数学必修52.1 数列的概念与简单表示法第1课时课后测评

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课时过关·能力提升
基础巩固
1下列说法不正确的是( ).
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
解析:数列中的项可以相等,如常数列,故选项C不正确.
答案:C
2已知在数列{an}中,an=n2+n,则a3等于( ).
A.3B.9C.12D.20
解析:a3=32+3=12.
答案:C
3数列1,3,7,15,31,…的一个通项公式为( ).
A.an=2nB.an=2n+1C.an=2n-1D.an=2n-1
答案:C
4在数列{an}中,已知an=nn+1,则{an}是( ).
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列
解析:∵an=nn+1=1-1n+1,∴{an}是递增数列.
答案:A
5已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+…+a10等于( ).
A.-55B.-5C.5D.55
解析:a1+a2+a3+…+a10
=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.
答案:C
6设数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( ).
A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项
解析:易得数列的一个通项公式为an=3n-1,
令3n-1=25,得n=7,即25是这个数列的第7项.
答案:B
7已知函数f(x)=3x,点(n,an)在函数f(x)的图象上,则数列{an}的通项公式an= .
解析:∵点(n,an)在f(x)的图象上,∴an=f(n)=3n.
答案:3n
8数列152,245,3510,4817,6326,…的一个通项公式为____________________.
解析:观察分子与分母,分母为n2+1,分子为(n+3)2-1,所以其通项为an=(n+3)2-1n2+1=n2+6n+8n2+1.
答案:an=n2+6n+8n2+1
9已知在数列{an}中,an=5n-3.
(1)求a5;
(2)判断27是不是数列{an}的一项.
解(1)a5=5×5-3=22.
(2)令5n-3=27,解得n=6,即27是数列{an}的第6项.
10写出下列数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)23,415,635,863,1099;
(2)1,0,-13,0,15,0,-17,0.
解(1)原数列的前5项可化为222-1,2×242-1,2×362-1,2×482-1,2×5102-1,故它的一个通项公式是an=2n(2n)2-1=2n4n2-1.
(2)该数列可写为1,02,-13,04,15,06,-17,08,…,该数列第n项的分母为n,分子是sinnπ2的值.故它的一个通项公式是an=sinnπ2n.
能力提升
1数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式如下:
①an=1+(-1)n+12; ②an=sin2nπ2;
③an= cs2(n-1)π2; ④an=1,n是奇数,0,n是偶数.
其中正确的个数是( ).
A.1B.2
C.3D.4
解析:可以验证①②③④均可以是该数列的通项公式.
答案:D
2数列23,-45,67,-89,…的第10项是( )
A.-1617 B.-1819
C.-2021 D.-2223
解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一项进行分解:符号、分母、分子.
很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)n+1·2n2n+1,故a10=-2021.
答案:C
3已知在数列{an}中,an=2n2-3n+5,则数列{an}是( ).
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.摆动数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)2-3(n+1)+5-(2n2-3n+5)
=(2n2+n+4)-(2n2-3n+5)=4n-1>0,
∴数列{an}为递增数列.
答案:A
4数列{an}的通项公式an=lg(n+1)(n+2),则它的前30项之积是( ).
A.15
B.5
C.6
D.lg23+lg31325
解析:a1a2…a30=lg23×lg34×…×lg3132=lg3lg2×lg4lg3×…×lg 32lg 31=lg232=lg225=5.
答案:B
5已知数列{an}的通项公式an=1n(n+2)(n∈N*),则1120是这个数列的第______________项.
解析:令an=1120,得1n(n+2)=1120,解得n=10或-12.
又n∈N*,则n=10.
答案:10
6传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagras,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是 .
解析:三角形数依次为1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为1+2+3+4+…+10=55.
答案:55
★7已知数列9n2-9n+29n2-1,
(1)求这个数列的第10项.
(2)98101是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.
(4)在区间13,23内有没有数列中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.
(1)解设f(n)=9n2-9n+29n2-1=(3n-1)(3n-2)(3n-1)(3n+1)=3n-23n+1.
令n=10,得第10项a10=f(10)=2831.
(2)解令3n-23n+1=98101,得9n=300.
此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.
(3)证明∵an=3n-23n+1=3n+1-33n+1=1-33n+1,
又n∈N*,∴0<33n+1<1,∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内.
(4)解令13则3n+1<9n-6,9n-6<6n+2,即n>76,n<83.
∴76∵n∈N*,∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间13,23内有数列中的项,且只有一项为a2=47.