人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教案

【新教材】4.3.2 对数的运算（人教A版）

学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。

课程目标

1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；

2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.

数学学科素养

1.数学抽象：对数的运算性质；

2.逻辑推理：换底公式的推导；

3.数学运算：对数运算性质的应用；

4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本124-125页，思考并完成以下问题

1.对数具有哪三条运算性质？

2. 换底公式是如何表述的？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．对数的运算性质

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，

(2)loga＝logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

[点睛]　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．

2．换底公式

若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．

四、典例分析、举一反三

题型一     对数运算性质的应用

例1 计算下列各式的值:

(1)log2+log224-log284;

(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.

【答案】(1)-   (2)3

【解析】(1)(方法一)原式=log2=log2=-.

(方法二)原式=log2+log2(23×3)-log2(22×3×7)

=log27-log2(25×3)+3+log23-1-log23-log27

=-×5-log23+2+log23=-+2=-.

(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2

=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)

=2+lg 5+lg 2=2+1=3.

解题技巧：（对数运算性质的应用）

1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:

(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;

(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.

跟踪训练一

1.计算下列各式的值

(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0.

(2)2log32-log3+log38-.

【答案】(1) 5   (2) -7

【解析】(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0

=log3+lg 52+lg 22++1

=+2lg 5+2lg 2+=3+2(lg 5+lg 2)

题型二   换底公式的应用

例2 计算下列各式的值:

(1);　(2).

【答案】(1)       (2)    

【解析】(1)原式=.

(2)原式=

=.

解题技巧：（换底公式的应用）

1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.

2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:

跟踪训练二

1.化简:

(1)log23·log36·log68;

(2)(log23+log43)(log32+log274).

【答案】(1) 3   (2)

【解析】(1)原式=log23·=log28=3.

(2)原式=

=log23×log32

=log23×.

题型三 对数的综合应用

例3  (1)若3x=4y=36,求的值;

(2)已知3x=4y=6z,求证:.

【答案】(1) 1   (2)

【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,

∴=2log363=log369,

=log364.

∴=log369+log364=log3636=1.

(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.

所以=logm3,=logm4,=logm6.

故=logm3+logm4=logm3+logm=logm3+logm2

=logm(3×2)=logm6=.

解题技巧：（对数的综合应用）

对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.

跟踪训练三

1.已知3a=7b=M,且=2,求M的值?

【答案】3

【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,

所以=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,

所以M2=63,因为M>0,所以M==3.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本126页习题4.3

本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.