ……5分
当n≥2时,只需证明≥n,
令bn=,则bn+1-bn=-=<0, ……10分
所以bn≤b2=1,所以≥n成立.
综上所述,当a1=2且n≥2时,an≥2n成立. ……12分
注:选②为假命题,不得分,选③参照给分.
19.(12分)
如图,在三棱柱中,,且平面ABC⊥平面
(1)求证:平面ABC⊥平面;
z
A1
A1
(2)设点P为直线BC的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
C1
C1
B1
B1
C
C
A
y
A
P
P
E
B
B
x
第19题图
【考点】立体几何中证明位置关系、求线面角的正弦值
【解析】
(1)证明:因为AC=2BC=2,所以BC=1.
因为2∠ACB=,所以∠ACB=.
在△ABC中,=,即=,
所以sinB=1,即AB⊥BC. ……2分
又因为平面ABC⊥平面,平面ABC∩平面=BC,ABÌ平面ABC,
所以AB⊥平面.
又B1CÌ平面,所以AB⊥B1C,
在△B1BC中,B1B=2,BC=1,∠CBB1=,
所以B1C2=B1B2+BC2-2B1B×BC×cos=3,即B1C=,
所以B1C⊥BC. ……4分
而AB⊥B1C,ABÌ平面ABC,BCÌ平面ABC,AB∩BC=B,
所以B1C⊥平面ABC.
又B1CÌ平面,所以平面ABC⊥平面. ……6分
(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE,分别以CE,CA,CB1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系:
则B(,,0),A(0,2,0),B1(0,0,),
所以P(,,0),==(-,,0), ……8分
所以A1(-,,),所以=(,-,-),
平面ACB1的一个法向量为=(1,0,0), ……10分
设直线A1P与平面ACB1所成的角为α,
则sinα=|cos<,>|===. ……12分
20.(12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知点P是抛物线上的一个点,其横坐标为x0,过点P作抛物线的切线l.
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示);
(2)若椭圆过点P,l与的另一个交点为A,OP与的另一个交点为B,求证:AB⊥PB.
y
P
A
B
O
x
【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用:斜率表示、证明垂直问题
【解析】
(1)由x2=2py,得y=x2,所以y′=x,
所以直线l的斜率为x0. ……3分
(2)设P(x0,y0),则B(-x0,-y0),kPB=,
由(1)知kPA=x0=, ……5分
设A(x1,y1),所以+x02=1,+x12=1,
作差得+(x0+x1)(x0-x1)=0,
即×=-,所以kPAkAB=-, ……10分
所以kAB=-,即kAB=-,
所以kPBkAB=-1,所以AB⊥PB. ……12分
注:其他解法参照评分.
21.(12分)
运用计算机编程,设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下:按下回车键,等可能的将[0,k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值,反复按回车键执行以上操作直到输出k=0后终止操作.
(1)若输入的初始值k为3,记按回车键的次数为ξ,求ξ的概率分布与数学期望;
(2)设输入的初始值为k(k∈N*),求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k-1)的概率.
【考点】随机事件的概率与期望
【解析】
(1)P(ξ=3)=×=,P(ξ=2)=×+=,P(ξ=1)=, ……3分
则ξ的概率分布如下表:
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=. ……5分
(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k-1)的概率为Pn,得出Pn=,……7分
法一:则Pn=Pn+1×+Pn+2×+Pn+3×+…+Pk-1×+,
故0≤n≤k-2时,Pn+1=Pn+2×+Pn+3×+…+Pk-1×+,
以上两式作差得,Pn-Pn+1=Pn+1×,则Pn=Pn+1×, ……10分
则Pn+1=Pn+2×,Pn+2=Pn+3×,…,Pk-2=Pk-1×,
则PnPn+1Pn+2…Pk-1=Pn+1Pn+2Pn+3…Pk-1××××…×,
化简得Pn=Pk-1×,而Pk-1=,故Pn=,
又n=k-1时,Pn=也成立,故Pn=(0≤n≤k-1). ……12分
法二:同法一得Pn=Pn+1×, ……9分
则P0=P1×,P1=P2×,P2=P3×,…,Pn-1=Pn×,
则P0P1P2…Pn-1=P0P1P2…Pn××××…×,
化简得P0=Pn×(n+1),而P0=1,故Pn=(0≤n≤k-1),
又n=0时,Pn=也成立,故Pn=(0≤n≤k-1). ……12分
法三:记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率,
则Pn+1(n)=,Pn+2(n)=Pn+1(n)+=,
Pn+3(n)=Pn+2(n)+Pn+1(n)+=, ……9分
依此类推,Pk(n)=Pk-1(n)+Pk-2(n)+…+Pn+1(n)+,
所以Pk(n)=(×(k-n-1)+1)=. ……12分
法四:记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率,
则Pk(n)=Pk-1(n)+Pk-2(n)+…+Pn+1(n)+,
则kPk(n)=Pk-1(n)+Pk-2(n)+…+Pn+1(n)+1,①
则(k-1)Pk-1(n)=Pk-2(n)+…+Pn+1(n)+1,②
①-得kPk(n)-(k-1)Pk-1(n)=Pk-1(n), ……9分
则Pk(n)=Pk-1(n)(k≥n+2),
则Pk(n)=Pn+1(n)=. ……12分
22.(12分)
设(n∈N*).
(1)求证:函数f(x)一定不单调;
(2)试给出一个正整数a,使得对∀x∈(0,+∞)恒成立.
(参考数据:e≈2.72,e2≈7.39,e3≈20.10)
【考点】函数与导数:函数单调性应用;恒成立问题
【解析】
(1)由得f′(x)==,
因n∈N*,由f′(x)=0,得x=, ……1分
当x>时,f′(x)<0;当时0<x<,f′(x)>0;
故函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,+¥)上单调递减,
所以函数f(x)不单调. ……3分
(2)当a=1时,可证明ex>x2lnx+sinx对"x∈(0,+∞)恒成立,
当x∈(0,1)时,x2lnx≤0,sinx≤1,ex>1,不等式成立; ……4分
当x∈(1,e)时,x2lnx+sinx<x2+1,令g(x)=,
所以g′(x)=≤0,则函数g(x)单调递减,所以g(x)≤g(1)=<1,
所以ex>x2+1,原不等式成立; ……7分
当x∈(e,+¥)时,因x2lnx+sinx≤x2lnx+1,故只需证ex>x2lnx+1,
即证>+,只需证>+,
在(1)中令n=1,可得f(x)≤f(e)=,故+≤+,
令h(x)=,所以h′(x)==0,解得x=3,
当x∈(e,3)时,h′(x)<0;当x∈(3,+¥)时,h′(x)>0,
所以h(x)≥h(3)=>,而+≤+<,
所以原不等式也成立.
综上所述,当a=1时,ex>x2lnx+sinx对"x∈(0,+∞)恒成立. ……12分
注:当a=2或a=3时结论也成立,请参照评分;当a≥4时结论不成立.
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