专题4.19 角平分线中角的计算（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.19 角平分线中角的计算（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共40页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题4.19 角平分中角的计算（提高篇）（专项练习）
一、解答题
1．已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，（用含α的代数式表示）



2． 已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．
（1）如图（1），若，，逆时针转动到，处．
①若，的转动时间为2，则________；
②若平分，平分，求的值．
（2）如图（2），若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由．

3．问题情境:以直线上一点为端点作射线，将一个直角三角形的直角顶点放在处()．
如图1，直角三角板的边放在射线上，平分和重合，则_ ；
直角三角板绕点旋转到如图2的位置，平分平分，求的度数．
直角三角板绕点旋转到如图3的位置，平分平分，猜想的度数，并说明理由．



4．已知，过点作．
（1）若，求的度数；
（2）已知射线平分，射线平分．
①若，求的度数；
②若，则的度数为 （直接填写用含的式子表示的结果）


5．如图，，射线以度/秒的速度从出发绕点顺时针转动到时停止，同时射线以度/秒的速度从出发绕点逆时针转动到时停止，设转动时间为秒．
(1)当重合时，求的值；
(2)当平分时，试通过计算说明平分；
(3)当为何值时，与互补？



6． 已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．










7．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，=  度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．





8．(1)如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=　 　；
(2)如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x ，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．
(3)如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON的度数．
(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？



9．已知：∠AOD=150°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，
∠MON=　 °；
（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=m°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
求∠MON的大小（用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若m=20,∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内部绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若3∠AOM=2∠DON时，求t的值．




10．如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如图①，当是直角，时，__________，__________，__________；
（2）如图②，当，时，猜想：的度数与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当，（为锐角）时，猜想：的度数与，有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．


11．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
(1)如图1，若∠AOD=156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD=96°，则∠MON的度数为　 　．
(2)如图2，若∠AOD=m°，∠NOC=23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM的度数(用m的式子表示)；
(3)如图3，若∠AOD=156°，∠BOC=22°，∠AOB=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．



12． 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．




13．已知为直线上的一点，射线表示正北方向，，射线平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）若将绕点旋转至图2的位置，试判断和之间的数量关系，并证明你的结果．
（3）若将绕点旋转至图3的位置，求满足：时的度数．



14．操作与探究：已知：点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠AOD．
（1）如图①所示，若∠COE＝20°，则∠BOD＝　　　　　　°．
（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试判断∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系：　　　　　　．





15．已知点是直线上一点，，是的平分线．
（1）当点，在直线的同侧，且在的内部时（如图1所示 ）， 设，求的大小；
（2）当点与点在直线的两旁（如图2所示），（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；
（3）将图2 中的射线绕点顺时针旋转，得到射线，设，若，则的度数是 （用含的式子表示）



16．点在直线上，射线在直线的上方，且
(1)如图1，在内部，且平分
①若=，则=　　　　．
②若=，则=　　　　．
③若=，则=　　　　°(用含的式子表示)
(2) 当在内部，且平分时，请画出图形；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由．


17．如图，，为其内部一条射线．
（1）若平分，平分.求的度数；
（2）若，射线从起绕着点顺时针旋转，旋转的速度是每秒钟，设旋转的时间为，试求当时的值．



18．如图1， 点在直线上， ，将．绕着点以的速度逆时针旋转，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，______； 图中的补角有: ______；
(2)如图3，当时，平分， 平分，求的度数；
(3)在绕着点逆时针旋转的过程中，当______时，．









19．点在直线上，在直线的同侧，作射线平分．
（1）如图1，若，，直接写出的度数为 ，的度数为 ；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）若和互为余角且，平分，试画出图形探究与之间的数量关系，并说明理由．


























参考答案
1．（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝α；
（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝∠BOC＝90°－α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；
（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－α．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，
（2）（1）中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
2．（1）①40゜；②60゜；（2），理由见解析．
【分析】
（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；
②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=∠AOB=×120°=60°，即∠M′ON′=60°；
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解．
【详解】
（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×120°=60°，
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=，则∠AOB=4，∠AOC=3，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3 -30t=3（ -10t），∠NOB= -10t，
∴∠COM=3∠BON．
【点拨】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．
3．（1）；（2）的度数是；（3）的度数是，理由详见解析
【分析】
（1）根据题意结合角平分线性质由∠MON=∠MOC+∠COD求出即可；
（2）由题意利用角平分线性质由∠MON=∠MOC+∠DON+∠COD求出即可；
（3）根据题意猜想∠MON的度数是135°，根据给定条件进行等量替换由∠MON=∠MOC+∠BON+∠COB说明理由即可．
【详解】
解：（1）∵∠COD=90°，OM平分∠AOC，ON和OB重合，
∴∠MOC=∠AOC=（∠AOB-∠COD）=45°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD=45°+90°=135°，
故答案为：135；
（2）平分平分，
，，







即的度数是；
（3）猜想的度数是，理由是:
平分平分，
，，











即的度数是．
【点拨】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键．
4．（1）或；（2）①；②或
【分析】
（1）分两种情况：当射线、在射线同侧时，当射线、在射线两侧时，分别求出∠AOC的度数，即可；
（2）①分两种情况：当射线、在射线同侧时，当射线、在射线两侧时，分别求出的度数，即可；②分两种情况：当射线OC在∠AOB内部时，当射线OC在∠AOB外部时，分别用表示出的度数，即可．
【详解】
（1）当射线、在射线同侧时，如图1所示，
∵，，
∴，
当射线、在射线两侧时，如图2所示，
∵，，
∴．
综上可得，的度数为或；
（2）①当射线、在射线同侧时，如图3所示，
∵射线平分，
∴，
∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴．
当射线、在射线两侧时，如图4所示，
∵射线平分，
∴，
∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
综上可得，的度数为；
②当射线OC在∠AOB内部时，如图5，
∵射线平分，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴．
当射线OC在∠AOB外部时，如图6，
∵射线平分，
∴，
∵，，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
综上所述：的度数为：或．
故答案是：或．

【点拨】本题主要考查角的平分线的定义以及角度的运算，画出示意图，根据角的和差倍分运算以及角平分线的定义，分类进行计算，是解题的关键．
5．（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】
（1）根据题意 ,当重合时，，计算即可；

（2）根据题意可得，由平分可计算出，故,即可说明平分；
（3）根据题意可得分两种情况说明，当重合之前和重合之后分别计算即可．
【详解】
由题意：


当重合时，

解得：



平分

∴
∴
平分


当与重合前


解得：
当与重合后


解得：
当或时，与互补
【点拨】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．
6．（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【分析】
（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；
（2）①根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；
②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．
故答案为：60；
（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；
②分以下两种情况：
当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，

∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．
当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．
综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【点拨】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
7．（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】
解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点拨】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
8．（1）45°；（2）能，；（3）能，；（4）
【分析】
（1）根据题意可知，∠AOC=120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°，由图形可知，∠MON=∠MOC-∠CON，即可求出∠MON=45°；
（2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC与∠NOC的度数，然后相减即可得到∠MON的度数；
（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根据∠MON=∠MOC-∠NOC得解．
（4）由（1）、（2）、（3）的结果中，∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON= ．
【详解】
（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°；
（2）能．
∵∠AOB=90°，∠BOC=x，
∴∠AOC=90°+x，
∵OM、ON分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠MOC= ∠AOC= （90°+x°）=45°+ x，
∴∠CON= ∠BOC= x，
∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+ x- x=45°．
（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC= ∠AOC= （α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC= ∠BOC= ，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= （α+β）-=．
（4）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON=．理由如下：
∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=∠AOC=（α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+β）-=．
【点拨】本题考查角的和差、角平分线定义，利用∠MON=∠MOC﹣∠NOC是解题的关键.
9．（1）75;（2）（75-m)°；（3）t为19秒．
【分析】
（1）根据角平分线的定义，以及角度和的关系，可得∠MON=∠AOD即可得出；
（2）根据角平分线的定义，得出∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，利用角度和与差的关系，得出∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC，角度代换即可得出结果；
（3）由题意知，∠AOM=（10+2t+20°），∠DON=（150﹣10﹣2t）°，根据3∠AOM=2∠DON，列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON，
=∠AOB+∠BOD，
=∠AOD，
=×150°，
=75°，
故答案为：75；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC
=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC
=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
=×（150°+m°）﹣m°
=(75-m)°，
故答案为：(75-m)°；
（3）∵∠AOM= ∠AOC=（10+2t+20°）=（15+t）°，
∠DON=∠BOD=（150﹣10﹣2t）°=（70-t）°，
又∵3∠AOM=2∠DON，
∴3（15+t）=2（70﹣t），
得t=19．
答：t为19秒，
故答案为：19秒．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系式，一元一次方程的列式求解，掌握角平分线的定义是解题的关键．
10．(1) 30°，75°，45°；(2) ∠MON=，理由见解析；(3) ∠MON=，与无关，理由见解析
【分析】
(1)因为ON平分∠BOC，OM是∠AOC的平分线，根据角平分线的性质即可得出∠NOC=∠BOC，∠AOM=∠MOC=∠AOC，再结合已知条件即可求解；

(2) ∠MON=，根据题目已知条件可以得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，代入题目条件即可得出结果；

(3) ∠MON=，与无关，根据题目已知条件表示出∠AOC，再利用角平分线的性质即可得出结果．
【详解】
解：(1)∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=×60°=30°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=∠MOC=∠AOC，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠MOC=75°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=75°-30°=45°，
故答案为：30°，75°，45°
(2)∠MON=．
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=+60°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=（+60°）=+30°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=×60°=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=+30°-30°=；
(3)∠MON=，与无关．
∵∠AOB=，∠BOC=，
∴∠AOC=+，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=（+），∠NOC=∠BOC=，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（+）-=．
【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质和与角有关的计算，掌握角平分线的性质和与角有关的计算是解题的关键．
11．(1)78°；(2)；(3) 当或时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍
【分析】
（1）由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM=30°，∠BON=48°，进而即可求解；
（2）由角平分线的定义得∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，进而得∠MON=，即可求解；
（3）由题意得：∠AOM═(26+t) °，∠DON=(63﹣t) °，根据∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，列出关于t的方程，即可求解．
【详解】
（1）∵∠AOD=156°，∠BOD=96°，
∴∠AOB=156°﹣96°=60°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=30°，∠BON=48°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=78°；
（2）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∵∠MON=∠BOM+∠BON= (∠AOB+∠BOD)= ∠AOD=，
∴；
（3）∵∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，
∴∠AOC=(52+2t) °，∠BOD=(126﹣2t) °，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM═(26+t) °，∠DON=(63﹣t) °，
当∠AOM=2∠DON时，26+t=2(63﹣t)，则；
当∠DON=2∠AOM时，63﹣t=2(26+t)，则t=．
故当或时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，
【点拨】本题主要考查角的和差倍分运算，掌握角平分线的定义以及角的和差倍分关系，是解题的关键．
12．（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．
【分析】
（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】
解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=×90°=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，
∴∠EAF=(∠BAO+∠GAO)=×180°=90°．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO，
即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．
∴∠ABO为60°或45°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
13．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由图可以知道、互为邻补角，由已知即可求出．注意到平分，则可求出，再由,即可求出．
（2）设，则，求出，代入即可
（3）可先设，则，由图可知，，分别代入即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴
平分，


（2），理由如下：
设，则，，
，
．
（3）设，则，
，，
∵，
∴
．
即．
【点拨】此题考查旋转与角平分线的计算，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键．
14．（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE，理由见详解；（3）∠BOD+2∠COE=360°，理由见详解
【分析】
（1）由互余得∠DOE的度数，进而由角平分线得出∠AOE的度数，即可得出∠BOD的度数；
（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°-∠COE=∠AOE，∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE，最后根据∠BOD=180°-∠AOC-∠COD可得；
（3）由互余得∠DOE=∠COE-90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°，最后根据∠BOD=180°-∠AOD可得．
【详解】
解：（1）
∵射线OE平分∠AOD
∴
∴；
（2），理由如下：
∵∠COD＝90°
∴∠DOE=∠COE-90°
∵射线OE平分∠AOD
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=90°-2∠COE
∵A，O，B在同一直线上
∴∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-(90°-2∠COE)- 90°
即：∠BOD=2∠COE；
（3）∠BOD+2∠COE=360°，理由如下：
∵∠COD＝90°
∴∠DOE=∠COE-90°
∵射线OE平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE-180°
∴∠BOD=180°-∠AOD=360°-2∠COE
即：∠BOD+2∠COE=360°．
【点拨】本题考查的知识点有角平分线的定义、角的计算、余角的定义等，掌握以上知识点是解此题的关键．
15．（1） ；（2）（1）中的结论不变，即，理由见解析；（3） ．
【分析】
（1）设，表达出∠BOE，∠COF的大小，再根据列出方程求解即可；
（2）类比（1）的求法，表达出∠BOE，∠COF，列出方程求解即可；
（3）对于旋转后OD的位置分两种情况讨论，通过角的运算，表达出∠DOE的度数，再根据题意，排除射线OD在∠BOE外部的情况．
【详解】
解：（1）设，则

，即
（2）（1）中的结论不变，即



（3）
分为两种情况：
①如图3，射线在的内部，则
∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE
②如图4，射线在的外部，则





此时
∵∠AOC<∠COE
即n<60°，
∴，
又∵
∴射线不可能在的外部
综上所述：的度数为．

【点拨】本题考查了基本几何图形中的角度的运算，前两问难度不大，根据角度运算即可求出，对于第三问，难在对射线OD的位置进行分类讨论，解题的关键是灵活对角进行加减运算．
16．（1）①40°；②25°；③（80-2n）；（2）作图见详解；∠EOF=80°+2∠COD.
【分析】
（1）①由题意利用角平分线的定义和邻补角相加等于180°进行分析即可；
②根据题意设∠COD=x°，并利用角平分线的定义和邻补角相加等于180答题即可；
③根据题意可知需要利用角平分线的定义和邻补角相加等于180°来进行分析；
（2）根据题意画出新图形，并由题意用代数式分别表示∠COD与∠EOF，进而得出数量关系式.
【详解】
解：（1）①∵∠AOB=40°，∠AOC=70°
∴∠BOC=30°
∵∠COD=20°
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=50°
∵OD平分∠BOE
∴∠DOE=∠BOD=50°
∴∠EOF=180°-∠AOB-∠DOE-∠BOD=40°.
②设∠COD=x°，则由上题可知：
∠BOD=∠DOE=30°+x°
∴∠EOF=180°-（∠AOC+∠COD+∠DOE）=30°
∴∠COD=25°
③由上题可知：
∠BOD=∠DOE=30°+n°
∴∠EOF=180°-（∠AOC+∠COD+∠DOE）=180°-（70°+n°+30°+n°）=80°-2n°
故答案为①40°；②25°；③（80-2n）．
（2）作图如下：

∠COD与∠EOF的数量关系是：∠EOF=80°+2∠COD，理由如下：
∵∠AOC=70°
∴∠COF=110°
∴∠EOF=∠EOC+110°
∵∠COD=∠EOC+∠DOE，①
∠DOE= ，
∴∠COD=15°+ ∠EOC，②
∴由①②得：∠EOF=80°+2∠COD.
答：∠COD与∠EOF的数量关系是：∠EOF=80°+2∠COD．
【点拨】本题考查角的相关计算，熟练掌握并理由角平分线的定义和邻补角相加等于180°进行分析计算是解题的关键.
17．（1）；（2）或，
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线定义和角的和差计算即可；
（2）分四种情况讨论：①当OM在∠AOC内部时，②当OM在∠BOC内部时，③当OM在∠AOB外部，靠近射线OB时，④当OM在∠AOB外部，靠近射线OA时．分别列方程求解即可．
【详解】
（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOC，
∴∠EOF=∠1+∠2=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB．
∵∠AOB=160°，
∴∠EOF=80°．

（2）分四种情况讨论：
①当OM在∠AOC内部时，如图1．
∵∠AOC=100°，∠AOB=160°，
∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=160°-．
∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=∠AOC+∠MOB=200°，
∴100°+160°-=200°，
∴t=3．

②当OM在∠BOC内部时，如图2．
∵∠AOC=100°，∠AOB=160°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=160°-100°=60°．
∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=∠AOM+∠COB=200°，
∴，
∴t=7．

③当OM在∠AOB外部，靠近射线OB时，如图3，

∵∠AOB=160°，∠AOC=100°，
∴∠BOC=160°-100°=60°．
∵∠AOM=，
∴∠MOB=∠AOM-∠AOB=，∠MOC=．
∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=200°，
∴，解得：t=．
∵∠AOB=160°，
∴OM转到OB时，所用时间t=160°÷20°=8．
∵＜8，
∴此时OM在∠BOC内部，不合题意，舍去．
④当OM在∠AOB外部，靠近射线OA时，如图4，

∵∠AOB=160°，∠AOC=100°，
∴∠BOC=160°-100°=60°．
∵，
∴∠MOC=∠AOM+∠AOC==，∠MOB=∠AOM+∠AOB==．
∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=200°，
∴，解得：t=19．
当t=19时，=380°＞360°，则OM转到了∠AOC的内部，不合题意，舍去．
综上所述：t=3s或t=7s．
【点拨】本题考查了角的和差和一元一次方程的应用．用含t的式子表示出对应的角是解答本题的关键．
18．（1）； 图中的补角有: 和；（2）；（3）当或时，
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠AON的度数，进而求出∠BON和∠BOM的度数，再根据“时间=路程÷速度”，即可得出答案；根据补角的定义即可得出答案；
（2）先设出∠BOM和∠CON的度数，再根据角平分线的定义求出∠NOF和∠DOM的度数，即可得出答案；
（3）分情况进行讨论，①当ON位于直线AB上方，OM位于∠BOC中时；②当ON位于直线AB下方，OM位于∠AOC中时；③OM和ON均位于直线AB下方时；④当ON位于直线AB上方，OM位于直线AB下方时；分别求出每种情况下∠AON和∠COM的度数，再令∠AON=∠COM，解方程即可得出答案.
【详解】
解：（1）当OC平分∠AON时，∠AON=2∠AOC=60°
∴∠BON=120°
又∠MON=60°
∴∠BOM=∠BON-∠MON=60°
∴t=60÷10=6(s)；
图中的补角有：和；
（2） ∵运动时间为秒，运动速度为，则

又∵平分，平分
∴，

∴
∴当时，的度数为
（3）①当ON位于直线AB上方，OM位于∠BOC中时
∠AON=(120-10t)°，∠COM=(150-10t)°
又∠AON=∠COM，即(120-10t)°=(150-10t)°，无解；
②当ON位于直线AB下方，OM位于∠AOC中时
∠COM=(150-10t)°，∠AON=(10t-120)°
又∠AON=∠COM，即(150-10t)°=(10t-120)°，解得t=13.5；
③OM和ON均位于直线AB下方时
∠COM=(10t-150)°，∠AON=(10t-120)°
又∠AON=∠COM，即(10t-150)°=(10t-120)°，无解；
④当ON位于直线AB上方，OM位于直线AB下方时
∠COM=(10t-150)°，∠AON=(480-10t)°
又∠AON=∠COM，即(10t-150)°=(480-10t)°，解得t=31.5；
∴当或时，
【点拨】本题考查的是角的计算，难度较高，根据∠MON的运动轨迹求出相关角的度数是解决本题的关键.
19．（1）80°，20°；（2）90°；（3）当时，；当，，理由见解析
【分析】
（1）利用平角的定义、角平分线的定义和角的和差即可得出结论
（2）设，再根据已知得出∠BOM=90°-x， 再利用即可得出结论
（3）分，两种情况加以讨论
【详解】
解：（1）∵∠AOB=40°，∠COD=60°
∴∠BOC=180°-∠AOB -∠COD=80°,∠AOC=180°-∠COD =120°
∵OM平分∠AOC
∴∠AOM=60°
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB =20°
故答案为：80°，20°
（2）

∵OM平分∠AOC
∴设，则
∵
∴
∴
（3）

当时，即在下方时
设
∴
∴
∴
∴.
∴
∴
②当，即在上方时

设
∴
∴
∴
∴，
∵平分，
∴
∴
∴
【点拨】本题考查角的相关计算，难度适中，涉及角平分线的定义和邻补角相加等于180°的知识点；同时，里面的小题从易到难，体现了分类讨论的数学思想．
20．38°
【分析】
如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°，利用△MAE和△MFC内角和得到关于x、y和∠M的方程，可求解出∠M．
【详解】
如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°

∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD
∴∠BAF=y°，∠MCF=x°
∵∠B=34°，∠D=42°
∴在△ABF中，∠BFA=180°－34°－y°=146°－y°
在△CED中，∠CED=180°－42°－x°=138°－x°
∴∠CFM=∠AFB=146°－y°，∠AEM=∠CED=138°－x°
∴在△AME中，y°+∠M+138°－x°=180°
在△FMC中，x°+146°－y°+∠M=180°
约掉x、y得，∠M=38°
故答案为：38°
【点拨】本题考查角度的推导，解题关键是采取方程思想，利用三角形内角和为180°得出关于x、y和∠M的方程．