2021-2022学年浙教版九年级数学上册期末综合复习压轴题专题训练（含答案）

这是一份2021-2022学年浙教版九年级数学上册期末综合复习压轴题专题训练（含答案），共60页。
2021-2022学年浙教版九年级数学第一学期期末综合复习压轴题专题训练（附答案）
1．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（　　）

A．或 B．或 C．或 D．或
2．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连接BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）

A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
3．已知二次函数y＝﹣x2﹣bx+1（﹣5＜b＜2），则函数图象随着b的逐渐增大而（　　）
A．先往右上方移动，再往右平移 B．先往左下方移动，再往左平移
C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往左下方移动，再往左上方移动
4．如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（　　）

A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π
7．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB＝1，则阴影部分图形的周长是（　　）

A．π+1 B．π C．π+1 D．π
8．如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45°角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上．NE∥AD，分别交DC，HG，AB于点N，M，E，且CG＝MN．要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度．这条线段可以是（　　）

A．EH B．AE C．EB D．DH
10．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）

A．2 B．3 C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+m不经过第四象限，且与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为OA的中点，点C在线段OB上，其坐标为（0，2），连接BP，CP，若∠BPC＝∠BAO，那么m的值为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
12．如图，点B、E、C在一直线上，△BEA，△CED在直线BC同侧，BE＝BA＝4，CE＝CD＝6，∠B＝∠C＝α，当tan＝时，△ADE外接圆的半径为　 　．

13．如图抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC＝90°，则AE的最小值为　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的值为　 　．

15．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为　 　．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连接PA，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且PA＝1，则PB的长是　 　．


17．如图，⊙O的直径AB长为12，点E是半径OA的中点，过点E作CD⊥AB交⊙O于点C，D，点P在上运动，点Q在线段CP上，且PQ＝2CQ，则EQ的最大值是　 　．

18．如图，PA与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，在⊙O上存在一点C满足PA＝PC，连接PB、AC相交于点F，且∠APB＝3∠BPC，则＝　 　．

19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，DE⊥AC于E交AB于F，若BC＝2CD，AE＝2，则线段BF＝　 　．

20．如图，已知等边△ABC的边长为4，BD⊥AB，且BD＝．连接AB，CD并延长交于点E，则线段BE的长度为　 　．



21．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线Tn的函数表达式为　 　．

22．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于半径为1的⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则GH的长为　 　．

23．如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放　 　个．

24．若过三角形一边中点画一直线与另一边相交（交点不为中点），截原三角形所得三角形与原三角形相似，则称中点与交点确定的线段为这条相交边的“中似线段”，把中似线段的两端点与相交边的中点构成的三角形称为“中似三角形”．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝6，D为AB中点，DF为AC边的中似线段，△DEF为中似三角形”，直接写出DF＝　 　，△DEF的周长＝　 　．
（2）如图2，在△ABC中，D为AB中点，AC边的中似线段DF恰好经过点C，△DEC为中似三角形．
①当AB＝8时，求AC的长；
②求的值．
（3）如图3，在△ACB中，∠C＝Rt∠，BC＝4a，D为AB中点，DF为AC边上的中似线段，中似△DEF的外接圆⊙O与BC边相切，求⊙O的半径（用含a的代数式表示）．



25．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为OQ的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧AB上的一个动点．
（1）直接写出点P，A，B的坐标：P　 　；A　 　；B　 　；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）将抛物线y＝﹣x2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若BC经过点D时，求线段AC，PC的长；
（4）若BC的中点为E，AE交翻折后的抛物线于点F，直接写出AE的最大值和此时点F的坐标．



26．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为﹣3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．
（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；
（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．

27．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；
（3）若CF的长为
①求⊙O的半径长；
②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．



28．问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有，
又∵∠PCD＝∠　 　，
△　 　∽△　 　，
∴，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD，
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 　 　．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 　 　．（请在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．



29．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．

（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．
（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连接CH并延长交⊙O于点D．
①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．
②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．
30．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（8，0）和B（0，6），点P为x轴负半轴上的一个动点，画△ABP的外接圆，圆心为M，连接BM并延长交圆于点C，连接CP．
（1）求证：∠OBP＝∠ABC．
（2）当⊙M的直径为14时，求点P的坐标．
（3）如图2，连接OC，求OC的最小值和OC达到最小值时△ABP的外接圆圆心M的坐标．


31．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连接AC
（1）求证：AB＝AP；
（2）若AB＝10，DP＝2，
①求线段CP的长；
②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积．

32．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　度；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连接AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．


33．如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．



34．等腰△ABC中，AB＝AC，作△ABC的外接圆⊙O．
（1）如图1，点D为上一点（不与A，B重合），连接AD，CD，AO，记CD与AB的交点为E．
①设∠BAD＝x，∠OAC＝y，若∠ABC+∠DCB＝n，请用含n与x的式子表示y；
②当AB⊥CD时，若AO＝3，AC＝4，求AD的长；
（2）如图2，点P为上一点（不与B，C重合），当BC＝AB，AP＝8时，设S＝S△BPC+S△ABP，BP为何值时，S有最大值？并请直接写出此时⊙O的半径．



35．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．
（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B＝（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是对半四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝3，CE＝3EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．

36．如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M的半径为5，圆心M的坐标为（3，0），⊙M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是上的一点（不与点A、D、B重合），连接AC并延长，连接BC，CD，AD．
（1）求点A的坐标；
（2）当点C在上时．
①求证：∠BCD＝∠HCD；
②如图2，在CB上取一点G，使CA＝CG，连接AG．
求证：△ABG∽△ADC；
（3）如图3，当点C在上运动的过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由．

37．定义：连接菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．
（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？
①正方形是自相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．
③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．
（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．
①求AE，DE的长；
②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．


38．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连接BD并延长交⊙O于E，连接AE，OE交AC于F．
（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）如图1，已知⊙O的半径为．
①求的长；
②若D为EB中点，求BC的长．
（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．



39．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似．我们就把这条对角线称为相似对角线．

（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，点F，H分别在边AB和CD上．且AF＝DH＝1，线段CE与FH交于点G，求证：EF为四边形AFGE的相似对角线；
（2）在四边形ABCD中，BD是四边形ABCD的相似对角线，∠A＝∠CBD＝120°，AB＝2，BD＝，求CD的长．
（3）如图2，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点E是AB的中点，点F是射线AD上的动点，若EF是四边形AECF的相似对角线，请直接写出线段AF的长度（写出3个即可）．
40．（1）如图1，△ABC的内切圆与边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，若∠ACB＝90°，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积S；
（2）观察（1）中所得结论中S与AD、BD之间的数量关系，猜测：若（1）中AD＝m，BD＝n，其余条件不变，则△ABC的面积为多少？并证明你的结论；
（3）如图2，锐角△ABC的内切圆与边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，若∠ACB＝60°，AD＝m，BD＝n，求△ABC的面积（结果用含m、n的式子表示）．


参考答案
1．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），
∴D′（3，4a），C（5，0），
∵△CDD′是直角三角形，
∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，
当∠D′CD＝90°时，CB＝DD′，
∴5﹣1＝，
解得，a1＝，a2＝﹣（舍去），
由上可得，a的值是或，
故选：A．
2．解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，
则BJ＝x，JC＝a，
∵JI∥CD
∴＝即JI＝
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝
∴S阴影＝BJ•JI＝x•＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG＝xb﹣ay＝x•﹣ay＝xy．
∴S阴影△BIJ＝（S矩形ABJH﹣S矩形HDEG）．
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
3．解：二次函数y＝﹣x2﹣bx+1（﹣5＜b＜2），
当b＝﹣5时，
y＝﹣x2+5x+1＝﹣（x﹣）2+
顶点坐标为（，）；
当b＝0时，
y＝﹣x2+1
顶点坐标为（0，1）；
当b＝2时，
y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2
顶点坐标为（﹣1，2）．
故函数图象随着b的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．
故选：D．
4．解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则AG＝b，BG＝b+a，BE＝2b﹣a，CE＝2b，
∴AB＝2b+a，BC＝2b+2b﹣a＝4b﹣a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴＝，即＝，
∴b＝a，
∴BG＝b+a＝a，AD＝4b﹣a＝5a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：C．
5．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，
作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴四边形ABOC为正方形，
∴OA＝BC＝2，
∴OB＝BC＝，
∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），
∴AP的最小值为2﹣．
故选：C．

6．解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．

∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，
当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°，
∴∠BOG＝120°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
7．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，
∴的长＝的长＝＝π，
∴阴影部分图形的周长＝的长+的长+BC＝π+1．
故选：A．
8．解：由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大，
∵孔洞的最长边为2cm，
∴三角尺穿过孔洞部分的最大面积＝×22＝（cm2）；
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，CD∥AB，
∵NE∥AD，
∴NE＝AD＝BC，
∵CG＝MN，
∴DG＝EM，
连接EG，FM，过M作MP⊥BC于P，

∵四边形EFGH是平行四边形，
∴GH＝EF，GH∥EF，
∴∠EGH＝∠FEG，
∵DC∥AB，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴∠DGH＝∠BEF，
在△GDH和△EBF中，
∵，
∴△GDH≌△EBF（AAS），
∴DG＝BE，
∴EM＝BE，
∴四边形MEBP是正方形，
∴S△EFM＝S▱GHEF＝S正方形MEBP，
∴S▱GHEF＝S正方形MEBP，
∴求得平行四边形HEFG的面积，只需知道BE即可；
故选：C．
10．解：∵MN＝MP，
∴∠MNP＝∠MPN，
∴∠CPN＝∠ONM，
由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，
∴∠CPN＝∠CNM，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPN∽△CNM，
＝，即CN2＝CP×CM，
∴62＝CP×（CP+5），
解得CP＝4，
又∵＝，
∴＝，
∴PN＝，故选：D．

11．解：作AH⊥BP于H，如图，
当y＝0时，x+m＝0，解得x＝﹣2m，则A（﹣2m，0）；
当x＝0时，y＝x+m＝m，则B（0，m），
∵点P为OA的中点，
∴OP＝AP＝m，
∴OP＝OB，
∴△OPB为等腰直角三角形，
∴∠OPB＝45°，PB＝m，
∵∠APH＝∠OPB＝45°，
∴△APH为等腰直角三角形，
∴AH＝PH＝m，
∵∠1＝∠2，
而∠1+∠3＝∠2+∠4，
∴∠3＝∠4，
∴Rt△ABH∽Rt△CPO，
∴＝，即＝，
∴m＝6．
故选：D．

12．解：如图，过点B作BH⊥AB于H，过点C作CO⊥DE交BH的延长线于O，过点O作OT⊥BC于T．

∵BA＝BE，BH⊥AE，
∴BH垂直平分线段AE，
∵CD＝CE，CO⊥DE，
∴CO垂直平分线段DE，
∴点O是△ADE的外心，
∵∠OBC＝∠ABE＝α，∠OCB＝∠DCE＝α，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵OT⊥BC，
∴BT＝CT＝5，
∵tanα＝＝，
∴OT＝，
∵ET＝BT﹣BE＝1，
∴OE＝＝＝，
∴△ADE的外接圆的半径为．
故答案为．
13．解：抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），
函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，4），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝2x+6，设点D（m，2m+6）；
过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点与y轴的平行线于点M，

设点E（a，b），则ME＝a﹣m，DM＝2m+6﹣b，CN＝3﹣b，EN＝﹣a，
∵∠DEM+∠EDM＝90°，∠DEM+∠CEN＝90°，
∴∠EDM＝∠CEN，
∵ED＝ED，∠EMD＝∠CNE＝90°，
∴△EMD≌△CNE（AAS），
∴CN＝ME，DM＝EN，
即3﹣b＝a﹣m，﹣a＝2m+6﹣b，
解得：a＝﹣（3+m），b＝，故点E（﹣，），
则AE2＝（﹣3+）2+（）2＝m2+12m+，
当m＝﹣2.4时，AE2取得最小值8.1，
故AE的最小值为，
故答案为：．
14．解：∵顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，
∴y＝1或y＝2或y＝5或y＝6，
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点只能为（3，1）或（2，2）或（4，6）或（5，5）
当顶点坐标为（3，1）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，把A（2，2）代入得a（2﹣3）2+1＝2，解得a＝1；
当顶点坐标为（2，2）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，把B（5，5）代入得a（5﹣2）2+2＝5，解得a＝；
当顶点坐标为（4，6）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，把B（5，5）代入得a（5﹣4）2+6＝5，解得a＝﹣1；
当顶点坐标为（5，5）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把A（2，2）代入得a（2﹣5）2+5＝2，解得a＝﹣；
综上所述，a的值为±1，±．
故答案为±1，±．
15．解：连接OB，OA，过O作OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝，
∵OA＝OB＝2，
∴OD＝1，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠P＝∠AOB＝60°，
连接IA，IB，
∵点I为△PAB的内心，
∴∠IAB＝∠PAB，∠IBA＝∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA＝120°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝120°，
∵点P为弧AB上动点，
∴∠P始终等于60°，
∴点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为120°的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为O′，
连接O′A，O′B，
则∠AO′B＝120°，
∵O′A＝O′B，
∴∠O′AB＝′O′BA＝30°，
连接O′D，
∵AD＝BD，
∴O′D⊥AB，
∴AO′＝＝＝2，
∴点I移动的路径长＝＝π．
故答案为：π．
16．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠PBC＝∠ACP，
∴△APC∽△CPB，
∴＝＝，
在等腰△ABC中，＝，
∵AP＝1，
∴PC＝，
∴PB＝3，
故答案为3．
17．解：延长CD到F，使得DF＝DE，连接OF，PF，OP，OD．

∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∵DE＝DF，
∴EF＝2CE，
∵PQ＝2CQ，
∴＝＝，
∵∠ECQ＝∠FCP，
∴△ECQ∽△FCP，
∴＝＝，
∴EQ＝PF，
∵AE＝OE＝3，OD＝6，∠OED＝90°，
∴DE＝＝＝3，
在Rt△OED中，∵EF＝2DE＝6，OE＝3，
∴OF＝＝＝3，
∵PF≤OP+OF，
∴PF≤6+3，
∴PF的最大值为3+6，
∴EQ的最大值为+2．
故答案为：+2．
18．解：连接OP，OC．

∵PA与⊙O相切于点A，PA＝PC，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴PC与⊙O相切于点C，
∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，
∴∠CPB＝∠OPB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵OP⊥AC，
∴OP∥BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∴BC＝PC＝AP．
∵OA＝OB，
∴OM＝．
设OM＝x，则BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y，
∵∠OAP＝∠AMP＝90°，∠MPA＝∠APO，
∴△AMP∽△OAP，
∴．
∴AP2＝PM•OP，
∴（2x）2＝y（y+x），
解得：x＝，（舍去）．
∵PM∥BC，
∴△PMF∽△BCF，
∴＝．
故答案为：．
19．解：如图，

连接BD，延长BA、CD交于点G，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CBD＝∠CAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°＝∠BCD，
∴△AED∽△BCD，
∴AE：DE＝BC：CD＝2：1，
∴DE＝AE＝1，
∴AD＝＝，
∵∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝2CD，
∴BC＝2CD＝2DG，
∴CD＝DG，
∵∠G＝45°，∠GAD＝90°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝AD＝，DG＝，
∴CD＝，BC＝2，BG＝BC＝4，
∵∠ADE＝∠FDA，∠FAD＝∠AED＝90°，
∴△AED∽△FAD，
∴AF：AD＝AE：DE＝2：1，
∴AF＝2AD＝2，
∴BF＝BG﹣AF﹣AG＝．
故答案为：．
20．解：如图，作CT⊥AB于T．

∵△ABC是等边三角形，CT⊥AB，
∴∠CBT＝60°，BT＝AT＝2，
∴CT＝BC•sin60°＝2，
∵DB⊥AB，
∴DB∥CT，
∴△EBD∽△ETC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1，
故答案为1．
21．解：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∵顶点都在直线y＝x上，设，
∴OC1＝m，，
∴，
∴∠B1OC1＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2＝A2B1，
∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，
，
∴OC1＝OA1+A1C1＝3，
∴，A2（4，0），
设T1的解析式为：，
则，
∴，
∴T1：，
同理，T2的解析式为：，
T3的解析式为：，
…
则Tn的解析式为：，
故答案为：．
22．解：连接AC、BD、OF，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝×60°＝30°，
由圆周角定理得，∠COF＝60°，
∴OP＝OF＝，
∴OP＝PC，
∵BD∥EF，
∴＝，
∴GH＝BD＝1，
故答案为：1．

23．解：由勾股定理得：AB＝＝13．
由三角形的面积计算公式可知：△ABC的高＝＝．
如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF
∴＝＝
∴EF＝＝10
∴第一层可放置10个小正方形纸片．
同法可得总共能放4层，依次可放置10、7、4、1个小正方形纸片，
∴最多能叠放10+7+4+1＝22（个）
故答案为：22个．

24．解：（1）∵DF为AC边的中似线段，
∴△ADF∽△ACB，
∴＝，
∵D为AB的中点，AB＝8，
∴AD＝4，
∴＝，
∴DF＝，AF＝，
∵△DEF为“中似三角形”，
∴AE＝，
∴△DEF的周长为DE+DF+EF＝3+＝．
故答案为：，；
（2）①∵点D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∵△ACD∽△ABC，
∴，
∴，
∴AC＝4；
②∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠ABC，
由题意得DE为中位线，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴△EDC∽△DCB，
∴，
∴CD2＝DE•BC＝DE•2DE＝2DE2，
∴CD＝DE，
∴；
（3）过点O作BC，AC的垂线OM，ON，垂直为点M，N，

∵DF为AC边上的中似线段，
∴∠DEF＝∠ACB＝90°，∠DFE＝∠B，
∴∠FDA＝90°，
∴AD⊥DF，
∵△DEF为中似三角形，
∴E是AC的中点，
又D是AB的中点，BC＝4a，
∴DE＝BC＝2a，
∵ON⊥AC，
∴∠ONF＝∠DEF＝90°，
∴△ONF∽△DEF，
∴，即ON＝a，
∵OM⊥BC，ON⊥AC，AC⊥BC，
∴四边形ONCM为矩形，
∴ON＝CM＝a，
∴BM＝4a﹣a＝3a，
∵在⊙O中，OM⊥BC，OD⊥AB，
∴BM＝BD＝3a，
∴AB＝2BD＝6a，
∵在Rt△ABC中，AB＝6a，BC＝4a，
∴AC＝＝2a，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DFE＝∠B，
又∵∠DEF＝∠ACB＝90°，
∴△EFD∽△CBA，
∴，
∴，
∴r＝a．
25．解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+4，令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝±4，
∴Q（0，4），A（﹣4，0），B（4，0），
∴OP＝PQ，
∴P（0，2），
故答案为（0，2），（﹣4，0），（4，0）．

（2）如图1中，连接MA，MB，设⊙M的半径为r．

在Rt△OMB中，BM＝r，OB＝4，OM＝r﹣2
由勾股定理得到，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，
∵MA＝BM，MO⊥AB，
∴∠AMO＝∠BMO＝∠AMB，
∵∠ACB＝∠AMB，
∴∠ACB＝∠OMB，
∵tan∠OMB＝＝，
∴tan∠ACB＝．
（3）如图2中，连接AD，过点C作CH⊥y轴于H．

∵OA＝OB＝OD＝4，
∴∠ADB＝90°
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝AD÷tan∠ACB＝3，
∴AC＝5．
∵∠CHD＝∠BOD＝90°，∠CDH＝∠ODB，
∴△CHD∽△BOD，
∴＝＝，
∴CH＝3，DH＝4，
∴PH＝9，
∴PC＝＝3．
（4）如图3中，连接CM，BM，EM，取BM的中点J，连接AJ，JE．

∵MC＝MB，CE＝EB，
∴ME⊥CB，
∵MJ＝JB，
∴JE＝BM＝，
∵B（4，0），M（0，﹣3），A（﹣4，0），
∴J（2，﹣），
∴AJ＝＝，
∵AE≤AJ+JE，
∴AE≤+，
∴AE的最大值为+，
∵直线AJ的解析式为y＝﹣x﹣1，
翻折后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4，
由，解得或，
∴F（3，﹣）．
26．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，
∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，
∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；
（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，
∵y＝x2+bx+c是友好函数，
∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，
代入得：0＝c2+bc+c，
∴0＝c（c+b+1），
而c≠0，
∴b+c＝﹣1；
（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，
由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，
显然当x＝1时，y＝0，
即与x轴的一个交点为（1，0），
则∠ACO＝45°，
∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO
∴c＜﹣1；
②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，
∴显然都满足∠ACB为锐角，
∴c＞0，且c≠1；
③当C与原点重合时，不符合题意，
综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．

27．解：（1）连接DO，

∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵DO＝BO，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠CBD＝∠ODB．
∴DO∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵E是AO中点，
∴AE＝EO＝DO＝BO＝，
∴sin∠A＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
连接FO，则∠BOF＝60°，

∴＝．
（3）①如图3，连接OD，过O作OM⊥BC于M，

则BM＝FM，四边形CDOM是矩形
设圆的半径为r，则OA＝5﹣r．BM＝FM＝r﹣，
∵DO∥BC，
∴∠AOD＝∠OBM，
而∠ADO＝90°＝∠OMB，
∴△ADO∽△OMB，
∴，
即，
解之得r1＝1，．
②∵在（1）中∠CBD＝∠ABD，
∴DE＝DF，
∴DE＝DF'，
∴∠DEF'＝∠DF'E，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
而F、F'关于BD轴对称，

∴BD⊥FF'，BF＝BF'，
∴DE∥FF'，∠BF'F＝∠BFF'，
∴∠DEF'＝∠BF'F，∠DFE＝∠BFF'
∴△DEF'∽∠BFF'，
当r＝1时，AO＝4，DO＝1，BO＝1，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
∴＝，
∴△BFF′与△DEF′的面积之比＝，
同理可得，当r＝时．时，△BFF'与△DEF'的面积比＝．
∴△BFF'与△DEF'的面积比为或．
28．解：（1）如图1，

连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°
∴CF＝，AF＝，
∴DF＝CF﹣CD＝﹣1＝，
∴AD＝＝
∴AP+BP的最小值为；
故答案为：；
（2）如图2，

在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，
∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴＝＝，∴PF＝AP
∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝＝＝2，
∴，AP+PC的值最小值为2，
故答案为：2；
（3）如图3，

延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP
∴△AOP∽△POF
∴＝＝，
∴PF＝2AP
∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4
∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝＝
∴2PA+PB的最小值为．
29．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；


（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，
则BE＝3x，CE＝6x，
∴BC＝9x＝9，∴x＝1，
∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，
设DE＝a，
①如答图2，若点D在点E左侧，

由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，
∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，
解得，a2＝﹣2（舍去），
∴．
②如答图3，若点D在点E右侧，

由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，
∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，
解得a1＝2，（舍去）
∴BD＝3+a＝3+2＝5．
∴或5．
（3）①如答图4，连接AD，BD，
∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH
∴△AHC∽△DHB，
∴，即AH•BH＝CH•DH，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴BH2＝CH•DH
∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．
②．
理由如下：如答图4，

∵∠ABD＝90°，
∴AD是直径，
∴AD＝18．
又∵OH⊥AB，
∴OH∥BD．
∵点O是线段AD的中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴BD＝2OH＝12．
在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．
∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．
在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．
又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．
∴＝＝，即．
30．解：（1）如图1，连接AC，
∵BC为⊙M的直径，
∴∠BAC＝∠BOP＝90°，
∵∠ACB＝∠APB，
∴∠OBP+∠APB＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBP＝∠ABC．
（2）∵∠BAC＝90°，A（8，0），B（6，0）
∴OB＝6，OA＝8，
∴AB＝10
∴＝
∵∠BOP＝∠BAC，∠OBP＝∠ABC，
∴△OBP∽△ABC，
∴，
∴＝，
∴点P的坐标为；
（3）如图2，记直线AC与y轴的交点为E，
∵AC⊥AB，则∠OAE＝∠OBA＝90°﹣∠BAO，
当OC最小时，OC⊥AE，
此时，OC＝OA•sin∠OAE＝OA•sin∠OBA＝．
求得点C的坐标为．
又∵点M为BC的中点
∴，，∴点M的坐标为．

31．（1）证明：∵＝，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）①解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
②解：作FH⊥AD于H．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝，DE＝，
∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，
∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，
∵AF＝AF，
∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），
∴AH＝AE＝，DH＝AD﹣AH＝，设FH＝EF＝x，
在Rt△FHD中，则有（﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝，
∴S△ADF＝•AD•FH＝×8×＝．

32．解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，

则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②存在，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝4，则BC＝5，
则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，
即，即，解得：AE＝，
则CE＝4﹣＝；
（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，

则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，
AB＝BE＝5，
过点A作AH⊥BC于点H，
设BH＝x，则HE＝5﹣x，
则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；
cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，
则tanα＝；
②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，

过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，
则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，
在△BGH中，BH＝＝2k，
在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，
∴∠C＝∠BAH，
∴tanC＝tan∠BAH＝＝＝，
综上，tanC的值为或．
33．解：（1）点B的坐标为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1，故点A（﹣3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，则AC交函数对称轴于点M，则点M为所求，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；
（3）如图，设直线BQ交y轴于点H，作HG⊥BC于点G，

tan∠OCB＝，∠CBQ＝45°，
则设：BG＝HG＝x，则CG＝3x，
则BC＝BG+CG＝4x＝＝，解得x＝，
CH＝x＝，则点H（0，），
由点B、H的坐标可得，直线BQ的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝1（舍去）或﹣，
故点Q（﹣，）．
34．解：（1）①如图1，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠AOC＝180°﹣2∠OAC＝180°﹣2y，
∴＝，
∵∠DCB＝∠BAD＝x，
∴∠ABC+∠DCB＝90°﹣y+x＝n，
∴y＝x+90°﹣n；
②延长AO交圆于点F，连接CF，

∵AF为⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°，
∵AO＝3，AC＝4，
∴CF＝＝＝2，
∵AB＝AC，
∴AH⊥BC，
∴∠BCFF＝∠BAF＝∠CAF，
∴△CHF∽△ACF，
∴，
∴，
∴，
∵AB⊥CD，
∴∠ABC+∠DAB＝90°，
由①知y＝x+90°﹣n，
∴∠DAB＝∠OAC，
∴∠DCB＝∠BCF，
∵CH＝CH，∠GHC＝∠FHC＝90°，
∴△CGH≌△CFH（ASA），
∴HF＝GH＝，
同理△ADE≌△AGE，
∴AD＝AG＝AF﹣GF＝6﹣＝．
（2）如图3，在PA上取一点N，使得PN＝PC．过点B作BM⊥PA于M，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，
∵PN＝PC，
∴△PCN是等边三角形，
∴∠PCN＝∠ACB＝60°，
∴∠ACN＝∠BCP，
∵BC＝AC，CN＝CP，
∴△CBP≌△CAN（SAS），
∴BP＝AN，
∴PA＝PN+AN＝PC+PB．
设PB＝x，则PC＝8﹣x，
∵S＝S△BPC+S△ABP＝•PC•PB•sin60°+•8•PB•sin60°，
∴S＝x（8﹣x）+x＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝5时，S有最大值，
∴BP＝5，BM＝，PM＝，AM＝，
∴＝＝7，
∴△ABC的外接圆的半径为．
35．解：（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
则∠A+∠B+2（∠A+∠B）＝360°，
∴∠A+∠B＝120°；
（2）如图2，连接OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，
则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为对半四边形；
（3）若AB为对半线，则∠CAB+∠CBA＝120°，
∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，
∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝3，
∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，
∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB，
∴＝，
∵CE＝DE＝3，CE＝3BE，F是DE的中点，
∴BE＝1，DF＝EF＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴CA＝CD+AD＝3+＝．

36．解：（1）如图1，连接MA，
在Rt△OMA中，AM为圆的半径5，OM＝3，
∴OA＝＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
（2）①如图2﹣1，连接BD，由圆的对称性可得AD＝BD，
则∠BAD＝∠DBA，
∵∠ACD+∠DBA＝180°，∠ACD+∠HCD＝180°，
∴∠DBA＝∠HCD，
又∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠HCD；
②在图2﹣2中，∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠AGC+∠CAG＝∠HCB，且由（2）得∠HCD＝∠BCD
∴∠AGC＝∠HCD，
∴180°﹣∠AGC＝180°﹣∠HCD，
即∠AGB＝∠ACD，
∵，
∴∠ABG＝∠ADC，
∴△AGB∽△ACD，
（3）当点C在上运动的过程中，的值不发生变化，为，理由如下：
如图3﹣1，当点C在上时，在AC上截取AN，使AN＝BC，连接BD，DN，
由圆的对称性可得AD＝BD，
又∵，
∴∠DAN＝∠DBC，
∴△DAN≌△DBC（SAS），
∴DN＝DC，∠ADN＝∠BDC，
∴∠ADN+∠NDB＝∠BDC+∠NDB，
即∠ADB＝∠NDC，
∵＝＝1，
∴△ADB∽△NDC，
∴＝，
∵AO＝BO＝4，OD＝OM+DM＝8，
∴BD＝＝4，
∴＝＝＝，
∵NC＝AC﹣AN＝AC﹣BC，
∴＝，
∴的值不发生变化，为．


37．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：
如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴△ABE∽△DCE，
∴正方形是自相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：
如图4所示：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝90°，
∴只能△AEB与△DAE相似，
∵AB∥CD，
∴只能∠B＝∠AED，
若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CD＝CE，不成立，
∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；
③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：
∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），
∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，
同理△AED与△EDC也不能相似，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，
∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，
则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；
（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，
∴BE＝2，AB＝AD＝4，
由（1）③得：△ABE∽△DEA，
∴＝＝，
∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，
∴AE＝2，DE＝＝＝4，
②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
则四边形DMEN是矩形，
∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，
设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，
由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，
即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝1，
∴AM＝1，EN＝DM＝5，
∴DN＝EM＝＝＝，
在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，
∴tan∠DBC＝＝．

38．解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DBD＝45°，
∵∠CBD＝∠EAD＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）①∵∠EAD＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴△EOC是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为，
∴CE的弧长＝×2×π×＝；
②∵D为EB中点，
∴ED＝BD，
∵AE＝ED，
在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，
∴AE＝2，
∴AD＝2，
∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，
∴△AED∽△BCD，
∴BC＝；
（3）∵AF：FD＝7：3，
∴AF＝AD，
过点E作EG⊥AD，
∴EG＝AD，
∴GF＝AD，
∴tan∠EFG＝，
∴＝＝，∴FO＝r，
在Rt△COF中，FC＝r，
∴EF＝r，
在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，
∴AD＝r，
∴AF＝r，
∴AC＝AF+FC＝r，
∵CD＝BC＝4，
∴AC＝4+AD＝4+r，
∴r＝4+r，∴r＝．

39．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝DE＝2，AF＝1，
∴tan∠AEF＝＝，tan∠ECD＝＝，
∴tan∠AEF＝tan∠ECD，
∴∠AEF＝∠ECD，
∵∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∵AF＝DH，AF∥DH，
∴四边形AFHD是平行四边形，
∴AD∥FH，
∴∠AEF＝∠EFG，
∵∠A＝∠FEG＝90°，
∴△EAF∽△FEG，
∴EF为四边形AFGE的相似对角线；
（2）解：如图3中，作DE⊥BA交BA的延长线于E．设AE＝a．

∵∠BAD＝120°，
∴∠BAE＝60°，
∴DE＝a，
∵AB＝2，BD＝，
在Rt△DEB中，∵BD2＝DE2+BE2，
∴6＝（2+a）2+3a2，
解得a＝（负根已经舍弃），
∴AD＝2a＝﹣1，
当△ABD∽△BCD时，＝，
∴（﹣1）CD＝6，
∴CD＝3+3．
当△ABD∽△BDC时，＝，
∴2CD＝6，
∴CD＝3，
综上所述，CD的长为3+3或3．
（3）解：①当△AFE∽△EFC时，连接BC，AC，BD．

∵∠FEC＝∠A＝90°，∠BEF＝∠BEC+∠FEC＝∠A+∠AEF，
∴∠AFE＝∠BEC，
∵＝，AE＝BE，
∴＝，
∴△AFE∽△BEC，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AC，BD都是直角，
∴AC＝BD＝＝10，
∴BC＝＝6，
∵＝，
∴＝，
∴AF＝．
②当△AFE∽△FEC时，作CH⊥AD交AD的延长线于H，作OM⊥AD于M，连接OA．

∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB＝∠DAB＝90°，
∵∠OMA＝∠AHC＝90°，
∴四边形AEOM，四边形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM＝MD＝3，
∴AM＝OE＝3，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA＝＝5，
∴CE＝AH＝8，设AF＝x，则FH＝8﹣x，CH＝AE＝4，
由△AEF∽△HFC，可得＝，
∴＝，
解得x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解，
∴AF＝4．
③当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF＝EC＝8．

综上所述，满足条件的AF的长为 或4或8．（答案不唯一）
40．解：（1）如图1，设△ABC的内切圆圆心为O，半径为r，连接OE，OF，OD，
∵△ABC的内切圆与边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵AD＝AE＝3，BD＝BF＝4，
∴AC＝r+3，BC＝r+4，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（r+3）2+（r+4）2＝72，化简得：r2+7r＝12，
∴△ABC的面积S＝（r+3）（r+4）＝（r2+7r+12）＝（12+12）＝12；
（2）△ABC的面积为mn，
理由如下：
∵AD＝m，BD＝n，
由（1）可知，AC＝r+m，BC＝r+n，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（r+m）2+（r+n）2＝（m+n）2，化简得：r2+mr+nr＝mn，
∴△ABC的面积S＝（r+m）（r+n）＝（r2+mr+nr+mn）＝（mn+mn）＝mn；
（3）∵锐角△ABC的内切圆与边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AE＝m，BD＝BF＝n，
设CE＝CF＝x，
作BH⊥AC于H，
∵∠ACB＝60°，
∴BH＝BC，CH＝BC，
∴AH＝AC﹣BC，
∴AB2＝AH2+BH2＝＝AC2+BC2﹣AC•BC＝（m+x）2+（n+x）2﹣（m+x）（n+x）＝（m+n）2，
化简，得x2+mx+nx＝3mn，
∴△ABC的面积＝＝＝．