专题4.21 单双角、多角平分线模型（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题4.21 单双角、多角平分线模型(提高篇)（专项练习）

图一 图二 图三



结论：双角平分线夹角：一条射线把一个角分成两个角，得到三个角，任意两个角的平分线所形成的角等于第三个角的一半。

一、单选题
1．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则下列说法错误的是（   ）

A．∠DOE为直角 B．∠DOC和∠AOE互余
C．∠AOD和∠DOC互补 D．∠AOE和∠BOC互补
2．如图所示，，，平分，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．在同一平面内，已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，如果OP是∠AOC的平分线，则∠BOP的度数为（ ）
A．25° B．25°或35° C．35° D．25°或45°
4．如图，点O在直线AB上，射线OC，OD在直线AB的同侧，∠AOD＝40°，∠BOC＝50°，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，则∠MON的度数为(　　)

A．135° B．140° C．152° D．45°
5．如图，，为外的一个锐角，且，射线平分，平分，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
6．如图所示，OC、OD分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠COD ＝ 30°，则∠ AOB 为（ ）

A．100° B．120° C．135° D．150°
7．如图，O在直线AB上，OC平分∠DOA（大于90°），OE平分∠DOB，OF⊥AB，则图中互余的角有（　　）对．

A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）

A．1° B．2° C．4° D．8°
9．如图，分别平分平分，下列结论:①；②；③；④其中正确的个数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知的顶点在直线上，平分，平分，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
11．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：

①； ②；
③； ④
其中正确的个数有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
12．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（　　）
A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°


二、填空题
13．如图所示，，平分，下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是___．

14．如图∠AOB中，OD是∠BOC平分线，OE是∠AOC的平分线，∠EOD=75°，则∠AOB=_____

15．如图所示，是的平分线，是的平分线，是的平分线，那么_______．

16．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中∠C=∠DBE=90°， A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是___________．

17．如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为___________.(用含α的式子表示)

18．如图，为直线上一点，平分，则以下结论正确的有______．（只填序号）①与互为余角；②若，则；③;④平分．

19．如图，是的平分线，是的平分线，如果，，则的度数为______．

20．将两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板PAB与PCD如图放置，A、P、C三点在同一直线上，现将三角板PAB绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是_________°.

21．如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示)

22．如图，已知：∠AOB=60°，∠COD=34°，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，则∠MON的度数为____________

23．已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是_____．
24．已知，，OM平分，ON平分，那么等于______度

三、解答题
25．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．
（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；
（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．
①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．









26．如图，点为直线上一点，平分．
（1）若，则_________________，_________________．（用含的代数式表示）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．





27．已知，点为直线上一点，，是的平分线．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，是的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）





28．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．
（1）当t=2时，求∠POQ的度数；
（2）当∠POQ=40°时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．



29．如图①，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板如图摆放（）．
（1）若，求的大小．
（2）将图①中的三角板绕点旋转一定的角度得图②，使边恰好平分，问：是否平分？请说明理由．
（3）将图①中的三角板绕点旋转一定的角度得图③，使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

30． 点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上，．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数；
（3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数．




















参考答案
1．D
【分析】根据角平分线的性质，可得∠BOD＝∠COD，∠COE＝∠AOE，再根据余角和补角的定义求解即可．
解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∵∠AOC+∠COB＝180°，∴∠COE+∠COD＝90°，
A、∠DOE为直角，说法正确；
B、∠DOC和∠AOE互余，说法正确；
C、∠AOD和∠DOC互补，说法正确；
D、∠AOE和∠BOC互补，说法错误；
故选D．
【点拨】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的性质．
2．C
【分析】先利用角的和差关系求出∠AOB的度数，根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，再利用角的和差关系求出∠COD的度数．
解：∵∠AOC=90°，∠COB=，
∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90°+．
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD=（90°+）=45°+，
∴∠COD=∠BOD-∠COB=45°-，
故选：C.
【点拨】本题综合考查了角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握是解题的关键.
3．D
【分析】∠BOC在∠AOB的内部或外部进行分类讨论．
解：①当∠BOC在∠AOB的外部时，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋20°＝90°，
∵OP是∠AOC的平分线，
∴∠COP＝∠AOC＝45°，
∴∠BOP＝∠COP－∠COB＝25°；

②当∠BOC在∠AOB的内部时，
∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝70°－20°＝50°，
∵OP是∠AOC的平分线，
∴∠COP＝∠AOC＝25°，
∴∠BOP＝∠COP＋∠COB＝45°；

故选D．
【点拨】本题考查角平分线的定义、角的和差关系，分类讨论是关键．
4．A
【分析】根据题意各种角的关系直接可求出题目要求的角度.
解：因为∠AOD＝40°，∠BOC＝50°，所以∠COD＝90°，又因为OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，所以∠NOD+∠MOC＝45°，则∠MON=∠NOD+∠MOC+∠COD=135°.
【点拨】本题考查了角平分线的知识，掌握角平分线的性质是解决此题的关键.
5．A
【分析】根据题意，先求得∠COB的值；OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则可求得∠AOM、∠AON的值；∠MON=∠AOM+∠AON，计算得出结果．
解：∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=65°，
∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．
∴∠MON的度数是45°．
故选：A．
【点拨】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．
6．B
【分析】先求出∠AOC的大小，然后便可得出∠AOB的大小．
解：∵∠COD=30°，OD是∠AOC的角平分线
∴∠AOD=30°，∴∠AOC=60°
∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠COB=60°
∴∠AOB=120°
故选：B．
【点拨】本题考查角平分线的概念，解题关键是得出∠AOC的大小．
7．D
【分析】根据角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差即可得．
解：∵OC平分
∴
∵OE平分
∴
∴
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
综上，互余的角共有9对
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差，熟记角的运算是解题关键．
8．C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
解：∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，
∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，
∴∠AOA2=∠AOA1=16°，
同理∠AOA3=8°，
∠AOA4=4°，
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键．
9．C
【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.
解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC
∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC
∠MON=∠NOH+∠HOM，∠HOC=∠NOH+∠NOC
又题目并没有说明∠HOM=∠NOC，故①错误；
2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；
2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=2(∠NOB+∠MOH)+∠BOH+∠BOH=∠AOC+∠BOH，故③正确；
2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；
故答案选择C.
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.
10．D
【分析】运用角平分线的定义算出∠FOE=2∠COF，再由∠COE为直角，可求出∠COF的度数，再求出∠AOF的度数，最后可求得∠BOE的度数．
解：∵平分
∴∠AOF=∠FOE
∵平分
∴∠AOF=2∠COF
∴∠FOE=2∠COF
又∠COE是直角
∴
∴∠AOF=∠FOE=60°
∴
故选：D．
【点拨】此题考查角平分线的定义和角的有关运算．发现组成RT∠COE的两个角：∠FOE=2∠COF是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∵平分，平分，
∴,
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【点拨】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
12．C
【解析】
试题解析：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，

∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，
∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，

∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；
故选C．

13．③④
【分析】由题意易得，，然后根据角的和差关系进行求解即可．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故①错③对；
∴，故②错④对，
∴正确的有③④；
故答案为③④．
【点拨】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键．
14．150°
【分析】利用角平分线的性质得到∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠COE，利用∠EOD=75°即可求出答案.
解：∵OD是∠BOC平分线，OE是∠AOC的平分线，
∴∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠COE，
∵∠EOD=75°，
∴∠COD+∠COE=75°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC =2（∠COD+∠COE）=150°，
故答案为：150°.
【点拨】此题考查角平分线的性质，角度的和差计算，正确掌握图形中角度的大小关系是解题的关键.
15．
【分析】利用角平分线的定义和角与角的和差关系计算即可．
解：∵是的平分线，
∴∠AOC=∠EOC=∠AOE，
∵是的平分线，是的平分线，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=∠AOE，
∠COD=∠DOE=∠EOC=∠AOE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=∠AOE，
∠BOE=∠AOE，
∴∠AOD=∠BOE，
故答案为：BOE．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．
16．45°
【分析】由角平分线的定义可知∠CBM=30°，∠CBN=75°，再利用角的和差关系计算可得结果．
解：∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM=∠ABC=×60°=30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN=∠EBC=×(60°+90°)=75°，
∴∠MBN=∠CBN-∠CBM=75°-30°=45°．
故答案为：45°．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．
17．270°－3α
【分析】设∠DOE=x，根据OC平分∠AOD，∠COE＝α，可得∠COD=α-x，由∠BOD＝4∠DOE，可得∠BOD=4x，由平角∠AOB=180°列出关于x的一次方程式，求解即可．
解：设∠DOE=x，根据OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，
∴∠BOD=4x，∠AOC=∠COD=α-x，
由∠BOD+∠AOD=180°，
∴4x+2(α-x )=180°
解得x=90°-α，
∴∠BOE=3x=3（90°-α）=270°-3α，
故答案为：270°-3α．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义是解题的关键．
18．①②③
【分析】由平角的定义与∠DOE=90°，即可求得∠AOD与∠BOE互为余角；又由角平分线的定义，可得∠AOE=2∠COE=2∠AOC，根据余角和补角的定义可得∠BOE=2∠COD，根据角平分线的定义和补角的定义可得若∠BOE=58°，则∠COE=61°．
解：∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=90°，∠EOB+∠DOA=90°，
即∠AOD与∠BOE互为余角，
故①正确；
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠COE=2∠AOC；
∵∠BOE=180°﹣2∠COE，
∴∠COD=90°﹣∠COE，
∴∠BOE=2∠COD，
故③正确；
若∠BOE=58°．
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠COE(180°﹣∠BOE)=61°，
故②正确；
没有条件能证明OD平分∠COA，故④错误．
综上所述：正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目很简单，解题时要仔细识图．
19．75°
【分析】根据角平分线的性质分别求出∠COD和∠BOC的度数，然后把它们相加即可求出∠BOD的度数．
解：因为是的平分线，是的平分线， ，，
所以,,
所以．
故答案为：75°．
【点拨】本题考查角平分线的有关计算．理解角平分线把一个角分成大小相等的两个角，它们都等于原来的角的一半是解决此题的关键．
20．15
【分析】设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，利用∠EPF＝x-y＝y-(x-30°)，进而求出x-y=15°，即可求解.
解：设∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF =y，
∵∠EPF＝∠DPE-∠DPF= x-y
又∠EPF＝∠BPF -∠BPE= y-(x-30°)
∴x-y＝y-(x-30°)，
∴x-y=15°，
故∠EPF=15°，
故填：15°.
【点拨】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
21．
【分析】先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数.
解：∵，，
∴ ，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=，
∵∠COE=∠COD+∠DOE，且，
∴,
∴,
∴,
∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE，
∴∠BOE=3∠DOE=
故答案为：.
【点拨】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.
22．47°
【分析】利用角的和差关系分别进行计算即可
解：∵ON为∠BOC的平分线，∴∠BOC=，∵OM为∠AOD的平分线，∴，又∵＋∠AOB=∠MON＋∠BON，∠AOB=60°，∠COD=34°，∴，∴∠MON=47°.
【点拨】此题主要考查了角的计算，正确运用角平分线的性质是解题的关键,
23．10°或60°．
【分析】先根据题意画出图形，再分OD在内和OD在外，根据角的和差关系、角平分线的定义可求的度数．
解：（1）如图1，OD在内，
，,
，
射线OE平分，
，
射线OF平分，，
，
；
（2）如图2，OD在外，
，,
，
射线OE平分，
，
射线OF平分，，
，
.
则的度数是或.
故答案为：或.

【点拨】本题考查了角的和差关系、角平分线的定义.本题的难点在于 OD在外的情形易被忽略，从而出现漏解.
24．或80
【解析】
【分析】分类讨论：
（1）射线OC在∠AOB内部
（2）射线OC在∠AOB外部两种可能来解答．
解：
(1)当射线OC在∠AOB内部时

∵∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=50°，∠BON=30°，
∴∠MON=∠BOM-∠BON=20°；
(2)当射线OC在∠AOB外部时

∵∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=50°，∠BON=30°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=80°，
故答案为20度或80．
【点拨】本题考查角平分线的意义,分类讨论是解答此题的关键．
25．（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先根据角的和差求出和的度数，再角平分线的定义可得和的度数，然后根据角的和差即可得；
（2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；
②设，先根据角平分线的定义可得，再根据建立方程可求出，从而可得，然后根据角的和差、角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得．
解：（1），
，
射线OM，ON分别平分，，
，
，
；
（2）①，
，
射线OM，ON分别平分，，
，
，
，
，
，
；
②设，
是的角平分线，
，
射线OM平分，
，
，
，
解得，
，
，
射线ON平分，
，
，
．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意易得，然后根据余角可进行求解；
（2）由（1）及题意可求∠AOB的度数，然后根据余角进行求解即可．
解：（1）OD平分∠COM，，
，即，
，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）得：，，
，
，
，解得：，
，
．
【点拨】本题主要考查角的和差关系、余角、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；
（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．
（3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=54°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；
答：∠BOD的度数为126°；
（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：的度数为；
（3）由（2）得∠EOF=45°，
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°-∠AOC，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的计算、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
28．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．
【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t =6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t –(120-6t）=(120 -6t），t=.
当20＜t≤30时，2t –(6t -120）=(6t -120），t=.
答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.
【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
29．（1）125°；（2）ON平分∠AOC，理由详见解析；（3）∠BOM=∠NOC+40°，理由详见解析
【分析】（1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可；
（2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可得出结论；
（3）根据题干已知条件将一个角的度数转换为两个角的度数之和，列出等式即可得出结论．
解： (1) ∵∠MON=90° ， ∠BOC=35°，
∴∠MOC=∠MON+∠BOC= 90°+35°=125°．
(2)ON平分∠AOC．
理由如下：
∵∠MON=90°，
∴∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90°．
又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC．
∴∠AON=∠NOC．
∴ON平分∠AOC．
(3)∠BOM=∠NOC+40°．
理由如下：
∵∠CON+∠NOB=50°，∴∠NOB=50°-∠NOC．
∵∠BOM+∠NOB=90°，
∴∠BOM=90°-∠NOB=90°-(50°-∠NOC)=∠NOC+40°．
【点拨】本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算．
30．（1）∠AOC=144°；（2）∠BOE =81°；（3）∠EOF =117°或171°
【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；
（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠COE=∠COD=×90°=45°，于是得到结论；
（3）①根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，根据比较的定义列方程即可得到结论；
②根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，推出D，O，G共线，根据角的和差即可得到结论．
解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE=∠COD＝×90°=45°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°；
（3）①如图1，

∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠BOC+∠DOC =36°+90°=126°，
∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，
∴126+2x+x=180，
解得：x=18，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；
②如图2，

∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
∴∠FOD+∠FOG=180°，
∴D，O，G共线，
∴∠BOG=∠AOD=54°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．
【点拨】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．