2021届黑龙江省大庆市高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）及答案

这是一份2021届黑龙江省大庆市高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数第一次教学质量检测试卷〔一模〕
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 或



2. 是虚数单位，复数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 



3.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是〔    〕
A. -10                                        B. -5                                        C. 10                                        D. 20



4. ， ，且 ，那么 与 的夹角为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 



5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 分钟后物体的温度 可由公式 求得. 把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 分钟后，物体的温度是 ，那么 约为〔    〕〔 〕
A. 1.69                                     B. 2.89                                     C. 4.58                                     D. 6.61



6. 的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ，那么 〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 



7.设 是定义域为 的偶函数，假设 ，都有 ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A. 
B. 


C. 
D. 



8.常用的A4打印纸的长宽比例是 ，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例〞．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，假设两观景台之间高度差为60米，那么以下选项中与该塔的实际高度最接近的是〔    〕
A. 285米                                 B. 268米                                 C. 2558米                                 D. 248米



9.四棱锥 ，底面 为矩形，点 在平面 上的射影为 的中点 .假设 ， ， ，那么四棱锥 的外表积等于〔    〕

A.                     B. 

                    C.                     D. 



10.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线 ，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，假设抛物线过点 ，平行于对称轴的光线经过点 反射后，反射光线交抛物线于点 ，那么线段 的中点到准线的距离为〔    〕

A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 



11. ，函数 在 上单调递增，那么 的取值范围是〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 



12.函数 ，那么函数 零点的个数是〔    〕
A. 6                                           B. 5                                           C. 4                                           D. 3



二、填空题
13.为了研究某班学生的脚长 (单位：厘米)和身高 (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．这组数据的样本中心点为〔22.5，160〕，假设该班某学生的脚长为25厘米，据此估计其身高为________厘米．
14.假设双曲线 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 ，那么双曲线的离心率为________．
15.用总长 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，那么该容器容积的最大值为________m3〔不计损耗〕．
16.如图，正方体 ，点 分别是 的中点， 与平面 ________〔填“平行〞或“不平行〞〕；在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线有________条．

三、解答题
17.等差数列 的前 项和为 ．
〔1〕请从下面的三个条件中选择两个作为条件，求数列 的通项公式；
① ；② ；③ ；
注：如果采用多种条件组合作答，那么按第一个解答计分.
〔2〕在〔1〕的条件下，令 ，求数列 的前 项和 ．
18.2021年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约荣耀的气氛．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
〔1〕第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
〔2〕现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生 人，求随机变量 的分布列；
〔3〕食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量〔单位：公斤〕，以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后10天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果〔选择一种方法进行说明即可〕．
19.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 分别为 的中点， ， ．

〔1〕求证： ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20.焦点在 轴上的椭圆 ： ，短轴长为 ，椭圆左顶点到左焦点的距离为 ．

〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕如图，点 ，点 是椭圆的右顶点，直线 与椭圆 交于不同的两点 ， 两点都在 轴上方，且 ．证明直线 过定点，并求出该定点坐标．
21.函数 ．
〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ， 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 与直线 交于点 ．
〔1〕求点 的直角坐标；
〔2〕假设直线 与圆 ： 〔 为参数〕交于 两点，求 的值．
23.函数 = ．
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕证明： 2．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 或 ，
。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合N，再利用交集的运算法那么，进而求出集合M和集合N的交集。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么求出复数z,再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数z的共轭复数。
3.【解析】【解答】解：二项式 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，所以 ，故含x的项的系数是-10。
故答案为：A

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中含 的项的系数 。
4.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
，而向量的夹角在 上，所以 。
故答案为：C．

【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的运算法那么结合数量积的定义，进而求出两向量夹角的余弦值，再利用向量夹角的取值范围，进而求出两向量的夹角。
5.【解析】【解答】由题意 ， ， ， ，
故答案为：B．

【分析】利用实际问题的条件结合公式 ， 再利用代入法和指数与对数的互化公式，进而求出t约为的值。
6.【解析】【解答】在 中， ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又由 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合正弦定理，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角，进而结合同角三角函数根本关系式，从而求出角A的余弦值，再利用两角和的正弦公式，进而求出的值。
7.【解析】【解答】假设 ，都有 ，那么 在 单调递增，
是偶函数，那么 ，
，所以 ，所以 ，
即 。
故答案为：D．

【分析】利用条件结合增函数的定义，进而推出函数 在 单调递增，再利用偶函数的定义结合增函数的性质，进而结合对数函数的单调性，从而比较出 ， ， 三者的大小 。
8.【解析】【解答】由题意可知：白银比例为 ；
设塔底为点 ，第一观景台为点 ，第二观景台为点 ，塔顶为点 ，
， ，
， 〔米〕，
〔米〕，
选项中与塔的实际高度最接近的是248米。
故答案为：D.

【分析】利用条件结合白银比例的定义，进而求出与该塔的实际高度最接近的选项。
9.【解析】【解答】连接 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，

同理 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，同理 ，
因此 ， ， ，同理 ， ，
，同理 ，
是等腰三角形，所以底边上的高为 ，
，
所以所求外表积为 。
故答案为：A．

【分析】连接 ， 再利用平面 结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，又因为 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，同理 ，再利用三角形面积公式和矩形的面积公式，进而得出，同理 ， ，再利用勾股定理结合等腰三角形的性质，进而求出底边上的高，再利用四棱锥的外表积公式，进而求出四棱锥 的外表积。
10.【解析】【解答】设抛物线方程为： ，将点 代入可得 ，解得： ，
所以抛物线方程为： ，焦点为 ， ，
由题意可得：直线 的方程为： ，即 ，
由 可得： ，解得： 或 ，
所以 ， ，可得 的中点为 ，
所以线段 的中点到准线的距离为 。
故答案为：C

【分析】设抛物线方程为： ，再利用条件结合代入法，从而求出p的值，进而求出抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程，再利用点斜式求出直线AB的方程，再结合直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式，进而求出线段AB的中点坐标，再利用点到直线的距离公式，进而求出线段 的中点到准线的距离。
11.【解析】【解答】由 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 ， ，解得 ，
由 得 ，又因为 ，因此 ，
所以 。
故答案为：C．

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在给定区间的单调性，再结合条件 ，函数 在 上单调递增， 从而求出 的取值范围 。
12.【解析】【解答】 ， ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
且当 时， ，
令 得： 或 ，
所以 有两个解， 有三个解，
所以函数 零点的个数是5个。
故答案为：B.

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法，从而解一元二次方程求出或 ，所以 有两个解， 有三个解，所以函数 零点的个数是5个。
二、填空题
13.【解析】【解答】根据题意，计算 ， ， ；
∴ ，
∴ ，
当 时，计算 ，
据此估计其身高为170〔厘米〕。
故答案为：170。

【分析】利用条件结合最小二乘法求出线性回归方程，再利用线性回归方程结合代入法，进而估计出某学生身高。
14.【解析】【解答】右顶点为 ，一条渐近线方程为 ，即 ，
由题意 ，即 ，所以 。
故答案为：2。

【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出右顶点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
15.【解析】【解答】设长方体的底面边长为 ，高为 ，
那么由题可得 ， ，那么可得 ，那么 ，
那么该容器容积 ，
，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
当 时， ，即该容器容积的最大值为 。
故答案为： 。

【分析】利用条件结合长方体的体积公式，进而推出，， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而求出该容器容积的最大值。
16.【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，

令正方体的棱长为2，那么 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ，设平面 的法向量为 ，所以 ，令 ，那么 ， ，所以 ， ，所以 ，所以直线 与平面 不平行，
因为 ，所以 ，所以直线  与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，
故与平面 平行的面对角线有6条。
故答案为：不平行，6。

【分析】利用条件建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线 与平面 不平行；再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合线面平行的判定定理，进而推出直线  与平面 平行，因为 ，所以 与平面 平行，同理可得 ， ， ， 与平面 平行， ， ， ， ， ， 与平面 不平行，故与平面 平行的面对角线有6条，从而求出在正方体的12条面对角线中，与平面 平行的面对角线的条数。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1) 从三个条件中选择两个作为条件，再结合等差数列的通项公式结合等差数列前n项和公式，再解方程组求出等差数列的首项和公差，进而结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
〔2〕 在〔1〕的条件下得出的数列 的通项公式，再令 ， 进而求出数列 的通项公式，再结合等比数列的定义推出数列 是以 为首项，8为公比的等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合分层抽样的方法，进而求出第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取的人数。
〔2〕利用从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生 人，进而结合条件求出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列。
〔3〕利用两种方法解答。方法一：利用条件结合平均数公式，再结合比较法推出宣传节约粮食活动的效果很好。方法二：利用条件结合茎叶图，再利用茎叶图得出前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好。
19.【解析】【分析】〔1〕 因为 、 分别为 、 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，即，因为 平面 ，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即，因为 为矩形， ， ，再利用勾股定理，所以 ， 在三角形中结合勾股定理，进而证出线线垂直， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即证出 。
〔2〕 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立如下列图的空间直角坐标系 ， 进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
20.【解析】【分析】〔1〕利用焦点在 轴上的椭圆 ： ，短轴长为 ，进而求出b的值，再利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出左顶点的坐标和左焦点的坐标，再利用椭圆左顶点到左焦点的距离为 结合两点距离公式，进而求出a,c的关系式，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，进而解方程组求出a,b,c的值，从而求出椭圆的标准方程。
〔2〕利用分类讨论的方法结合条件，得出当直线 斜率不存在时，直线 与椭圆 交于不同的两点分布在 轴两侧，不合题意，所以直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，再利用 直线 与椭圆 交于不同的两点 ， 两点都在 轴上方， 联立二者方程结合韦达定理得出， ，因为 ， 所以 ， 再利用两点求斜率公式得出，再结合代入法结合转化的方法，将直线的斜截式方程转化为点斜式方程，进而证出直线 过定点，并求出该定点坐标。
21.【解析】【分析】〔1〕 令 ，再利用求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而求出函数g(x)的最小值，所以 ，即证出不等式 成立。
(2)当 ， 时， 恒成立， 再利用对数的运算法那么得出 ，所以 ，所以 ，令 ，那么 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性结合不等式恒成立问题求解方法，得出即恒成立，由〔1〕知 ，所以 ，再利用对数函数的单调性结合与特殊值对应的对数大小关系比较，进而求出实数a的取值范围。
22.【解析】【分析】(1)利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而求出直线 的直角坐标方程和直线 的直角坐标方程，再联立两直线方程求交点的方法，进而求出交点 的直角坐标。
〔2〕利用条件结合参数方程与直角坐标方程的转化方法，进而求出圆C的直角坐标方程，再利用直线与圆相交，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式，进而求出 的值 。
23.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式，再利用零点分段法，进而求出不等式 的解集。
〔2〕利用条件结合绝对值三角不等式和均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 2成立。