2020年青海省中考数学试卷
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2020年青海省中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 填空题（共12题） |
1. 的相反数是________；的平方根是________．
2. 分解因式：________；不等式组的整数解为________．
3. 岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为纳米；纳米用科学记数法表示为________米．纳米米）
4. 如图，将周长为的沿边向右平移个单位，得到，则四边形的周长为________．
5. 如图，中，，的垂直平分线交于点，且的周长是，则________．
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________．
7. 已知，，为的三边长．，满足，且为方程的解，则的形状为________三角形．
8. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程________．
9. 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为________．
10. 如图，在中，，，，则的内切圆半径________．
11. 对于任意两个不相等的数，，定义一种新运算“”如下：，如：，那么________．
12. 观察下列各式的规律：
① ；② ；③ ．
请按以上规律写出第个算式________．
用含有字母的式子表示第个算式为________．
| 二、 选择题（共8题） |
13. 下面是某同学在一次测试中的计算：
①；
② ；
③ ；
④ ．
其中运算正确的个数为．
A．个 B．个 C．个 D．个
14. 等腰三角形的一个内角为，则另外两个内角的度数分别是．
A．，
B．，或，
C．，
D．，或，
15. 如图，根据图中的信息，可得正确的方程是．
A．
B．
C．
D．
16. 剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中① ，② 的方式沿虚线依次对折后，再沿图③ 中的虚线裁剪，最后将图④ 中的纸片打开铺平，所得图案应该是．
A．
B．
C．
D．
17. 在一张桌子上摆放着一些碟子，从个方向看到的种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有．
A．个 B．个 C．个 D．个
18. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是．
A．
B．
C．
D．
19. 如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．
A． B． C． D．
20. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的．
A．
B．
C．
D．
| 三、 解答题（共8题） |
21. 计算：．
22. 化简求值：；其中．
23. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的长．
24. 某市为了加快网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是．请你帮小军计算出信号发射塔的高度．（结果精确到米，）
25. 如图，已知是的直径，直线与相切于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，直径，求线段的长．
26. 每年月日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图．图中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有________名学生，“优秀”所占圆心角的度数为________．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
27. 在中，，交的延长线于点．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与重合，另一条直角边恰好经过点．通过观察、测量与的长度，得到．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿方向移动到图所示的位置时，一条直角边仍与边重合，另一条直角边交于点，过点作垂足为．此时请你通过观察、测量、与的长度，猜想并写出、与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图的基础上沿方向继续移动到图所示的位置（点在线段上，且点与点不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
28. 如图（注：与图完全相同）所示，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为，求四边形的面积．（请在图中探索）
（3）设点在轴上，点在抛物线上．要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．（请在图中探索）
参考答案及解析
一、 填空题
1. 【答案】；；
【解析】，的相反数是；，的平方根是．
故答案为：；．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，平方根的定义，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2. 【答案】或；；
【解析】
；
或原式；
，
解① 得：，
解② 得：，
整数解为：．
故答案为：或；．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式分解因式和不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键．
3. 【答案】；
【解析】纳米米米．
故答案为：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4. 【答案】；
【解析】沿边向右平移个单位，得到，
，，
的周长为，
，
，
四边形的周长．
故答案为．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
5. 【答案】；
【解析】，
① ，
又垂直平分，
② ，
将② 代入① 得：，
即，
又，
．
故填．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．
6. 【答案】；
【解析】在矩形中，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型．
7. 【答案】等腰；
【解析】，
，，
解得：，，
为方程的解，
，
解得：或，
、、为的三边长，，
不合题意，舍去，
，
，
是等腰三角形．
故答案为：等腰．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．
8. 【答案】；
【解析】根据题意得，
，
解得，，
所以正确的一元二次方程为．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
9. 【答案】或；
【解析】作于，延长交于，连接、，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点在与之间时，；
当点不在与之间时，；
综上所述，与之间的距离为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
10. 【答案】；
【解析】在中，，，，
根据勾股定理，得，
如图，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，
连接、、，
，，，
可得矩形，
根据切线长定理，得
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
解得．
则的内切圆半径．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
11. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．
12. 【答案】；；
【解析】④ ．
第个算式为：．
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
二、 选择题
13. 【答案】D
【解析】①与不是同类项，不能合并，计算错误；
② ，计算错误；
③ ，计算错误；
④ ，计算正确．
故选：
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
14. 【答案】D
【解析】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角；
（2）若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为．
故选：
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15. 【答案】B
【解析】依题意，得：．
故选：
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16. 【答案】A
【解析】按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：
【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
17. 【答案】C
【解析】易得三摞碟子数从左往右分别为，，，
则这个桌子上共有个碟子．
故选：
【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．
18. 【答案】B
【解析】，
分两种情况：
（1）当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选项正确．
故选：
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
19. 【答案】A
【解析】设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面半径是．
故选：
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
20. 【答案】B
【解析】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于，则可以判断、一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化．
故选：
【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
三、 解答题
21. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，开立方的运算法则，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
22. 【答案】
【解析】原式
，
．
，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）如图，的外接圆即为所求；
（2）连接，
．
是的直径，
，
平分，
，
，
，，
，
．
的长为．
【点评】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、三角形的外接圆与外心，
24. 【答案】
【解析】延长交直线于点，设米．
在直角中，，
则米；
在直角中，米，
米，
则，
解得：，
则米．
在中，米．
（米）．
信号发射塔的高度约是米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是关键．
25. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，如图所示：
，
．
，
，．
．
，，
．
．
是圆的切线且为半径，
．
．
．
又经过半径的外端点，
为圆的切线．
（2）解：连接，
是直径，
．
在直角中，，
，且，
．
，即．
．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，常见的辅助线有：
① 判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
② 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
26. 【答案】（1）；
（2）补全条形统计图如图
；
（3）
（4）画树状图为：
；
【解析】（1）该校八年级共有学生人数为（名）；“优秀”所占圆心角的度数为；
故答案为：，；
（2）“一般”的人数为（名），补全条形统计图如图
（3）（名），
即估计该市大约有名学生在这次答题中成绩不合格；
（4）画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为种，
必有甲同学参加的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
27. 【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析；
（3）结论仍然成立．
【解析】（1）证明：如图中，
，，，
，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，连接．
，，，，
，
，
．
（3）结论不变：．
理由：如图中，连接．
，，，，
，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．
28. 【答案】（1）；
（2）；
（3）或或．
【解析】（1）把和代入抛物线的解析式得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）
令，得，
，
令，得，
解得，，或，
，
，
，
；
（3）
设，
① 当为平行四边形的边时，有，，
．点在点左边时，则，
把代入，得
，
；
②点在点右边时，则，
把代入，得
，
；
③ 当为平行四边形的对角线时，如图2，与交于点，
则，
，
，
把代入，得
，
，
．
综上，满足条件的点坐标为：或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，四边形的面积计算，平行四边形的性质，第（2）题关键是把四边形分割成三角形进行解答，第（3）题关键是分情况讨论．
