人教版新课标A必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法第2课时课时作业

第2课时　数列的性质与递推公式

双基达标　限时20分钟

1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是    (　　)．

A．R        B．(0，＋∞)

C．(－∞，0)      D．(－∞，0]

解析　∵{an}是递减数列，

∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.

答案　C

2．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为 (　　)．

A．6    B．－3       C．－12    D．－6

解析　由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.

答案　D

3．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是      (　　)．

A．an＝2n       B．an＝

C．an＝       D．an＝

解析　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.

答案　C

4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．

解析　an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.

答案　－9

5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.

解析　由an＋1－an＝ln 知

a2－a1＝ln ，

a3－a2＝ln ，

…

an－an－1＝ln ，

累加得：an＝2＋ln n.

答案　2＋ln n

6．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an.

解　法一(累乘法)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0.

得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.

由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.

∴＝.

∴an＝a1···…·

＝1××××…×＝.

法二　(换元法)由已知得(n＋1)an＋1－nan＝0，

设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0.∴{bn}是常数列．

∴bn＝b1＝1×a1＝1，即nan＝1.

∴an＝.

综合提高　限时25分钟

7．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是          (　　)．

A．an＋1＝an＋n，n∈N*

B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2

C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2

D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2

解析　经验证B选项合适．

答案　B

8．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 011的值为  (　　)．

A.      B.     C.     D.

解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝.

答案　A

9．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.

解析　∵∴

∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.

答案　2

10．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．

解析　令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.

∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0，

∴S10＝S11且为Sn的最大值．

答案　10或11

11．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．

解　由已知得an＝＝－，

∴an＋1－an＝－－

＝<0，

∴数列{an}是递减数列．

12．(创新拓展)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.

(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？

(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．

(1)解　∵an＝＋＋＋…＋，

∴an＋1＝＋＋＋…＋

＝＋＋＋…＋＋＋，

∴an＋1－an＝＋－＝－，

又n∈N*，∴2n＋1<2n＋2，

∴an＋1－an>0.

∴数列{an}是递增数列．

(2)证明　由(1)知数列{an}为递增数列．

所以数列{an}的最小项为a1＝，∴an≥a1＝，

即an≥对一切正整数恒成立．