高中数学上教版（2020）必修 第二册6.1 正弦、余弦、正切、余切当堂检测题

第1讲 正弦、余弦、正切、余切(练习）

夯实基础

1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是                         （    ）

 A．               B．

 C．             D．

【难度】★

【答案】B

2．下列两组角的终边不相同的是                                     （    ）

    A．                 B．

    C．                 D．

【难度】★

【答案】D

3．当角与的终边互为反问延长线，则角与的关系一定是         （    ）

    A．                           B．

    C．                     D．

【难度】★

【答案】C

4．（2020·上海高一课时练习）终边在y轴上的角的集合可表示成（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合终边相同的角的概念可得或，整理即可得解.

【详解】由题意，若的终边在y轴上，

则或，

所以，

所以终边在y轴上的角的集合可表示成.故选：D.

【点睛】本题考查了终边相同的角的概念的应用，考查了轴线角的求解，属于基础题.

5．（2020·上海高一课时练习）设集合为锐角，为第一象限角，为小于90°的角，为小于90的正角，则下列等式中成立的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用角的表示方法，分别表示出集合，根据集合的大小关系，即可求解.

【详解】由题意，集合为锐角，

集合为第一象限角，

集合为小于90°的角，

集合为小于90的正角，所以.故选：D.

【点睛】本题主要考查了角的表示方法及其应用，其中解答中熟记角的表示方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

6．若角的终边与射线重合，则______________.

【难度】★

【答案】

7．若为的内角，且，则是_________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.

【难度】★

【答案】锐角

8．函数的值域是___________________.

【难度】★

【答案】

9．（2020·上海高一课时练习）若扇形的周长为18，面积为18，则扇形的圆心角是_______弧度.

【答案】1或4

【分析】设利用扇形的面积公式以及弧长公式即可求解.

【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为

由题意可得，解得或，

由，可得或，解得1或4.故答案为：1或4

【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，需熟记公式，属于基础题.

10．（2020·上海高一课时练习）设2弧度的圆心角所对弧长为4，那么该圆心角所夹扇形的面积为_________．

【答案】4

【分析】利用扇形的面积S，代入计算可得结论．

【详解】∵2弧度的圆心角所对弧长为4，∴扇形的面积S4，

故答案为：4

【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．（2020·上海高一课时练习）若与终边相同，则_________________.

【答案】

【分析】由题意结合终边相同的角的概念可得，化简即可得解.

【详解】由题意，化简得.

故答案为：.

【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，考查了运算求解能力，属于基础题.

12．（2020·上海高一课时练习）若，则与终边相同的角的集合是__________________.它是第__________象限角，其中最小正角是____________，最大负角是___________.

【答案】    三    212°       

【分析】由终边相同的角的概念可得与终边相同的角，整理即可得与终边相同的角的集合；由为第三象限角即可得的终边所在的象限；给k赋值即可得最小正角与最大负角.

【详解】若与终边相同，则，

令，则，所以，

所以与终边相同的角的集合是；

由为第三象限角，可得也为第三象限角；

当时，取最小正角；当时，取最大负角.

故答案为：；三；；.

【点睛】本题考查了终边相同的角、象限角的概念的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

13．（2020·上海高一课时练习）在之间，与2017°终边相同的角的集合为________.

【答案】

【分析】由题意结合终边相同的角的概念可得与2017°终边相同的角可表示为，分别给k赋值即可得解.

【详解】由题意，与2017°终边相同的角可表示为，

令，则；

令，则;

所以在之间，与2017°终边相同的角的集合为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了终边相同的角的概念的应用，关键是对概念的准确识记，属于基础题.

14．（2020·上海高一课时练习）时钟的分针所转过的角度是___________.

【答案】

【分析】由题意结合任意角的概念直接运算即可得解.

【详解】因为时钟的分针按顺时针旋转，顺时针旋转所得的角为负角，

所以时钟的分针所转过的角度为.故答案为：.

【点睛】本题考查了任意角的概念，关键是对于概念的准确理解，属于基础题.

15．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．

【答案】；

试题分析：由题圆心角为，半径为；则：

考点：弧度制下的扇形面积算法.

16．（2021·上海市行知中学高一期末）如果是第三象限角，则的终边一定不在第_________象限.

【答案】二

【分析】根据是第三象限角，求得的范围，分别令，，可判断终边所在象限，即可得答案.

【详解】由题意得：，

所以，

当时，，则的终边在第一象限；

当时，，则的终边在第三象限；

当时，，则的终边在第四象限，

所以的终边一定不在第二象限，故答案为：二

17．（2020·上海高一课时练习）半径是，弧长是的圆心角的弧度是___________；这个扇形的面积是___________.

【答案】       

【分析】利用弧长公式可求圆心角，利用扇形的面积公式可求面积.

【详解】设半径是，弧长是的圆心角的弧度为

由，可得，解得.

扇形的面积：.故答案为：；

【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.

18．（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.

【答案】    80°   

【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解.

【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，

可得，.故答案为：，.

【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的互化，其中解答中熟记角度制与弧度制的互化公式是解答的关键，着重考查计算能力.

19．（2020·上海高一课时练习）扇形的圆心角为，它所对的弦长为，则此扇形的弧长为_________，面积为________.

【答案】       

【分析】根据题意，求得扇形所在圆的半径，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解.

【详解】由题意，扇形的圆心角为，它所对的弦长为，

可得扇形所在圆的半径为，所以此扇形的弧长为，

此扇形的面积为.故答案为：，.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积的公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

20．（2020·上海高一课时练习）2345°是第________象限角，是第________象限角.

【答案】三    一   

【分析】由题意结合终边相同的角的概念可得与、与终边相同，再由象限角的概念即可得解.

【详解】，为第三象限角，是第三象限角；

，为第一象限角，是第一象限角.

故答案为：三；一.

【点睛】本题考查了终边相同的角的概念的应用，考查了象限角概念的应用，关键是对知识点的熟练应用，属于基础题.

21．（2020·上海高一课时练习）如图，用弧度制分别写出下列条件下角的集合：

（1）终边在射线上；

（2）终边在直线上.

【答案】（1）.（2）

【分析】（1）先将改为弧度，再加周期，最后写出集合形式；

（2）先分别写出终边在射线上以及终边在射线上角的集合,再求并集得结果.

【详解】（1）终边在射线上的角的集合.

（2）终边在射线上的角的集合，

所以终边在直线上的角的集合，

即.

【点睛】本题考查终边相同的角的集合，考查基本求解能力，属基础题.

22．（2020·上海高一课时练习）在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列集合：

（1）；

（2）；

【分析】(1)根据任意角的定义，画出每个集合，时，对应的区域，即可得出结果.(2)根据任意角的定义，画出每个集合， k=0,1时，对应的区域，即可得出结果.

【详解】（1） 根据任意角的定义，画出集合对应的区域如下：

（2）根据任意角的定义，画出集合对应的区域如下：

【点睛】本题主要考查任意角的概念，以及终边相同的角，属于基础题型.

23．（2020·上海市沪新中学高一期中）已知弓形的弦长为，对应的圆心角为，求此弓形的面积.

【答案】

【分析】根据余弦定理，求出扇形半径，进而求出扇形面积和面积，即可求解.

【详解】设扇形的半径为，在中，由余弦定理得，

，

，

，弓形的面积为.

【点睛】本题考查扇形的面积、余弦定理解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

24．（2020·上海高一课时练习）已知是第三象限角.

（1）若，试确定的终边位置；

（2）若，试确定的终边位置.

【答案】（1）第二象限；（2）在第一象限或y轴正半轴.

【分析】（1）计算得到，讨论的奇偶，集合得到答案.

（2）计算，根据得到答案.

【详解】（1）∵是第三象限角，即，

∴.

当时，，即属于第二象限；

当时，，即属于第四象限；

所以的终边在第二象限或第四象限.又，故的终边在第二象限.

（2）∵，∴，

即的终边在第一象限或第二象限或在y轴的正半轴上.

∵，∴的终边在第一象限或第四象限或x轴正半轴或y轴上.

∴的终边在第一象限或y轴正半轴.

【点睛】本题考查了角度的终边位置，意在考查学生的计算能力和转化能力.

25．（2020·上海高一课时练习）判断下列命题的真假：

（1）终边相同的角一定相等；

（2）第一象限角都是锐角；

（3）钝角是第二象限角；

（4）若是第一象限角，则也必定是第一象限角.

【答案】（1）假命题（2）假命题（3）真命题（4）假命题

【分析】（1）由题意结合终边相同的角的概念，举出反例即可判断；

（2）由题意结合象限角、锐角的概念即可判断；

（3）由题意结合钝角、象限角的概念即可判断；

（4）由题意结合象限角的概念举出反例即可判断.

【详解】（1）45°角与角终边相同，但它们不相等，故该命题为假命题；

（2）第一象限角是指在范围内的角，而锐角是指大于0°且小于90°的角，故该命题为假命题；

（3）设为钝角，则，故是第二象限角，故该命题为真命题；

（4）若是第一象限角，则是第三象限角，故该命题为假命题.

【点睛】本题考查了终边相同的角、象限角概念的应用，解题关键是对概念有准确的理解，属于基础题.

26．（2020·上海高一课时练习）指出下列各角终边所在的象限：

（1）825°；（2）；（3）1170°.

【答案】（1）终边在第二象限（2）终边在第二象限（3）不属于任何象限

【分析】（1）变换，根据所在象限得到答案.

（2）变换，根据所在象限得到答案.

（3）变换，确定在y轴的正半轴上，得到答案.

【详解】（1），故825°与105°的终边相同，即825°的终边在第二象限.

（2），故与170°的终边相同，即的终边在第二象限.

（3），故1170°与90°的终边相同，即1170°的终边在y轴的正半轴，不属于任何象限.

【点睛】本题考查了三角函数的终边所在象限，属于简单题.

能力提升

1．若是第二象限角，那么和都不是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】若是第二象限角,则可设再分析和.

【详解】设,此时,故为第一、三象限的角.

又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.

故选B.

【点睛】已知所处的象限可直接表达出角度的范围再讨论.

2．一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于   （    ）

    A．2                                  B．4

    C．                                D．

【难度】★★

【答案】B

【解析】设扇形内切圆的半径为，则由图可见扇形半径为

   .由弧长公式，扇形弧长              

3．用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式在上的的集合为_______________.

【难度】★★

【答案】              

4．已知扇形的弧长为，半径为2，则扇形的面积为_________.

【答案】

【分析】利用扇形的面积公式求解。

【详解】解：因为扇形的弧长为，半径为2，

根据，故答案为：

【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟练的记忆公式是解答的关键，属于基础题。

5．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.

【答案】.

【分析】设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.

【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，

由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，

由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，

故答案为.

【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.

6．如图，设点是单位圆上的一个定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所转过的弧长为，弦的长为，则关于的函数解析式是________（要求最简结果）.

【答案】

【分析】由弧长公式可得，所以，又，再由两点距离公式运算即可得解.

【详解】解：因为此圆为单位圆，又点所转过的弧长为，则，

所以，又，

则，

 故答案为.

【点睛】本题考查了弧长公式及两点距离公式，主要考查了二倍角的余弦公式，重点考查了运算能力，属基础题.

7．用表示不超过实数的最大整数，则______ .

【答案】

【分析】首先求得在的范围时的值，再根据三角函数的周期性，求得所求表达式的值.

【详解】由于，

根据三角函数的周期性可知∴.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查三角函数的周期性，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.

8．求值：

（1）；

（2）.

【难度】★★

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）原式

       （2）原式

9．已知扇形的圆心角是900，求此扇形面积与其内切圆面积之比.

【难度】★★

【答案】

【解析】设扇形半径为R，扇形的内切圆半径为r，由已知可得扇形面积扇形的内切圆面积∴所求面积比

10．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.

【答案】 

【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案．

【详解】解：设扇形的半径为，弧长为，则．

可得：（当且仅当时取等号）．可得：最大值为，此时，．

可得：扇形中心角的弧度数．

【点睛】本题考查扇形面积公式，考查弧长公式，考查基本不等式（也可利用配方法）的应用，属于中档题．