第2章函数 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第二章函数综合测试题

一、单选题

1．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）

A． B． C． D．[0，2]

3．已知函数满足，则（    ）

A．2 B．4 C．7 D．14

4．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

5．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

6．若，则等于（    ）

A．3 B． C．4 D．

7．已知函数的增区间为（    ）

A． B． C． D．

8．已知是一次函数，且，则的解析式为（）

A．或 B．或

C．或 D．或

9．已知函数，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，下列说法不正确的是（    ）

A．若对于，都有（为常数），则的图象关于直线对称

B．若对于，都有（为常数），则的图象关于点对称

C．若对于，都有，则是奇函数

D．若对于，都有，且，则是奇函数

二、填空题

13．给定映射，在映射f下象的原象是__________．

14．已知函数为奇函数，且当时，，则_________.

15．已知函数的最大值与最小值的和为6，__________．

16．已知函数满足对任意的实致，都有，则a的取值范围是______________.

三、解答题

17．已知函数满足.

（1）求实数的值并判断函数的奇偶性；

（2）判断函数在上的单调性(可以不用定义).

18．已知函数.

（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围.

20．已知函数.

（1）画出函数的图象，并写出函数的单调区间;

（2）若直线与函数的图象有3个交点，请由（1)中函数图象直接写出m的取值范围.

21．设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M，m，集合.

（1）若且，求M和m的值；

（2）若，且，记，求的表达式并求的最小值

22．已知定义在R上的函数对任意x，都有等式成立，且当时，有.

（1）求证：函数在R上单调递增；

（2）若，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案

1．D

【分析】

求出每个选项中两个函数的定义域，并化简每个选项中两个函数的解析式，由此可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，

两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等；

对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，

两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等；

对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，

两个函数的定义域不相同，C选项中的两个函数不相等；

对于D选项，函数与的定义域均为，且，

D选项中的两个函数相等.

故选：D.

2．B

【分析】

直接由可得解.

【详解】

∵函数的定义域是

∴，解得：

故选：B

3．A

【分析】

令，代入即可得解.

【详解】

令，则，

所以.

故选：A.

4．A

【分析】

直接利用函数的定义判断.

【详解】

对于A，和的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故A正确；

对于B，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故A错误；

对于C，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故C错误；

对于D，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故D错误，

故选：A.

5．C

【分析】

根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的取值范围即可.

【详解】

因为，

所以，解得，即或，

即函数的定义域为.

故选：C.

6．B

【分析】

根据函数解析式，求出，即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

因此，

所以.

故选：B.

7．A

【分析】

先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.

【详解】

由，

解得或，

因为在递减，在递增，

又因为在递增，

所以增区间为

故选：A

8．A

【分析】

设，由题意可得，即

，求出和的值，即可得的解析式.

【详解】

设，则，

即对任意的恒成立，

所以，解得：或，

所以的解析式为或，

故选：A

【点睛】

方法点睛：求函数解析式的方法

（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；

（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；

（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

9．B

【分析】

转化条件为在上的取值范围与在上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解.

【详解】

当时，，由二次函数的性质可得单调递增且；

若要满足题意，只需使在上的取值范围与在上的有交集，

当时，若，则，

则，解得，此时；

若，，符合题意；

若，则，符合题意；

综上，实数a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为在上的取值范围与在上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.

10．C

【分析】

令，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】

由题意，函数的定义域为，

设，则，

所以，

所以函数的值域是.

故选：C.

11．C

【分析】

先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】

因为，

所以，即的值域为[1,2]，

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，

当时，在上为增函数，所以，所以，

所以，解得，

当时，在上为减函数，所以，所以

所以，解得，

综上实数a的取值范围是，

故选：C

【点睛】

解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.

12．D

【分析】

根据函数关于轴对称和点对称的定义和关系式，判断AB选项；根据奇函数的定义和性质判断CD选项.

【详解】

A. 对于，都有（为常数），

则函数的图象关于对称；

B. 若对于，都有（为常数），

则函数的图象关于对称，故B正确；

C.令，则，再令，则，即，

则是奇函数，故C正确；

D. 令，则或，因为,所以，

根据奇函数的性质可知，若函数在处有定义，则，而，

所以不是奇函数，故D错误.

故选：D

【点睛】

结论点睛：关于函数轴对称和点对称以及函数周期，需要理解并记住一些关系式，

1.若函数对于，都有，或，都说明函数的图象关于对称，若对于，都有（为常数），则的图象关于直线对称；

2. 若函数对于，都有，或，都说明函数的图象关于对称，若对于，都有（为常数），则的图象关于点对称；

3. 若函数对于，都有，则函数的周期是，若函数对于，都有，则函数的周期是(是常数).

13．

【分析】

根据映射概念列出关于的方程组，求解出方程组解则原象可求.

【详解】

由题意可知：，所以，所以原象为，

故答案为：.

14．

【分析】

根据函数为奇函数，由求解．

【详解】

因为函数为奇函数，且当时，，

所以．

故答案为：-2

15．

【分析】

将变形为，然后根据的奇偶性分析出的取值特点，由此求解出的结果.

【详解】

因为，

当时，，所以，所以，所以；

当时，，记，所以 ，

又因为的定义域为关于原点对称，所以为奇函数，所以，

又因为，

所以，

综上可知：，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的最值：

（1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数；

（2）偶函数在对称区间上的最值相等.

16．

【分析】

求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可.

【详解】

由题意得：在上单调递减，

故，解得，

即的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式.

17．（1），为奇函数.（2）在上减，上增；

【分析】

（1）由解析式求得参数的值，即可知函数的解析式，再由奇偶性定义证明即可；

（2）由双勾函数性质可得函数的单调性.

【详解】

（1），.

，且定义域为关于原点对称

为奇函数.

（2）由对勾函数可知：在区间上单调递减，在上单调递增.

【点睛】

本题考查由定义法证明奇偶性，还考查了双勾函数的单调性，属于基础题.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；

（2）分、两种情况讨论即可.

【详解】

（1）对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，

因此，实数a的取值范围是.   

（2）.

当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；

当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时

综上所述，

19．（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).

【分析】

（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；

（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.

【详解】

（1）是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.   

设且，则

，

，，在上是增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

，

即，解得.

故实数的取值范围是[0，1).

20．（1）图像见解析；单调递增区间是，单调递减区间是；（2）-1<m<0.

【分析】

（1）根据分段函数的解析式即可画出图象，得出单调区间；

（2）观察图象，数形结合即可得出结果.

【详解】

解：（1）作出的图象，如下图所示， 

由图象可知，单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）观察图象可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，

.

21．（1），；（2）；.

【分析】

（1）先由，解出，再由即可解出，，即可求出的解析式，根据二次函数图像可求出M和m的值；

（2）利用根与系数的关系可求出的表达式，再根据的单调性即可求得结果.

【详解】

解：（1），

可得：，

又因为，故1，2为的两个根

，

解得，，

，，

当时，即，

当时，，即，

（2）由题意可知，方程有两个相等实数根

，

即，

其对称轴为，

又因为，

，

，，

，

又在区间上单调递增函数，

∴时，.

【点睛】

关键点点睛：灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值是解题的关键．

22．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由函数单调性的定义任取，且，通过作差证明即可得证；

（2）由函数的单调性可转化条件为在时恒成立，换元后结合基本不等式求得的最小值即可得解.

【详解】

（1）证明：任取，且，则，，

即，

，

故函数在R上单调递增；

（2），，

原不等式等价于，即，

故在时恒成立，

当时，即.

设，则，，

所以，

当且仅当时，等号成立.

.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化条件为求在时的最小值，结合基本不等式即可得解.