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2020年青海省西宁市中考数学二模试卷--解析版
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这是一份2020年青海省西宁市中考数学二模试卷--解析版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年青海省西宁市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.）
1．（3分）计算：﹣12＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．÷＝ D．（﹣）2＝2
4．（3分）选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，某校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）
甲
乙
丙
丁
12″33
10″26
10″26
11″29
s2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0必有实数解”是真命题，则b的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
7．（3分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
8．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
9．（2分）分解因式：4a2﹣1＝ ．
10．（2分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为 米．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，将袋子中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，则袋中原有黑球的个数是 ．
12．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为 厘米．（结果保留π）
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则B2C的长度是 ．
15．（2分）如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为 ．
16．（2分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
17．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 ．
18．（2分）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝ ．
三、解答题（共10小题，满分76分）
19．（4分）计算：2﹣2﹣（π﹣2020）0﹣|﹣2|．
20．（4分）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
21．（6分）求不等式＞2x﹣1的最大整数解．
22．（6分）解方程：+＝1
23．（8分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
24．（8分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标．
25．（8分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 °；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝6，C，D为的三等分点，连接OC并延长到点P，使得OC＝PC，连接OD，DC，PD．
（1）求证：PD为⊙O的切线；
（2）连结BD交AC于点E，求线段BE的长．
27．（10分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；
（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
2020年青海省西宁市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.）
1．（3分）计算：﹣12＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣12＝﹣1．
故选：D．
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使 在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．÷＝ D．（﹣）2＝2
【分析】根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；
B、×＝，计算正确，故本选项错误；
C、÷＝，计算正确，故本选项错误；
D、（﹣）2＝2，计算正确，故本选项错误；
故选：A．
4．（3分）选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，某校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）
甲
乙
丙
丁
12″33
10″26
10″26
11″29
s2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
【解答】解：∵乙、丙的平均成绩小于甲、丁，
∴乙、丙的平均成绩好，
又∵乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩好且发挥稳定，
故选：B．
5．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，是中心对称图形；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
既是轴对称图形又是中心对称图形有3个，
故选：B．
6．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0必有实数解”是真命题，则b的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据△≥0，求出b的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题意，△＝b2﹣4≥0，
∴b≥2或b≤﹣2，
故选：D．
7．（3分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故选：C．
8．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
9．（2分）分解因式：4a2﹣1＝ （2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
10．（2分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为 1.6×10﹣8 米．
【分析】由1纳米＝10﹣9米，可得出16纳米＝1.6×10﹣8米，此题得解．
【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，
∴16纳米＝1.6×10﹣8米．
故答案为：1.6×10﹣8．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，将袋子中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，则袋中原有黑球的个数是 4 ．
【分析】首先设袋中的黑球有x个，根据题意得＝，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设袋中黑球有x个，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故答案为：4．
12．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ∠BAD＝90° ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为 20π 厘米．（结果保留π）
【分析】根据弧长公式l＝列式计算即可得解．
【解答】解：的长＝＝20π（厘米）．
故答案为：20π．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则B2C的长度是 3 ．
【分析】直接利用平移的性质以及结合旋转的性质得出对应点位置，进而得出B2C的长度．
【解答】解：如图所示：B2C的长度是：2﹣（﹣1）＝3．
故答案为：3．
15．（2分）如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为 ﹣1 ．
【分析】设AB＝x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【解答】解：：∵AB＝2，则BD＝DE＝×2＝1，
由勾股定理得，AD＝，
则AC＝AE＝，
∴AC＝AB＝，
故答案为：﹣1．
16．（2分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC＝∠ODC，继而可求得答案．
【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是直径，即CD＝10，
∵C（0，5），
∴OC＝5，
∴OD＝＝5，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴cos∠OBC＝cos∠ODC＝＝＝．
故答案为：．
17．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 15°或75° ．
【分析】由题意，半径为1，弦AB、AC分别是、，
作OM⊥AB，ON⊥AC；利用余弦函数，可求出∠OAM＝45°，∠OAN＝30°；
AC的位置情况有两种，如图所示；故∠BAC的度数为45°+30°或45°﹣30°．问题可求．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，
∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；
∵半径为1∴OA＝1；
∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；
∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN
∴∠BAC＝75°或15°．
18．（2分）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝ 12 ．
【分析】由△ABP的面积为3，知BP•AP＝6．根据反比例函数中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABP的面积为•BP•AP＝3，
∴BP•AP＝6，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又点A、B都在双曲线y＝（x＞0）上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC＝DP＝BP，
∴k＝OC•AC＝BP•2AP＝12．
故答案为：12．
三、解答题（共10小题，满分76分）
19．（4分）计算：2﹣2﹣（π﹣2020）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣2）
＝﹣1﹣+2
＝﹣．
20．（4分）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
【分析】利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1
＝a．
21．（6分）求不等式＞2x﹣1的最大整数解．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，找出解集中的最大整数解即可．
【解答】解；去分母得：x+1＞4x﹣2，
移项合并得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1得：x＜1，
则不等式的最大整数解为0．
22．（6分）解方程：+＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
23．（8分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
24．（8分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）首先求得C的坐标，根据三角形的面积公式，则PC的长度可以求得，进而求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2，
∴点A坐标是（1，2），
∵点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）在函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象上，
则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）∵一次函数的解析式为y＝x+1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∵点P在x轴上，且△ACP的面积是3，即S△CPA＝×PC×yA＝×PC×2＝3，
∴PC＝3，
∴P点坐标为（﹣4，0）或（2，0）．
25．（8分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝ 10 ，n＝ 2 ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 79.2 °；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；
（2）由360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），
m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；
故答案为：10，2；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×＝79.2°；
故答案为：79.2；
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝6，C，D为的三等分点，连接OC并延长到点P，使得OC＝PC，连接OD，DC，PD．
（1）求证：PD为⊙O的切线；
（2）连结BD交AC于点E，求线段BE的长．
【分析】（1）由圆周角定理求得∠COD＝60°，进而证明△OCD为等边三角形，再由三角形外角性质与等腰三角形的性质求得∠OPD，进而求得∠PDO为直角便可得结论；
（2）由C，D为的三等分点，求得∠ABE与∠BAE的度数，进而得AE＝BE，并解直角三角形，求得AC与BC，设AE＝BE＝x，由勾股定理列出x的方程进行解答．
【解答】解：（1）∵C，D为的三等分点，
∴∠COD＝∠AOD＝∠BOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠OCD＝60°，
∵OC＝PC，
∴∠CPD＝∠CDP＝∠OCD＝30°，
∴∠PDO＝180°﹣∠POD﹣∠CPD＝90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C，D为的三等分点
∴∠BOC＝∠COD＝∠AOB＝＝60°，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴AE＝BE，AC＝AB•cos∠BAC＝6cos30°＝3，BC＝，
设AE＝BE＝x，则CE＝3﹣x，
∵BE2﹣CE2＝BC2，
∴，
解得，x＝2
∴BE＝2．
27．（10分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．
【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC＝GB＝20，HB＝FD，
∵B为CD的中点，
∴EG＝CB＝BD＝HF，
由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．
在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，
∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，
在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，
∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．
答：2号楼的高度为（50﹣10）米．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；
（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA，即可求解；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），
将点C的坐标代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+；
（2）由抛物线的表达式得顶点M（2，），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，
设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，则MH＝﹣＝3，
则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，
则EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+，
∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
故点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±，
故点P的坐标为（2，2）或（2﹣，2）．
2020年青海省西宁市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.）
1．（3分）计算：﹣12＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．÷＝ D．（﹣）2＝2
4．（3分）选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，某校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）
甲
乙
丙
丁
12″33
10″26
10″26
11″29
s2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0必有实数解”是真命题，则b的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
7．（3分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
8．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
9．（2分）分解因式：4a2﹣1＝ ．
10．（2分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为 米．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，将袋子中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，则袋中原有黑球的个数是 ．
12．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为 厘米．（结果保留π）
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则B2C的长度是 ．
15．（2分）如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为 ．
16．（2分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
17．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 ．
18．（2分）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝ ．
三、解答题（共10小题，满分76分）
19．（4分）计算：2﹣2﹣（π﹣2020）0﹣|﹣2|．
20．（4分）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
21．（6分）求不等式＞2x﹣1的最大整数解．
22．（6分）解方程：+＝1
23．（8分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
24．（8分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标．
25．（8分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 °；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝6，C，D为的三等分点，连接OC并延长到点P，使得OC＝PC，连接OD，DC，PD．
（1）求证：PD为⊙O的切线；
（2）连结BD交AC于点E，求线段BE的长．
27．（10分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；
（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
2020年青海省西宁市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上.）
1．（3分）计算：﹣12＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣12＝﹣1．
故选：D．
2．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使 在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
3．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．÷＝ D．（﹣）2＝2
【分析】根据同类二次根式的合并，二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项正确；
B、×＝，计算正确，故本选项错误；
C、÷＝，计算正确，故本选项错误；
D、（﹣）2＝2，计算正确，故本选项错误；
故选：A．
4．（3分）选拔一名选手参加区中学生男子百米比赛，某校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数及其方差s2如表所示：要选拔一名成绩好且发挥稳定的同学，最合适的是（ ）
甲
乙
丙
丁
12″33
10″26
10″26
11″29
s2
1.1
1.1
1.3
1.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
【解答】解：∵乙、丙的平均成绩小于甲、丁，
∴乙、丙的平均成绩好，
又∵乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩好且发挥稳定，
故选：B．
5．（3分）在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，是中心对称图形；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
既是轴对称图形又是中心对称图形有3个，
故选：B．
6．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0必有实数解”是真命题，则b的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据△≥0，求出b的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题意，△＝b2﹣4≥0，
∴b≥2或b≤﹣2，
故选：D．
7．（3分）在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故选：C．
8．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上.）
9．（2分）分解因式：4a2﹣1＝ （2a+1）（2a﹣1） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．
10．（2分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为 1.6×10﹣8 米．
【分析】由1纳米＝10﹣9米，可得出16纳米＝1.6×10﹣8米，此题得解．
【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，
∴16纳米＝1.6×10﹣8米．
故答案为：1.6×10﹣8．
11．（2分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，将袋子中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，则袋中原有黑球的个数是 4 ．
【分析】首先设袋中的黑球有x个，根据题意得＝，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设袋中黑球有x个，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，
所以袋中黑球有4个，
故答案为：4．
12．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ∠BAD＝90° ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
【分析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD＝90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD＝90°．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为 20π 厘米．（结果保留π）
【分析】根据弧长公式l＝列式计算即可得解．
【解答】解：的长＝＝20π（厘米）．
故答案为：20π．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系中将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则B2C的长度是 3 ．
【分析】直接利用平移的性质以及结合旋转的性质得出对应点位置，进而得出B2C的长度．
【解答】解：如图所示：B2C的长度是：2﹣（﹣1）＝3．
故答案为：3．
15．（2分）如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为 ﹣1 ．
【分析】设AB＝x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【解答】解：：∵AB＝2，则BD＝DE＝×2＝1，
由勾股定理得，AD＝，
则AC＝AE＝，
∴AC＝AB＝，
故答案为：﹣1．
16．（2分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．
【分析】首先设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠OBC＝∠ODC，继而可求得答案．
【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是直径，即CD＝10，
∵C（0，5），
∴OC＝5，
∴OD＝＝5，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴cos∠OBC＝cos∠ODC＝＝＝．
故答案为：．
17．（2分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为 15°或75° ．
【分析】由题意，半径为1，弦AB、AC分别是、，
作OM⊥AB，ON⊥AC；利用余弦函数，可求出∠OAM＝45°，∠OAN＝30°；
AC的位置情况有两种，如图所示；故∠BAC的度数为45°+30°或45°﹣30°．问题可求．
【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC；由垂径定理，可得AM＝，AN＝，
∵弦AB、AC分别是、，∴AM＝，AN＝；
∵半径为1∴OA＝1；
∵＝∴∠OAM＝45°；同理，∵＝，∴∠OAN＝30°；
∴∠BAC＝∠OAM+∠OAN或∠OAM﹣∠OAN
∴∠BAC＝75°或15°．
18．（2分）如图，已知点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k＝ 12 ．
【分析】由△ABP的面积为3，知BP•AP＝6．根据反比例函数中k的几何意义，知本题k＝OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC＝BP，AC＝2AP，进而求出k的值．
【解答】解：∵△ABP的面积为•BP•AP＝3，
∴BP•AP＝6，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又点A、B都在双曲线y＝（x＞0）上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC＝DP＝BP，
∴k＝OC•AC＝BP•2AP＝12．
故答案为：12．
三、解答题（共10小题，满分76分）
19．（4分）计算：2﹣2﹣（π﹣2020）0﹣|﹣2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣2）
＝﹣1﹣+2
＝﹣．
20．（4分）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．
【分析】利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1
＝a．
21．（6分）求不等式＞2x﹣1的最大整数解．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，找出解集中的最大整数解即可．
【解答】解；去分母得：x+1＞4x﹣2，
移项合并得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1得：x＜1，
则不等式的最大整数解为0．
22．（6分）解方程：+＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
23．（8分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
24．（8分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）首先求得C的坐标，根据三角形的面积公式，则PC的长度可以求得，进而求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2，
∴点A坐标是（1，2），
∵点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）在函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象上，
则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）∵一次函数的解析式为y＝x+1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∵点P在x轴上，且△ACP的面积是3，即S△CPA＝×PC×yA＝×PC×2＝3，
∴PC＝3，
∴P点坐标为（﹣4，0）或（2，0）．
25．（8分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
男生（人）
女生（人）
文学类
12
8
史学类
m
5
科学类
6
5
哲学类
2
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝ 10 ，n＝ 2 ；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 79.2 °；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；
（2）由360°乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），
m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；
故答案为：10，2；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×＝79.2°；
故答案为：79.2；
（3）列表得：
男1
男2
女1
女2
男1
﹣﹣
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
﹣﹣
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
﹣﹣
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为＝．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝6，C，D为的三等分点，连接OC并延长到点P，使得OC＝PC，连接OD，DC，PD．
（1）求证：PD为⊙O的切线；
（2）连结BD交AC于点E，求线段BE的长．
【分析】（1）由圆周角定理求得∠COD＝60°，进而证明△OCD为等边三角形，再由三角形外角性质与等腰三角形的性质求得∠OPD，进而求得∠PDO为直角便可得结论；
（2）由C，D为的三等分点，求得∠ABE与∠BAE的度数，进而得AE＝BE，并解直角三角形，求得AC与BC，设AE＝BE＝x，由勾股定理列出x的方程进行解答．
【解答】解：（1）∵C，D为的三等分点，
∴∠COD＝∠AOD＝∠BOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠OCD＝60°，
∵OC＝PC，
∴∠CPD＝∠CDP＝∠OCD＝30°，
∴∠PDO＝180°﹣∠POD﹣∠CPD＝90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C，D为的三等分点
∴∠BOC＝∠COD＝∠AOB＝＝60°，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴AE＝BE，AC＝AB•cos∠BAC＝6cos30°＝3，BC＝，
设AE＝BE＝x，则CE＝3﹣x，
∵BE2﹣CE2＝BC2，
∴，
解得，x＝2
∴BE＝2．
27．（10分）综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．
【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，
则四边形ECBG，HBDF是矩形，
∴EC＝GB＝20，HB＝FD，
∵B为CD的中点，
∴EG＝CB＝BD＝HF，
由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．
在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，
∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，
在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，
∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．
答：2号楼的高度为（50﹣10）米．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；
（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA，即可求解；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），
将点C的坐标代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+；
（2）由抛物线的表达式得顶点M（2，），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，
设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，则MH＝﹣＝3，
则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，
则EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+，
∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
故点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±，
故点P的坐标为（2，2）或（2﹣，2）．
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