数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质随堂练习题

课时作业(四十四)B　[第44讲　直线、平面垂直的判定与性质]

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　　)

A．l∥m，l⊥α  B．l⊥m，l⊥α

C．l⊥m，l∥α  D．l∥m，l∥α

2．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．[2011·安徽十校联考]  在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，真命题是(　　)

A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥α

B．若l⊥β且α∥β，则l⊥α

C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α

D．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α

4．如图K44－7所示，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.

图K44－7

5．[2011·北京西城模拟]  若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是(　　)

A．a∥β，α⊥β  B．a⊂β，α⊥β

C．a⊥b，b∥α  D．a⊥β，α∥β

6．[2011·宝鸡模拟]  设a，b，c是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

7．正方形ABCD的边长是12，PA⊥平面ABCD，PA＝12，那么P到对角线BD的距离是(　　)

A．12  B．12

C．6  D．6

8．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的(　　)

A．内心  B．外心

C．垂心  D．重心

9．如图K44－8，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，现在沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P－DEF中必有(　　)

图K44－8

A．DP⊥平面PEF  B．DM⊥平面PEF

C．PM⊥平面DEF  D．PF⊥平面DEF

10．如图K44－9，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中直角三角形的个数是________．

图K44－9

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－BD－C的正切值为________．

图K44－10

12．如图K44－10，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

13．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：________.

14．(10分)[2011·合肥一检] 如图K44－11，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1＝，E是C1D1的中点，F是CE的中点．

(1)求证：EA∥平面BDF；

(2)求证：平面BDF⊥平面BCE.

图K44－11

15．(13分)如图K44－12，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面ACM；

(2)证明：AD⊥平面PAC.

图K44－12

16．(12分)[2011·长沙一中模拟] 如图K44－13，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点．

(1)证明：EF∥平面A′BC；

(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正切值．

图K44－13

课时作业(四十四)B

【基础热身】

1．C　[解析] 设m在平面α内的射影为n，当l⊥n，且与平面α无公共点时，l⊥m，l∥α.

2．B　[解析] l⊥α，α∥β⇒l⊥β，又m⊂β，故l⊥m，反之当l⊥m时，α，β的位置不确定．故选B.

3．B　[解析] A显然不对，C、D中的直线l有可能在平面α内．故选B.

4．a　[解析] 如图，取BC中点E，连接ED、AE，

∵AB＝AC，∴AE⊥BC.

∵平面ABC⊥平面BDC，

∴AE⊥平面BCD，

∴AE⊥ED.

在Rt△ABC和Rt△BCD中，

AE＝DE＝BC＝a，

∴AD＝＝a.

【能力提升】

5．D　[解析] 只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.

6．B　[解析] 当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.

7．D　[解析] 如图所示，

连接正方形ABCD的两条对角线AC、BD，交于点O，则BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，所以BD⊥平面PAO，则PO⊥BD，即PO是P到BD的距离．在△PAO中，∠PAO＝90°，PA＝12，AO＝AC＝6，所以PO＝＝＝6.

8．C　[解析] 如图所示，

PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，又PH⊥平面ABC，所以AE⊥BC.即H是△ABC高的交点，所以H一定是△ABC的垂心．

9．A　[解析] 在正方形中，DA⊥EA，DC⊥FC，∴在折叠后的四面体P－DEF中有DP⊥EP，DP⊥FP，又EP∩FP＝P，∴DP⊥平面PEF.

10．4　[解析] 由题中图与已知得直角三角形有：△PAC、△PAB、△ABC、△PBC.

11.　[解析] 如图，

∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角．

在Rt△C1OC中，tan∠C1OC＝.

12．③　[解析] 因为AB＝CB，E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．

13．②③④⇒①或①③④⇒②　[解析] 由题意可构造出四个命题(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．

14．[解答] 证明：(1)连接AC交BD于O点，连接OF，

可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE.

又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，

所以EA∥平面BDF.

(2)计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，

所以DF⊥CE.

又BC⊥平面CDD1C1，

所以DF⊥BC.

又BC∩CE＝C，

所以DF⊥平面BCE.

又DF⊂平面BDF，

所以平面BDF⊥平面BCE.

15．[解答] (1)证明：连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

【难点突破】

16．[解答] (1)证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，

则FM∥DC，且FM＝DC，

又EB∥DC，且EB＝DC，

从而有FM綊EB，

所以四边形EBMF为平行四边形，

故有EF∥MB.

又EF⊄平面A′BC，MB⊂平面A′BC，

所以EF∥平面A′BC.

(2)连接CE，则CE⊥DE，因为平面A′DE⊥平面BCDE，且交线为DE，

所以CE⊥平面A′DE，A′C在平面A′DE上的射影为A′E.

所以∠CA′E是直线A′C与平面A′DE所成角．

因为在矩形ABCD中，AB＝2AD，

设AD＝a, 则AB＝2a，CE＝a.

又A′E＝a，所以tan∠CA′E＝＝＝，

故直线A′C与平面A′DE所成角的正切值为.