高中数学2.1 数列的概念与简单表示法同步练习题

第二章　数列

2.1　数列的概念与简单表示法

基础过关练

题组一　对数列概念的理解

1.下列说法正确的是(　　)

A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}

B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列

C.数列0,2,4,6,…可记为{2n}

D.数列的第k项为1+

2.下面四个结论:

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;

②数列若用图象表示,从图象上看是一系列孤立的点;

③数列的项数是无限的;

④数列的通项公式是唯一的.

其中正确的是(　　)

A.①② B.①②③

C.②④ D.①②③④

题组二　数列的通项公式

3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-2n-8(n∈N*),则a4=(　　)

A.1 B.2 C.0 D.3

4.数列0,,,,,…的一个通项公式为an=(　　)

A. B. C. D.

5.(2019山东菏泽高二期末)设an=++++…+(n∈N*),则a2=(　　)

A.      B.+

C.++ D.+++

6.如图,由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:

通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为(　　)

A.3n-1 B.3n C.3n+1 D.3(n+1)

7.如果数列{an}的通项公式满足=n-2(n∈N*),那么15是这个数列的第　　　　项.

题组三　数列的递推公式

8.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　)

A.an+1=an+n,n∈N*

B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2

C.an+1=an+(n-1),n∈N*

D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2

9.在数列{an}中,a1=2,a2=5,且an+1=an+2+an,则a6的值为(　　)

A.-3 B.-11 C.-5 D.19

10.已知数列{an}中,an-1=man+1(n∈N*,n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)

A.0 B. C.2 D.5

11.数列{an}中,若an+1=,a1=1,则an=　　　　.

12.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.

题组四　数列的性质

13.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.摆动数列 D.常数列

14.数列{an}中,若a1=1,an+1=-1,则a2 020=(　　)

A.-1 B.- C. D.1

15.数列{an}中,an=-2n2+29n+3(n∈N*),则此数列中的最大值是(　　)

A.107      B.108

C.108 D.109

能力提升练

一、选择题

1.(2019广东珠海一中高二期末,★★☆)把3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是(　　)

A.28 B.29 C.32 D.36

2.(★★☆)给出以下通项公式:

①an=[1-(-1)n];②an=;

③an=其中可以作为数列,0,,0,,0,…的通项公式的是(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

3.(2020吉林省实验中学高一期末,★★☆)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则

a2 020的值为(　　)

A.2 B.-3 C.- D.

4.(2020安徽六安一中高二上月考,★★☆)已知数列{an}中,a1=b(b为任意实数),an+1=-(n∈N*),则能使an=b成立的n的值可以为(　　)

A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022

5.(2019山东招远一中高二月考,★★☆)已知an=(n∈N*),则在数列{an}的前50项中,最小项和最大项分别是(　　)

A.a1,a50 B.a1,a8

C.a8,a9 D.a9,a50

6.(2019四川绵阳南山中学高二期末,★★★)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+lg,则an=(　　)

A.2+lg n B.2+(n-1)lg n

C.2+nlg n D.1+nlg n

二、填空题

7.(2019山西大学附属中学高二期末,★★☆)数列2,5,11,20,32,x,…中的x的值为　　　　.

8.(★★☆)在数列{an}中,a1=3,且an+1=(n∈N*),则数列的通项公式an=　　　　.

9.(2019河北石家庄第二中学高二月考,★★☆)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.

10.(★★★)已知数列{an}满足an+1=若a1=,则

a2 020=　　　　.

三、解答题

11.(★★☆)写出下列数列的一个通项公式.

(1)-,,-,,…;

(2)2,3,5,9,17,33,…;

(3),,,,,…;

(4)1,,2,,….

12.(2019浙江嘉兴第一中学月考,★★★)在数列{an}中,an=(n+1)·.

(1)讨论数列{an}的单调性;

(2)求数列{an}的最大项.

答案全解全析

基础过关练

1.D　A中{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中两个数列的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;C中的数列应记为{2(n-1)}.A、B、C均错,故选D.

2.A　数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是an=sin,也可以是an=cos,④错.故选A.

3.C　因为an=n2-2n-8(n∈N*),所以a4=42-2×4-8=16-8-8=0,故选C.

4.C　数列0,,,,,…,即数列,,,,,…,所以该数列的一个通项公式为an=.

5.C　∵an=++++…+(n∈N*),∴a2=++.故选C.

6.C　通过观察,第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴棒有(4+3)根;第3个图形中,火柴棒有4+3+3=(4+3×2)根;第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=(4+3×3)根;……,以此类推,可以发现,第n个图形中,火柴棒的根数为4与(n-1)个3的和,即4+3(n-1)=3n+1.

7.答案　5

解析　由=n-2(n∈N*)可知,an=n2-2n.令n2-2n=15,解得n=5或n=-3(舍).

8.B　由已知得,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,经检验,B正确.

9.A　由题知:an+2=an+1-an,将a1=2,a2=5代入得,a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-5,

a6=a5-a4=-3.

10.B　由递推公式知a2=ma3+1,故3=5m+1,解得m=.

11.答案　

解析　由已知可推得:a2=,a3=,a4=,a5=,……,归纳得an=.

12.答案　an=n

解析　解法一:由已知整理得(n+1)an=nan+1,则=,所以数列是常数列,且==1,所以an=n(n∈N*).

解法二:当n≥2时,=,=,……,=,=,

以上各式两边分别相乘得=n,所以an=n(n∈N*).

13.A　由于an===-是关于n的增函数,所以数列{an}是递增数列.

14.B　由题意知,a1=1且an+1=-1,令n=1,得a2=-,再令n=2,得a3=1,所以数列{an}是周期为2的周期数列.故a2 020=a2=-.

15.B　由已知,得an=-2n2+29n+3=-2×+108,由于n∈N*,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.

能力提升练

一、选择题

1.D　设3,6,10,15,21,…为数列{an},则an=,当n=7时,a7==36.

2.D　经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.

3.D　由题意得a2==-3,a3==-,a4==,a5==2,所以数列{an}是以4为周期的周期数列,所以a2 020=a4=.

4.B　由题意知,a2=-=-,a3=-,a4=b,所以数列{an}是以3为周期的周期数列.在a2 019,a2 020,a2 021,a2 022中,a2 020=a1=b.故选B.

5.C　因为y==1+在(-∞,)上单调递减,在(,+∞)上单调递减,所以当x∈(-∞,)时,y∈(-∞,1),此时an∈[a8,a1]⊆(-∞,1);当x∈(,+∞)时,y∈(1,+∞),此时an∈[a50,a9]⊆(1,+∞),因此数列{an}的前50项中,最小项和最大项分别为a8,a9.

6.A　解法一:由已知得an+1-an=lg,

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lg+lg+…+lg+2

=lg+2=lg n+2.

解法二:由an+1=an+lg得,an+1=an+lg(n+1)-lg n,

所以an+1-lg(n+1)=an-lg n=a1-lg 1=2,

即数列{an-lg n}是常数列,且an-lg n=2,所以an=2+lg n.

二、填空题

7.答案　47

解析　观察已知有:5-2=3,11-5=6,20-11=9,32-20=12,则x-32=15,所以x=47.

8.答案　

解析　由已知得a2=32,a3=34,a4=38,归纳得an=.

9.答案　61

解析　由题图得, f(1)=1=2×1×0+1,

f(2)=1+3+1=2×2×1+1,

f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1,

f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,

故f(n)=2n(n-1)+1.

当n=6时, f(6)=2×6×5+1=61.

10.答案　

解析　由题意可得,a2=2a1-1=2×-1=,a3=2a2-1=2×-1=,a4=2a3=2×=,故数列{an}是以3为周期的周期数列.所以a2 020=a1=.

三、解答题

11.解析　(1)第n项的符号为(-1)n,分子都是1,分母是n2+1,

∴an=(-1)n·.

(2)∵a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,∴an=2n-1+1.

(3)∵a1==,a2==,a3==,a4==,……,

∴an=.

(4)∵a1=1=,a2=,a3=2=,a4=,……,∴an=.

12.解析　(1)由题意,知an>0.

令>1(n≥2),即>1(n≥2),解得2≤n<10,即a9>a8>…>a1.

令>1,即>1,整理,得>,解得n>9,即a10>a11>….

又=1,所以数列{an}从第1项到第9项递增,从第10项起递减.

(2)由(1),知a9=a10=最大.