专题4.23 双垂线等角模型（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.23 双垂线等角模型（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题4.23 双垂线等角模型（专项练习）
一、单选题
1．如图，在中，，于点，则图中能表示点到直线的距离的是（ ）

A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度
2．如图，已知DO⊥AB于点O，CO⊥OE，则图中与∠DOE互余的角有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）

A．42° B．64° C．48° D．24°
4．如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（ ）

A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
5．如图，如果∠COD＝n°，AO⊥DO，BO⊥CO，那么∠AOB的度数是（ ）

A．180°﹣2n° B．180°﹣n° C．90°+ D．2 n°﹣90°
6．如图，点，，在同一直线上，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数是( )

A． B． C． D．
7．如图，于点，，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（　　）

A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补
9．我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)，如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有( )

A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
10．如图，若OA⊥OB，OC⊥OD，且∠AOC：∠BOD＝1：2，则∠BOD等于（　　）

A．60° B．90° C．100° D．120°
11．如图，CO⊥AB，EO⊥OD，如果∠1=38°，那么∠2的大小为

A．38° B．42° C．52° D．62°
12．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，下列结论不正确的是（　　）

A．∠1+∠2＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠1+∠3＝90° D．∠3+∠4＝90°
13．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）

A． B． C． D．
14．如图，AB⊥CD于D，DE⊥DF，若∠BDE＝60°，则∠CDF等于(　　)

A．30° B．45° C．60° D．120°


二、填空题
15．如图所示，OA⊥OC于点O，∠1＝∠2，则∠BOD的度数是_____．

16．如图，已知∠1=43°，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠BDG＝∠C．则∠2=_________．

17．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝_____°．

18．如图，∠PQR=138°．SQ⊥QR于Q，QT⊥PQ于Q，则∠SQT等于______．

19．如图,射线OA⊥OB,射线OC⊥OD,试说明∠AOC=∠BOD的理由.
解:∵OA⊥OB,OC⊥OD
∴∠AOB=∠COD=_____°(垂直的定义)
即∠AOC+∠BOC=∠BOD+_______
∴∠AOC=∠BOD(_________)

20．如图，已知OA⊥OB，∠AOD=∠BOC由此判定OC⊥OD，下面是推理过程，请填空.

解：∵OA⊥OB(已知)
所以_____=90°（________）
因为_____=∠AOD-∠AOC，____=∠BOC-∠AOC，∠AOD=∠BOC，
所以______=_____(等量代换)
所以______=90°
所以OC⊥OD．
21．如图所示，∠AOB＝42°，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD的度数为________．


三、解答题
22．如图，已知直线和相交于点，射线于，射线于，且.求的度数.

23．已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角

求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
24．如图，点O是直线AB、CD的交点，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的平分线．

（1）求证：∠EOF＝∠AOC；
（2）若∠AOC＝34°，求∠COM的度数．
25．如图，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？
（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．

26．如图，已知直线AB与CD相交于点0，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线
（1）若∠AOC=25°，求∠BOD和∠COE的度数．
（2）若∠AOC=a，求∠EOM的度数(用含a的代数式表示)

27．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线．
（1）请写出图中所有∠EOC的补角　 　．
（2）如果∠POC：∠EOC=2：5．求∠BOF的度数．






参考答案
1．B
【分析】根据点到直线的距离的概念可直接进行求解．
解：由在中，，于点，可得：
能表示点到直线的距离的是BC的长度；
故选B．
【点拨】本题主要考查点到直线的距离，正确理解点到直线的距离是解题的关键．
2．B
【分析】根据垂直的定义可得∠COE=∠DOB=90°，然后根据互余的定义即可得出结论．
解：∵DO⊥AB，CO⊥OE
∴∠COE=∠DOB=90°
∴∠DOE＋∠COD=90°，∠DOE＋∠EOB=90°
∴图中与∠DOE互余的角有2个
故选B．
【点拨】此题考查的是找一个角的余角，掌握垂直的定义和互余的定义是解决此题的关键．
3．A
【分析】利用垂直的概念和互余的性质计算．
解：∵∠PQR=138°，QT⊥PQ，
∴∠PQS=138°﹣90°=48°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT=90°，
∴∠SQT=42°．
故选A．
【点拨】本题是对有公共部分的两个直角的求角度的考查，注意直角的定义和度数．
4．A
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°和等角的余角相等解答．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∴∠AOC+∠2=90°，∠1+∠BOD=90°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠AOC，
∠2=∠BOD，
∠AOE=∠COD，
∠BOE=∠COD，
∴图中相等的角有5对．
故选：A．
【点拨】本题考查了余角的定义和性质，熟记概念并准确识图是解题的关键，属中考常考题．
5．B
【分析】先求得∠BOD的度数，然后再依据∠AOB＝∠AOD+∠DOB求解即可．
解：∵AO⊥DO，BO⊥CO，
∴∠AOD＝∠COB＝90°．
∴∠BOD＝90°﹣n°．
∴∠AOB＝∠AOD+∠DOB＝90°+90°﹣n°＝180°﹣n°．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是垂线的定义、角的和差计算，求得∠BOD的度数是解题的关键．
6．B
【分析】根据垂直的定义、对顶角相等、邻补角的和等于180°等知识点即可解答．
解：∵，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠BOE，
∵，
∴∠COD=∠BOE，故①正确；
∵∠COE+∠BOE=90°，
∴∠COE+∠COD=90°，即，故②正确；
∠AOD与∠BOE不一定相等，故③错误；
∵∠AOF=∠BOE，
∴∠AOF=∠COD
∴∠AOF+∠AOC=∠COD+∠BOC
即∠FOC=∠BOD，故④正确；
∵∠AOE+∠COD=∠AOE+∠BOE=180°，故⑤正确；
故答案为：B．
【点拨】本题考查了垂线的定义、对顶角相等、邻补角的和等于180°等知识点，要注意领会由垂直得直角这一要点．
7．D
【分析】根据垂直可得∠AOB=∠COD=90°，可求出∠AOC，进而求得∠BOC.
解：∵AO⊥BO，CO⊥DO
∴∠AOB=∠COD=90°
∵∠AOD=
∴∠AOC=∠AOD-∠COD=
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=
故选：D
【点拨】本题考查的是角的加减，掌握垂直的定义及从图中找到角之间的关系是关键.
8．C
【分析】根据垂直的定义和互余解答即可．
解：∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠AOE+∠2＝90°，
∵∠1+∠AOE＝∠1+∠COD，
∴∠AOE＝∠COD，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂线的定义，关键是熟悉当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；平角的度数是180°．
9．C
【分析】根据互为垂角的定义即可求解，以及OC⊥AB于点O，OE⊥OD，即可找到图中互为垂角的角.
解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，
|∠EOB-∠DOB|=90°，|∠EOB-∠EOC|=90°，|∠AOD-∠COD|=90°，
|∠AOD-∠AOE|=90°；
所以互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
故选：C.
【点拨】本题考查角的和差，垂线的定义.能理解题中所给互为垂角的定义是解题关键.
10．D
【分析】根据垂直定义可得∠AOB＝90°，∠COD＝90°，进而可得∠AOC＋∠BOD＝180°，然后再根据条件∠AOC：∠BOD＝1：2可得∠BOD的度数．
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
∵∠AOC：∠BOD＝1：2，
∴∠BOD＝120°，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及角度的计算，关键是理清图中角的关系．
11．C
【分析】根据图示知，∠1与∠2互为余角．
解：如图，点A、O、B共线．
∵EO⊥OD，
∴∠EOD=90°．
∴∠1+∠2=180°-∠EOD=90°．
又∵∠1=38°，
∴∠2=52°．
故选：C．
【点拨】考查了垂线．要注意领会由垂直得直角这一要点．
12．C
【分析】根据垂直的性质得到∠BOC=∠AOC=90°，然后结合图形可得结论．
解：如图，∵CO⊥AB，
∴∠BOC=∠1+∠2=∠3+∠4=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴结论不正确的是：∠1+∠3=90°，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂线．要注意领会由垂直得直角这一要点．
13．C
【分析】根据角的和差先求出∠BOC，然后求出∠2即可．
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°．
∴∠BOC=∠AOB-∠1=90°-50°=40°，
∠2=∠COD-∠BOC=90°-40°=50°．
故选C．
【点拨】本题主要考查角的和差以及垂直的定义，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
14．C
【分析】由垂直的定义可得∠BDC=∠EDF=90°，从而可得到∠CDF=∠BDE，可求得答案．
解：∵AB⊥CD，DE⊥DF，
∴∠BDC=∠EDF=90°，
∴∠CDF+∠CDE=∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠CDF=∠BDE=60°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键，即由垂直可得到角为90°．
15．90°．
【分析】根据垂直求出∠AOC＝90°，根据∠1＝∠2求出∠BOD＝∠AOC，即可得出答案．
解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠BOD＝∠2+∠BOC＝∠1+∠BOC＝∠AOC＝90°，
故答案为：90°．
【点拨】此题考查垂直定义和角的计算，能求出∠BOD=∠AOC是解题的关键．
16．
【分析】根据垂直的定义及互余的性质解答即可．
解：∵AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,
∴∠ADB=∠FEC=90°,
∵∠BDG=∠C,
∵∠2+∠BDG=90°,∠1+∠C=90°,
∴∠2=∠1=43°．
【点拨】本题主要考查垂直的定义及互余的性质,利用垂直的定义得到∠ADB=∠FEC=90°是解题的关键.
17．30
【分析】根据垂直的定义，得∠AOC＝∠DOB＝90°，再结合图形的重叠特点求∠BOC的度数．
解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC＝∠DOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC+∠DOB﹣∠AOD＝180°﹣150°＝30°．
故答案为30．
【点拨】此题主要考查了垂直的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
18．42°
【分析】利用垂直的概念和互余的性质计算.
解：∵∠PQR等于138°，SQ⊥QR，
∴∠PQS=138°-90°=48°，
又∵QT⊥PQ，
∴∠PQT=90°，
∴∠SQT=42°．
故答案是42°.
【点拨】此题主要考查了角的计算和垂线的定义的知识，解题关键点是熟练掌握有公共部分的两个直角的计算.
19．90，∠BOC，同角的余角相等
【分析】根据垂直的定义和同角的余角的性质分析即可.
解：∵OA⊥OB,OC⊥OD
∴∠AOB=∠COD=90°(垂直的定义)
即∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD(同角的余角相等)
【点拨】垂直的定义和余角是本题的考点，熟练掌握其定义和性质是解题的关键.
20．∠AOB； 垂直的定义； ∠COD； ∠AOB； ∠COD； ∠AOB； ∠COD.
【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB，根据等式的性质，可得∠COD，根据垂线的定义，可得答案．
解：∵OA⊥OB(已知)
所以∠AOB=90°（垂直的定义）
因为∠COD=∠AOD-∠AOC，∠AOB=∠BOC-∠AOC，∠AOD=∠BOC，
所以∠COD=∠AOB(等量代换)
所以∠COD=90°
所以OC⊥OD.
【点拨】本题考查了垂线，利用等式的性质得出∠COD是解题的关键．
21．138°
【分析】根据垂直的定义和角的和差即可得到结论．
解：∵OB⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∵∠AOB=42°，
∴∠AOD=48°，
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∴∠COD=138°，
故答案为138°．
【点拨】本题考查了垂线，余角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，属于基础题．
22．
【分析】直接利用垂线的定义结合互余两角的关系得出答案．
解：因为OF⊥CD,OE⊥AB，
∴∠BOE=∠FOD=，
∴∠BOF+∠EOF=∠EOF+∠EOD，
∴∠EOD=∠BOF=.
【点拨】本题主要考查了垂线，正确把握垂线的定义是解题关键．
23．垂直的意义；同角的余角相等．
【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证．
解：证明：∵（已知），
∴（垂直的意义），
∴是的余角，
∵是的余角（已知），
∴（同角的余角相等），
故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．
【点拨】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键．
24．（1）证明见解析；（2）°
【分析】（1）根据垂线的性质、余角的性质即可解答；
（2）根据（1）的结论求得的度数，然后根据角平分线的定义求得∠FOM的度数，最后根据∠COM=∠COF+∠FOM求解．
解：（1）由OE⊥AB，可得,
由OF⊥CD，可得，
根据同角的余角相等，可得；
（2）°°°°°，
∵平分，
∴，
∴°．
【点拨】本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义，以及对顶角的性质，余角的性质是关键．
25．(1)相等；（2）∠COD的度数为40°
【分析】（1）根据垂线的定义得到∠AOC=∠BOD=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论．
解：(1)相等,理由如下：
∵AO⊥CO，DO⊥BO
∴∠AOC=∠BOD=90°
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC
∴∠AOD=∠BOC
（2）∵∠AOB＝140°,∠BOD=90°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=50°
∵∠AOC＝90°
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=40°
答：∠COD的度数为40°
【点拨】考查了垂线，余角的定义，熟练掌握垂线的定理是解题的关键．
26．（1）∠COE =25°；（2）∠EOM=45°+α.
【分析】（1）根据垂直的定义可知∠AOE=90°，根据对顶角相等可得∠BOD的度数，由∠COE=∠AOE-∠AOC计算，即可得出答案.
（2）根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=α，由垂直的定义和角的运算可得∠BOF=90°-α，根据角平分线的定义得∠BOM=45°-α，再由垂直定义即可求得答案.
解：（1）解： ∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠AOC=25°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=90°-25°=65°，∠BOD=∠AOC=25°；
（2）解： ∵∠AOC=α，
∴∠BOD=∠AOC=α，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB=90°-α，
又∵OM平分∠BOF，
∴∠BOM= ∠BOF= （90°-α）=45°- α，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOM=∠BOE-∠BOM，
=90°-（45°- α），
=45°+α.
故答案为（1）∠BOD=25°∠COE =65°；（2）∠EOM=45°+α.
【点拨】本题考查角的平分线，角的运算，垂线 ，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义.
27．（1）∠EOD，∠AOF；（2）∠BOF=50°．
试题分析：（1）首先根据垂直定义可得∠AOE=∠DOF=90°，然后再证明∠EOD=∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC=∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC=2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数．
解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，∴∠EOA+∠AOD=∠DOF+∠AOD，即：∠EOD=∠AOF，∵∠EOC+∠EOD=180°，∴∠AOF+∠EOC=180°，∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角，故答案为∠EOD，∠AOF；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，∴∠POC=∠POB，∵∠POC：∠EOC=2：5，∴∠POC=90°×=20°，∴∠POB=20°，∵∠DOF=90°，∴∠BOF=90°﹣20°﹣20°=50°．

点拨：此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．