2021-2022学年人教版九年级数学上册期末综合复习训练 (含答案)

这是一份2021-2022学年人教版九年级数学上册期末综合复习训练 (含答案)，共42页。试卷主要包含了如图，点A在双曲线y1＝，已知抛物线y＝ax2+bx+c，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年人教版九年级数学第一学期期末综合复习训练（附答案）
1．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（　　）

A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列说法正确的是（　　）
①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0；
②点P（﹣3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上；
③反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝　 　．



5．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是 　 　．

6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是 　 　．

7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 　 　．

8．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是 　 　（填序号即可）．

9．直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

11．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于C，D（﹣6，2）两点，DE∥OC交x轴于点E，若＝．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

13．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

A型
B型
车床数量/台
　 　
x
每台车床获利/万元
10
　 　
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 　 　；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

16．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？

17．如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；
（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．



18．已知函数y＝，记该函数图象为G．
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．




19．已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．







20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．
（1）求点C坐标；
（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．


22．在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．
（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．


参考答案
1．解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，

∵AB∥x轴，点A双在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，
∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，
∵S△ABC＝S△AOB＝6，
∴1﹣k＝6，
∴k＝﹣10．
故选：C．
2．解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，
∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，
∴c＜0，
∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②正确；
∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，
∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，
∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；
联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，
∴Δ＝，
∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；
∴正确的个数有5个；
故选：D．
3．解：①反比例函数y＝中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；
②因为﹣3×2＝﹣6，故说法正确；
③因为k＝3＞0，反比例函数y＝的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误；
故选：A．
4．解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．

∵AB∥x轴，
∴△DBE∽△OCE，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝＝＝，
设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，
∴，OD＝5b，
∴BD＝，
∴AB＝AD+DB＝，
∵S△ABC＝＝＝13，
∴ab＝，
∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，
又∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＝18，
故答案为18．
5．解：如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD，
∴S△AOE＝S△AOD＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
6．解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
∴∠BAB'＝，
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝，
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'＝，
故答案为：2．
7．解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝＝，
∴AM＝，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
∴＝，
即＝，
∴xy＝，
即y＝（0＜x＜2），
故答案为：y＝（0＜x＜2）．

8．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．
由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．
∴∠BEP+∠AEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE．
∵∠FGQ＝∠AGE，
∴∠BEP＝∠FGQ．
∵∠B＝∠F＝90°，
∴△PBE∽△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
，
∴△BEC≌△MEC（AAS）．
∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．
∵CG＝CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），
∴S△CMG＝S△CDG，
∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，

∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP＝45°．
∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．
由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2﹣EH2＝GH2．
由折叠可知：EH＝CH．
∴EG2﹣CH2＝GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC＝∠EHC＝90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC＝∠HEC＝45°．
在△CMH和△CDH中，
，
∴△CMH≌△CDH（SAS）．
∴∠CDH＝∠CMH＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠GDH＝45°，
∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，
∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．
∵∠HGQ＝∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴．
∴GH2＝GQ•GD．
∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
9．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，

∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2，
∴KH＝4，∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣1，2）不符合题意；
②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，

∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
当H（1+，2）时，MH＝，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，2）时，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），
∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），
又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，
∴△AEF≌△PDF，
∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，
又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），
∴由中点坐标公式得：，
解得：m1＝0，m2＝，
∴点P的坐标为（，﹣）或（0，﹣3）；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，
以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），
过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，
∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则OM＝OB＝3，OE＝1，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
综上所述，2≤t≤．

11．解：（1）由题意可得：y＝20+2（70﹣x），
整理，得：y＝﹣2x+160，
∴每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x＜70）；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
w＝（x﹣30﹣2）y＝（x﹣32）（﹣2x+160）＝﹣2x2+224x﹣5120，
整理，得：w＝﹣2（x﹣56）2+1152，
∵﹣2＜0，
∴当x＝56时，w取最大值为1152，
∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
12．解：（1）将D（﹣6，2）代入y＝中，
k2＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
过点D作DM⊥x轴，过点C作CN⊥x轴，

∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴，
∴CN＝3DM＝6，
将y＝6代入y＝﹣中，
﹣，
解得：x＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
将C（﹣2，6），D（﹣6，2）代入y＝k1x+b中，
可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+8；
（2）解法一：设直线OC的解析式为y＝mx，
将C（﹣2，6）代入，得：﹣2m＝6，
解得：m＝﹣3，
∴直线OC的解析式为y＝﹣3x，
由DE∥OC，设直线DE的解析式为y＝﹣3x+n，
将D（﹣6，2）代入可得：﹣3×（﹣6）+n＝2，
解得：n＝﹣16，
∴直线DE的解析式为y＝﹣3x﹣16，
当y＝0时，﹣3x﹣16＝0，
解得：x＝﹣，
∴E点坐标为（﹣，0），
∴OE＝，
在y＝x+8中，当y＝0时，x+8＝0，
解得：x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣＝，
S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
＝
＝
＝24﹣
＝．
解法二：在y＝x+8中，当y＝0时，x＝﹣8，
∴A点坐标为（﹣8，0），
又∵DE∥OC，
∴△ADE∽△ACO，
∴，
∴AE＝，
∴S四边形OCDE＝S△AOC﹣S△AED
＝
＝
＝24﹣
＝．
13．解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
14．解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，

∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，

由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
15．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．


16．解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
17．解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，
∴﹣4＝2×（﹣5）+m，
解得：m＝6，
∴C（0，6），
将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），
∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；
（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，
∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，
∴∠BCA＝∠ECA，
如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，

∴F（﹣11，4），
∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，
∴△FAC≌△BAC（SAS），
∴∠BCA＝∠FCA，
∴点E为直线CF与抛物线的交点，
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立方程组，
解得：或（舍去），
故点E坐标为（，）；
（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，

∵AB＝5，BC＝，
∴sin∠BCA＝，
∴MN＝，又CO＝6，
∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，
当F、N、M三点共线时，t最小，
∵AC＝10，BC＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴FM'＝，
∴点P运动时间t的最小值为，
由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），
∵FD＝，
∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，
由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，
由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴此时N坐标为（﹣6，）．
18．解：（1）当m＝2时，y＝，
①∵M（4，n）在该函数图象上，
∴n＝42﹣2×4+2＝10；
②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，y有最大值是2，
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
∵2＜2，
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；
（2）分两种情况：
①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，

∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
∴m＝﹣+m+m，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m＞0，
∴m＝6；
②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m
解得：m1＝0，m2＝14，
∵m＞0，
∴m＝14；
综上，m的值是6或14；
（3）分两种情况：
①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，

当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，
x2﹣x﹣2m＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，且﹣≤m≤3，
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
∴OD＝c＝﹣a，
∴BD＝m﹣OD＝m+a，
∵OA＝BD，
∴＝m+，
解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；
②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，

同理得：OA＝BD，
当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴OA＝＝a，
∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，
解得：m1＝0，m2＝﹣；
综上，m的值是或﹣．
19．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，
证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，
∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
∴，
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
∴，
∴，
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，
∴D′F＝DF，D′M＝DM，
∵MF＝MF，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），
∴DF＝AH，
∵，D′F＝DF，
∴，
∵AF＝kDF，
∴，
∴．

20．解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，
如图1中，设BC交y轴于D．
∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，
∴OD＝4，
∴D（0，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，
由，解得（即点B）或，
∴C（﹣1，6）．
（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，
∴E（﹣，0），
当0＜m＜2时，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，
∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．
当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，
∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．
综上所述，S＝．
（3）∵直线AC交x轴于E（﹣，0），B′（2m﹣2，0），
当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝或（都不符合题意舍弃），
当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），
综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．

21．解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，

设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
22．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
由旋转知：EP＝EB，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，
∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠AEP＝∠CBP，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∴△APE≌△CPB（SAS），
∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，
∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，
即∠APC＝∠BPE＝60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AP＝AC；
方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵α＝120°，即∠BAD＝120°，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠BEP＝60°＝∠B，
∴PE∥BC∥AD，
∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴四边形ADQE是菱形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，
∴△AEQ是等边三角形，
∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，
∵四边形BCQE是平行四边形，
∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，
∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，
∴∠AEP＝∠AQC，
∴△AEP≌△AQC（SAS），
∴AP＝AC；
（2）AB2+AD2＝2AF2，
理由：如图2，连接CF，
在▱ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC，
∵BF⊥EP，
∴∠BFE＝90°，
∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴BF＝EF，
∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，
∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，
∴∠CBF＝∠AEF，
∴△BCF≌△EAF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，
∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°，
∵sin∠ACF＝，
∴AC＝＝＝＝AF，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+AD2＝2AF2；
（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，
∵BE＝AB，AB＝CD，
∴AB＝CD＝2BE，
设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，
①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，
过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，
∴GM＝GN，
∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，
＝＝＝＝2，
∴S△CDG＝2S△ADG，
∴S△CDG＝S△ACD＝a2，
由（1）知PE∥BC，
∴∠AEH＝∠B＝60°，
∵∠H＝90°，
∴AH＝AE•sin60°＝a，
∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，
∴＝＝．
②如图4，当点E在AB延长线上时，
由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2，
S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，
∴＝＝，
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．
方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEG∽△CDG，
∴＝（）2，＝，
①当点E在AB上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝BE＝AB＝CD，
∴＝（）2＝，
又∵＝＝，
∴＝，即＝3，
∴＝＝3，
当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，
∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，
∴△AED≌△EAP（SAS），
∴S△AED＝S△EAP，
∴＝•＝•＝3×＝；
②如图4，当点E在AB延长线上时，
∵BE＝AB，
∴AE＝AB＝CD，
由①知，AD＝AE＝CD，
∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∵＝（）2＝（）2＝，
∴＝••＝××＝；
综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．