2020-2021学年1.3.2奇偶性第二课时测试题

1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)

A．单调递减的偶函数　　　 B．单调递减的奇函数

C．单调递增的偶函数   D．单调递增的奇函数

解析：选B.f(－x)＝－x3为奇函数，

x1＜x2，－x1＞－x2.

f(－x1)－f(－x2)＝－x－(－x)＝x－x＞0，

∴f(－x1)＞f(－x2)，f(－x)为减函数．

2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得(　　)

A．a<b   B．a>b

C．|a|<|b|   D．0≤a<b或a>b≥0

解析：选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则f(|x|)＝f(x)；若x<0，则f(|x|)＝f(－x)＝f(x)．所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)<f(b)，可得f(|a|)<f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在[0，＋∞)上是增函数可得|a|<|b|，故选C.

3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是(　　)

A．y＝x(x－2)   B．y＝x(|x|＋2)

C．y＝|x|(x－2)   D．y＝x(|x|－2)

解析：选D.由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．

∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．

4．函数f(x)＝x3＋ax，f(1)＝3，则f(－1)＝________.

解析：显然f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.

答案：－3

1．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于(　　)

A．－2  B．－4

C．－6  D．－10

解析：选D.令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，显然F(x)＝ax3＋bx为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10.

2．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关系是(　　)

A．f(－)＞f(a2＋2a＋)

B．f(－)＜f(a2＋2a＋)

C．f(－)≥f(a2＋2a＋)

D．f(－)≤f(a2＋2a＋)

解析：选C.a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，f(－)＝f()≥f(a2＋2a＋)．

3．若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有(　　)

A．最小值－5   B．最大值－5

C．最小值－1   D．最大值－3

解析：选C.ρ(x)、g(x)都是奇函数，

∴f(x)－2＝aρ(x)＋bg(x)为奇函数．

又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.

∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，

∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.

4．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则(　　)

A．f(3)＋f(4)＞0  B．f(－3)－f(－2)＜0

C．f(－2)＋f(－5)＜5  D．f(4)－f(－1)＞0

解析：选D.f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，可得f(x)在[0,6]上单调递增，依题意有：－4＜－1⇒f(－4)＞f(－1)⇒f(4)－f(－1)＞0.

5．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝(　　)

A．x2－|x|＋1   B．－x2＋|x|＋1

C．－x2－|x|－1   D．－x2－|x|＋1

解析：选D.设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝x2＋|x|－1，

∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)

B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)

D．f(3)<f(1)<f(－2)

解析：选A.由已知<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.

7．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．

解析：利用函数f(x)是偶函数，则k－1＝0，k＝1，f(x)＝－x2＋3即可得出单调区间．

答案：[0，＋∞)

8．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是________．

解析：

偶函数的图象关于y轴对称，先作出f(x)的图象，如图所示，由图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，

∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．

答案：{x|0＜x＜2}

9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)＞0，则a＋b________0(填“＞”、“＜”或“＝”)．

解析：f(a)＋f(b)＞0，∴f(a)＞－f(b)，

∴f(a)＞f(－b)，f(x)为减函数，

∴a＜－b，∴a＋b＜0.

答案：＜

10．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析式．

解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数．

∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0，

又f ()＝＝，∴a＝1，

∴f(x)＝.

11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．

解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，

可知f(x)在(0，＋∞)上递减．

∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋＞0，

2a2－2a＋3＝2(a－)2＋＞0，

且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，

∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，

即3a－2＞0，解得a＞.

12．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)．

解：由f(x)＋g(x)＝.　①

把x换成－x，得

f(－x)＋g(－x)＝，

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

又∵g(x)为奇函数，

∴g(－x)＝－g(x)，

∴f(x)－g(x)＝－.　②

由①②得f(x)＝，g(x)＝.