2021年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）

这是一份2021年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合M＝{x|−11，x>lna时，恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1:θ＝(ρ∈R)与直线l2：ρcsθ+ρsinθ−4＝0交于点P．
（1）求点P的直角坐标；

（2）若直线l2与圆C：（α为参数）交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x+|+|x−a|(a>0)．
（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥4的解集；

（2）证明：f(x)≥2．
参考答案与试题解析
2021年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合N，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ M＝{x|−10)的右顶点(a, 0)到其中一条渐近线bx+ay＝0的距离为，
可得＝＝，
可得＝2．
【答案】
6
【考点】
直线与平面平行
【解析】
建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出所需各点的坐标，求出所需的直线的方向向量和平面EFG的法向量，判断直线的方向向量与平面的法向量的数量积是否为0，即可得到答案．
【解答】
如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B(2, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，E(0, 1, 2)，
F(2, 0, 2)，G(1, 2, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，
可得＝(−2, −2, 2)，＝(2, −1, −1)，＝(1, 1, −2)，
设平面EFG的法向量是＝(x, y, z)，
由，可得，
令x＝1，则y＝1，z＝1，所以＝(1, 1, 1)，
因为，
所以BD1与平面EFG不平行，
又，且，
所以AC与平面EFG平行，
又因为A1C1 // AC，
所以A1C1与平面EFG平行，
同理可得，A1B，D1C，AD1，BC1与平面EFG平行，
BD，B1D1，AB1，DC1，A1D，B1C与平面EFG不平行，
故与平面EFG平行的面对角线由6条．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．
【答案】
设数列{an}的公差为d，
当选择条件①②时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
当选条件①③时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
当选条件②③时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
由（1）可得：bn＝2＝23n−2，
∴ Tn＝2+24+27+...+23n−2＝＝．
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
【解析】
（1）由所选条件求解出数列{an}的首项a1与公差d，即可求得其通项公式；
（2）先由（1）求得bn，再利用公式法求其前n项和即可．
【解答】
设数列{an}的公差为d，
当选择条件①②时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
当选条件①③时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
当选条件②③时：
由可得：，解之得：，
∴ an＝1+3(n−1)＝3n−2；
由（1）可得：bn＝2＝23n−2，
∴ Tn＝2+24+27+...+23n−2＝＝．
【答案】
报名的学生共有126人，抽取比例为＝，
所以高一抽取63×＝6人，高二抽取42×＝4人，高三抽取21×＝2人．
随机变量X的所有可能取值为2，3，4，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5lna，即x>0，
不等式对x>0恒成立，即ln(x−lna)+x−lna0恒成立，
令h(x)＝lnx+x，则不等式等价于h(x−lna)0恒成立，
因为x>0时，h′(x)＝恒成立，
所以h(x)在(0, +∞)上单调递增，
所以x−lna0恒成立，即lna>x−ex−3对x>0恒成立，
由（1）可知，x−ex−3≤2，
所以lna>2，解得a>e2，
所以实数a的取值范围为(e2, +∞)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）构造函数g(x)＝f(x)−(x−2)＝ex−3−x+2，利用导数求出g(x)的最小值为0，故g(x)≥0，即可证明；
（2）将不等式恒成立转化为ln(x−lna)+x−lna0恒成立，构造h(x)＝lnx+x，则不等式转化为h(x−lna)0恒成立，然后利用导数研究函数h(x)的单调性，结合（1）中的结论求解即可．
【解答】
证明：令g(x)＝f(x)−(x−2)＝ex−3−x+2，则g′(x)＝ex−3−1，
当x0，则g(x)单调递增，
所以当x＝3时，函数g(x)有最小值g(3)＝0，
故g(x)≥0，即f(x)≥x−2；
因为a>1，x>lna，即x>0，
不等式对x>0恒成立，即ln(x−lna)+x−lna0恒成立，
令h(x)＝lnx+x，则不等式等价于h(x−lna)0恒成立，
因为x>0时，h′(x)＝恒成立，
所以h(x)在(0, +∞)上单调递增，
所以x−lna0恒成立，即lna>x−ex−3对x>0恒成立，
由（1）可知，x−ex−3≤2，
所以lna>2，解得a>e2，
所以实数a的取值范围为(e2, +∞)．
请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
法一：
联立，
解得，
所以点P的极坐标为，
所以点P的直角坐标为，即．
法二：
直线l1的直角坐标方程为①，
直线l2的直角坐标方程为②，
联立①②解方程组得，
所以点P的直角坐标为．
直线l2的直角坐标方程为，倾斜角为120∘，
所以直线l2的参数方程为（t为参数）①，
圆C的普通方程为x2+y2②
将①代入②得．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
圆的极坐标方程
【解析】
（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】
法一：
联立，
解得，
所以点P的极坐标为，
所以点P的直角坐标为，即．
法二：
直线l1的直角坐标方程为①，
直线l2的直角坐标方程为②，
联立①②解方程组得，
所以点P的直角坐标为．
直线l2的直角坐标方程为，倾斜角为120∘，
所以直线l2的参数方程为（t为参数）①，
圆C的普通方程为x2+y2②
将①代入②得．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则．
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
当a＝1时，f(x)＝|x+1|+|x−1|．
当x≤−1时，f(x)＝−x−1−x+1＝−2x≥4，解得x≤−2；
当−1