2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（人教版，重庆专用）（含考试版+答题卡+全解全析）

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2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷
数 学
一、单选题
1．一元二次方程x（x﹣2）＝x的根是（　　）
A．2 B．0或2 C．3或0 D．0或﹣3
【答案】C
x（x﹣2）＝x
即

解得
故选C
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解题的关键．注意不能直接两边除以．
2．下列标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义
3．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
如图，连接,

四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，



AB＝BC，


故选B
【点睛】
本题考查了圆内接四边形，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得是解题的关键．
4．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
5．要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式，每两队之间都赛两场，计划安排15场比赛． 设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：设应邀请x个球队参加比赛，
根据题意得：x（x−1）＝15．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
6．如图，已知菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，


根据旋转的性质可得，，




已知菱形的顶点，，，
，


；
故选：B
【点睛】
本题考查了坐标与图形，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
7．在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴第100次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查简单事件概率，掌握等可能事件的概率公式，是解题的关键.
8．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．
9．如图，直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（x＞0）图象交于点C．点D为x轴上一点（点D在点A右侧），连接BD，以BA，BD为边作平行四边形ABDE，E点刚好在反比例函数图象上，连接EC，DC，若S△EAC＝AD2，则k的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
解：∵直线y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（，0），B（0，1），
作EF⊥x轴于F，

∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，DE∥AB，
∴∠DAE＝∠ADB，
在△AEF和△DBO中，
，
∴△AEF≌△DBO（AAS），
∴EF＝OB＝1，AF＝OD，
∴DF＝OA＝，
∴OF＝AD+1，
∵E点刚好在反比例函数图象上，
∴OF＝＝k，
∴AD+1＝k，
∴AD＝k﹣1，
设C的纵坐标为h，
∵DE∥BC，
∴S△ACD＝S△ACE＝AD2，
∴AD•h＝AD2，
∴h＝AD＝k﹣1，
∴C的纵坐标为k﹣1，
代入y＝2x﹣1得，k﹣1＝2x﹣1，
解得x＝k，
∴C（k，k﹣1），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点C．
∴k（k﹣1）＝k，
解得k1＝3，k2＝0（舍去），
∴k＝3，
故选：C．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判断和性质，三角形的面积等，表示出C的坐标是解题的关键．
10．如图，在正方形中，为上一点，交对角线于点，过点作，交于点，连结，交于点．现给出下列结论：①；②；③；④若为的中点，则．其中正确的有（ ）个．

A． B． C． D．
【答案】D
解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴点A、B、G、E四点共圆，
∴∠ABD=∠AGE=45°，
∴∠GAE=∠AGE=45°，
∴，故①正确；
∵∠AHE=∠DHA，∠HAE=∠HDA=45°，
∴△HAE∽△HAD，
∴，
∴，故③正确；
将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到，如图所示：

∴，
∵∠GAF=45°，∠MAF=90°，
∴∠MAG=∠GAF=45°，
∵AG=AG，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
当点F为CD的中点时，则设DF=FC=BM=1，则BC=2，
∴BM =1，
设BG=x，则，
∴在Rt△FCG中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④，共4个；
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题
11．把二次函数y = －2x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ___________________
【答案】y = -2 (x-1) 2 +2
解：平移后的函数解析式为y = －2（x-1）2+2，
故答案为：y = -2 (x-1) 2 +2．
【点睛】
此题考查二次函数图象平移的规律：向左右平移时x的值左加右减，向上下平移时y的值上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．
12．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=______．
【答案】2021
解：将代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0中，
得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
13．抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 _________．
【答案】（0，﹣3）
解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
14．如图，矩形OABC的面积为54，它的对角线OB与双曲线（k≠0）相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为________．

【答案】-24
解：如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，

∵四边形OABC是矩形，
，，
，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
又∵反比例函数图像在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：-24．
【点睛】
此题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．
15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
【答案】600
解：∵s＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点睛】
此题考查求二次函数最大值问题，正确将函数解析式配方为顶点式解析式是解题的关键．
16．如图，已知内接于⊙，，，点是⊙上一点．若为⊙的直径，连接，则的大小为_______．

【答案】21°
解：∵AB=AC，
∴，
∵BD是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是的中点，则CM的长是_____．

【答案】
解：∵矩形ABCD中，
∴，AD=BC，AB=CD，
∵G是CD的中点，AB＝8，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝4+2x，
在Rt△DEG中，EG＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴4+2x＝2，
解得x＝3，
∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，
∴BC＝AD＝7，
BF＝4+2x＝10，
如图，连接HE，

∵FH垂直平分BE，
∴BH＝EH，
∵AH2+AE2＝HE2，
∴（8﹣BH）2+16＝BH2，
∴BH＝5，
∵AB∥CD，
∴△CFM∽△BFH，
∴，
∴，
∴CM＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

【答案】
解：取CD的中点N，

∵AC=4，CD=2
∴AD=CD=2，CN=DN=1
连接PN，PC，BN
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
当点P在BN上有最小值，且最小值为BN
∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了最短距离问题，证明得出是解答本题的关键．
三、解答题
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）8x2﹣8xy+y2；（2）-
解：（1）原式＝9x2﹣6xy+y2﹣x2﹣2xy
＝8x2﹣8xy+y2；
（2）原式＝÷
＝•
＝•
＝﹣．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，能正确根据整式、分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（1）计算：；
（2）解方程组．
【答案】（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2），
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%（手机与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【答案】丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
解：设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x＋2x＋（x＋2x）＋400＝2800，
解得：x＝400；
2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600（万块），
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000（万块），
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000（万部），
则：400（1＋m%）2＋2×400（1＋m%−100%）2＋8000＝28000×（1＋10%），
设m%＝t，
400（1＋t）2＋2×400（1＋t−1）2＋8000＝28000×（1＋10%），
整理得：3t2＋2t−56＝0，
解得：t＝4，或t＝−（舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．
22．如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出ΔA1BC1，使ΔA1BC1与△ABC相似且相似比2：1；
（3）直接写出A1点与C1点的坐标，及ΔA1BC1的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），，面积为8
（1）如图所示，△A2B2C2即为所求作的△ABC关于y轴对称的图形；
（2）如图所示，ΔA1BC1即为所求作的△ABC以B为位似中心，且相似比2：1的图形；

（3）由所画图知，，
ΔA1BC1的面积
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，利用位似变换作图，根据网络结构的特点，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…

1



﹣3
　 　
　 　
　 　
1
　 　
…
（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示，根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

【答案】（1），图见解析；（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；（3）﹣0.2＜x＜0.9或x＞4
解：（1）把下表补充完整如下：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…

1



﹣3
　
　
　
1
　 　
…
函数y＝的图象如图所示：

（2）该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；
（3）由图象可知，不等式x﹣的解集为﹣0.2＜x＜0.9或x＞4．
【点睛】
本题考查了画函数的图像，函数的性质，解答本题的关键是运用数形结合的思想解题．
24．材料一：对于一个四位数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵，∴5247是“间位等和数”；
，∵，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数，记．例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若和都是“间位等和数”，其中，（，，，且，，，均为整数），规定：，若，求的最小值．
【答案】（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2），
其千位数为5，百位数为，十位数为4，个位数为b，
，即，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为，个位数为2，
，即
，

，
，
解得：，
则由或或，
对应的y和b的值分别为：；；，
，，，且，，，均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为；；，
故k的最小值为：0．
【点睛】
本题主要考查新定义下的实数运算，整式的加减，解题的关键是利用类比的思想进行解题．
25．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．

【答案】（1）①20°；②，理由见解析；（2）证明见解析
（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°；
②，理由如下：
∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠DFC+∠DBC＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E+∠DCE＝∠BAC，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，
∴∠E＝∠DAF，
∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），
∴DA＝DE．
【点睛】
本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．
26．综合与探究，如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值．
（3）若点M在直线l上，点N在x轴上．是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）8；（3）存在，，，
（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4
得，
∴，
∴；
（2）当时，，
∴点，
∵点D与点C关于直线l对称，对称轴为直线l：，
∴，
设直线AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴直线AD的函数关系式为：，
设，
作轴交直线AD于E，
∴，
∴，
∴，
当时，最大为＝8，

（3）存在，，，
理由∵点M在直线l上，点N在x轴上，D(3,-4)，A(-1,0)，
设N(n，0)，
①若以A、D、M、N为顶点是四边形是平行四边形ADMN，
∵，
∴-1+=3+n，解得：n=，
∴(，0)；
②若以A、D、M、N为顶点是四边形是平行四边形AMDN，
∵，
∴-1+3=+n，解得：n=，
∴(，0)；
③若以A、D、M、N为顶点是四边形是平行四边形ADNM，
∵，
∴-1+n=3+，解得：n=，
∴(，0)；
综上所述：N的坐标为：(，0)，(，0)，(，0)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积就平行四边形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．