2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）（含答案解析）

2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

4. 若，则

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图像大致为

A.  B.  C.  D.

6. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，，则

A.  B.  C.  D.

8. 中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学．某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有

A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种

9. 已知，且，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像．若，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

12. 抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点不同于点，且满足，则点N的坐标为

A.  B.  C.  D.

13. 已知，是双曲线的左、右焦点，A是其左顶点．若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为______.
14. 在平行四边形ABCD中，，，现将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，当异面直线AD和BC所成的角为时，AC的长为______.
15. 如图，的内角A，B，C的对边分别是a，b，已知，则______.若线段AC的垂直平分线交AB于点E，且，则的面积为______.
16. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围是______.
17. 已知数列的前n项和是，且，数列的通项为
    求的通项公式；
    求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，正三棱柱的底面边长为2，
    求的长；
    求二面角的正弦值．
    
    
    
     

19. 一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同．从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分．
    若，，，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；
    从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，，求x：y：
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，，B分别是椭圆C：的左顶点和上顶点，圆O经过点B，P为椭圆C上一点，过A且与AP垂直的直线交圆O于两点C，若点在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．
    求椭圆C的标准方程；
    求面积的最大值．

21. 已知函数
    求的单调区间；
    已知a，，且，若，求证：
    
    
    
    
    
    
     
22. 以直角坐标系xOy的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线
    求的直角坐标方程；
    设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     

已知函数，，若实数a，b满足
求不等式的解集；
证明：对于任意，都有







答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：集合或
，
则，
故选：
先根据对数的运算性质求出集合A，再根据函数的值域求出集合B，根据交集的运算即可求出．
本题考查了函数的定义域和值域的解法，交集的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，
，
，
，
对应的点在第一象限．
故选：
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算对z化简，再结合共轭复数的定义和复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：根据题意，，不等式的解集为；
且，解可得，不等式的解集为；
若成立的一个充分不必要条件是，则；
则有，解可得，即a的取值范围为；
故选：
根据题意，求出两个不等式的解集，由充分必要的定义可得由此可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查不等式的解法，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：因为，
则，
故选：
利用切化弦以及正余弦的同角关系化简即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：函数即，
定义域为，关于原点对称，
，
可得为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除D；
当时，，，可得，故排除A、
故选：
首先判断函数的奇偶性，当时，判断函数值的符号，由排除法可得结论．
本题考查函数的图像的判断，注意运用函数的奇偶性，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方，
相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1，
大小五角星的面积之比为9：1，
设大五角星的面积为9a，则小五角星的面积为a，
则五星图案的面积之和为，
则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为，
故选：
根据几何概型的概率公式进行计算即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本定理，平面向量线性运算，属于中档题．
由已知可得，，，再列出方程组求解即可．

【解答】

解：在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，
，，，
，
，
，
故选：

8.【答案】B
 

【解析】解：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，
“数”有3种选择，“射、御“看成一个整体，排到下午，有2种选择，再排序有2种排法，
其余3艺全排列即可，
故“六艺”课程讲座不同排课顺序共有：种，
故选：
先排“数“，再排”射、御”，进而求解结论．
本题考查排列、组合的应用，注意“数”的排列，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，且，
，，，
，故A错误，
令，，则，故B错误，
令，，
则，
故在递增，故，
故，故，
故，故C错误，
，
，故D正确，
故选：
根据对数的运算性质判断A，根据特殊值法判断B，根据函数的单调性以及对数函数的性质判断C，根据基本不等式的性质判断
本题考查了不等式以及基本不等式的性质，考查对数函数的性质以及函数的单调性问题，是基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，
在上单调递增，
，
，
，
，
即
故选：
由的奇偶性及在上单调性可判断在上单调递增，只需比较三个自变量的值的大小即可．
本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：，
，
的周期为，且，，
，
或，
所以，，所以，
故选：
由题意求出函数的周期，的最小值为1个周期，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，属于中档题．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：直线过点且斜率不为0，
设该直线方程为，
当时，联立，化简整理可得，，，
恒成立，
设，，，
则，，
，
，即，即，
故，则，
即，
，即，
当时，A，B两点关于x轴对称，显然恒成立，
综上所述，
故选：
设该直线方程为，当时，联立，化简整理可得，，，再结合韦达定理以及斜率公式，求解．
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 

13.【答案】3
 

【解析】解：令，又，，，则，
，故，

故答案为：
令，应用向量共线关系的坐标表示可得，即可求离心率．
本题考查双曲线的性质，以及向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】2或
 

【解析】解：在平行四边形ABCD中，，，
，，

由平行四边形的性质及勾股定理得，都是等腰直角三角形，

将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，当异面直线AD和BC所成角为，
如上图所示，作，，且DE、CE交于点E，
由题意四边形BCED是正方形，
或，
，则，或，
，，，，
，平面ADE，，
在中，当时，，
当时，
故答案为：2或
由余弦定理求出BD的长，结合勾股定理得到，都是等腰直角三角形，根据题设条件翻折后作，，且，得到的大小，由此能求出AC的长．
本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

15.【答案】 
 

【解析】解：由余弦定理知：，而，
所以，
又，
则，
在中，设，则，可得，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则，
所以，可得，
而，故，
所以，，
故的面积为
故答案为：，
由已知利用余弦定理可求，结合范围，可求B的值，在中，设，利用正弦定理可得，由题意可求，可得，可得，结合，可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，，且，
当时，的最小值为0，不可能是，此时不成立，
故，此时当时，的最小值是，
当时，，
则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，则当时，取得极小值，
要使的最小值为，则，即，得，此时，
综上实数a的取值范围是，
故答案为：
讨论a的取值范围，分别求出当和当时，对应函数的最小值，然后进行比较建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式，分别求出对应范围上的最小值，然后进行比较是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以当时，，
两式相减得，，即，
在中，令，则，满足上式，
所以的通项公式为
，
所以…，
…，
两式相减得，…
，
所以
 

【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由，即可得解，注意检验是否满足；
利用错位相减法，即可得解．
 

18.【答案】解：取AC中点D，连接交于O，连接，OD，DB，如下图所示，

为的中点，则，又，
，又，故，
由三棱柱为正三棱柱，即底面为等边三角形且边长为2，
，，则在直角中，
以D为坐标原点，DB，DC为x，y轴，过D作直线垂直于面ADC为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，，
二面角的正弦值为
 

【解析】取AC中点D，连接交于O，连接，OD，DB，易证，由中垂直线的性质可得，结合直三棱柱的性质计算的长；
构建空间直角坐标系，求面，面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而可求二面角的正弦值．.
本题考查平面与平面所成角的求法，考查空间向量的数量积的应用，考查计算能力，属中档题．
 

19.【答案】解：由题意，抽取2 个小球可能为红，红，绿，绿\，蓝，蓝，红，绿，红，蓝，绿，蓝，则X可能为2，3，4，5，6，
又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别，
，
，
，
，
，
X的分布列为：

由题意Y可能的取值为3，2，1，
，
，
，
，①
，
化简得，②
由得，
化简得，③
代入①得，
再代入③得，
故x：y：：2：
 

【解析】根据题设确定随机有放回的抽取2 个小球的所有可能事件，进而确定 X 可能值，进而求各对应值的概率．
根据期望公式、方差与期望的关系，结合已知列关于 x，y，z 的方程，即可求比例．
本题考查离散型随机变量的分布列，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知，，所以，所以，
由，
所以椭圆C的标准方程：；
设直线AP的方程：，直线AC的方程：，
联立方程组，消去x，整理得，
解得，，
又O到直线AC的距离距离，则且，于是，
又，
从而，，
当且仅当，即，满足，且，
综上可知，的面积的最大值为
 

【解析】根据题意，将点A和点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
设直线AP和AC的方程，将AP方程代入椭圆方程，求得P点坐标，求得及，即可表示出面积，利用基本不等式，即可求得面积的最大值．
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解：函数，，
令，则，
在R上单调递增，
，当时，，此时，，单调递减，
当时，，此时，单调递增，
在单调递减，在单调递增．
证明：等价于，
等式两边同除以，得：
，即，
由知在单调递减，在单调递增，
，b一正一负，不妨设，构造新函数，则，
，
令，则，
当时，，，
对恒成立，
在时，，单调递减，
，
，，，
，，
其中，，且在单调递减，
，
 

【解析】对求导，利用导数性质讨论函数的单调区间；
先对同除以，变形为，再构造函数，能证明
本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、不等式的恒等变换、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，
所以的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程；
设点B的极坐标为，
所以，
所以
当时取得最大值．
 

【解析】直角利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：，，
，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
综上所述，的解集为或
证明：，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，，则，
，
，即，当且仅当时，等号成立，
，
故对于任意，都有，即得证．
 

【解析】由题意可得，，再分，，三种情况讨论，即可求解．
先求出的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．