数学5.1 任意角和弧度制导学案

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【新教材】5.1.1 任意角（人教A版）1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．一、 预习导入阅读课本168-170页，填写。1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条        绕着端点从一个位置        到另一个位置所成的        ．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按        方向旋转形成的角负角按        方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与        重合，角的始边与        轴的非负半轴重合，那么，角的        在第几象限，就说这个角是第几        ；如果角的终边        上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝                        ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与        的和．1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角都是锐角．(　　)(2)终边相同的角一定相等．(　　)(3)锐角都是第一象限角．(　　)(4)第二象限角是钝角．(　　)2、2 020°是(　　)A．第一象限角　　　　　　　B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3、与30°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}4、将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．题型一    任意角和象限角的概念例1 　(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)A．A＝B＝C　 B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)A．1个  B．2个  C．3个  D．4个题型二   终边相同的角的表示及应用例2　(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是(　　)A．230°12′　　 B．229°48′C．129°48′ D．130°12′2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．题型三    任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则是(　　)A．第一象限角 B．第一、三象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？  1．若角的终边相同，则的终边在（）A.轴的正半轴上B.轴的负半轴上C.轴的正半轴上D.轴的负半轴上2．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（    ）A． B． C．或 D．或3．下列叙述正确的是（    ）A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．若是第一象限角，则2是第二象限角D．钝角比第三象限角小4．（多选）若角是第二象限角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角5．角的终边在第二象限，则的终边在第______________象限。6．写出在-360°到360°之间与-120°的角终边相同的角。7．在角的集合，（1）有几种终边不同的角？（2）写出区间内的角？（3）写出第二象限的角的一般表示法．               答案 小试牛刀1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．C3．A4. －25°　395°自主探究例1 　【答案】（1）①  （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2)　作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角． 跟踪训练一1．【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．例2　【答案】（1）(－3)×360°＋195°，  （2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.跟踪训练二1.【答案】B 【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．【答案】{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}． 【解析】落在第二象限时，表示为k·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．例3 【答案】(1)B  (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．  ②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【解析】(1)　因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角．所以是第一、三象限角．(2)　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．跟踪训练三1．【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．当堂检测 1-3．ACB4．AC5．三 6. 240°7．【答案】(1) 4种．(2) ．(3) ．【解析】（1）由题知，令，则，∴在给定的角的集各中，终边不同的角共有4种．（2）由，得，∴，∴在区间内的角有．（3）由（1）知，第二象限的角可表示为．