人教A版 (2019)1.4 充分条件与必要条件教学设计

1.4.2 充要条件

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第一章)

一、教学目标

1.掌握充要条件的定义；

2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；

3.理解数学定义与充要条件的关系.

二、教学重难点

1.教学重点：充要条件的相关概念.

2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.

三、教学过程

1.复习回顾

问题1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？

答1: 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.

      勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.

      在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____充分___条件;

                    “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____必要_____条件.

问题2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？

答2: 设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.

      勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形.

      在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____必要___条件;

                          “a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____充分_____条件.

问题3:勾股定理及其逆定理有何关系？

答3: 勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.

【教师讲授】将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.

【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。

2.数学建构

思考1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；

(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．

答1: (1)和(4)原命题与逆命题都是真命题.

【教师讲授】如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp ，就记作pq .

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.

 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

【设计意图】结合实例，让学生体会和理解原命题与逆命题之间的关系，并掌握充要条件的定义.

思考2：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.

答2: (2)原命题真，逆命题假，即，且；

(3) 原命题假，逆命题真，即，且；

3.归纳小结

【教师讲授】(1) 若，且，则称p是q的充分不必要条件；

(2)  若，且，则称p是q的必要不充分条件；

(3)  若，且，则称p是q的充要条件；

(4)  若，且，则称p是q的既不充分也不必要条件．

【设计意图】结合实例，初步认识充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的定义.

4.知识应用

【例3】下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；

(2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；

(3) p:xy>0， q:x>0 ，y>0；

(4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0 (a ≠ 0)．

【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念的理解，学会判断p是否为q的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对p不是q的充要条件的题，具体分析出p与q的关系.

【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”

(1)“四边形的两组对角分别相等”；

(2)“四边形的两组对边分别相等”；

(3) “四边形的一组对边平行且相等”；

(4) “四边形的对角线互相平分”．

思考3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？

【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他4个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。给出思考3让学生课后去研究，从而引发学生对充要条件与数学定义之间关系的更深入的思考.

【例4】已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.

【设计意图】本题为一道证明题，要证明p是q的充要条件.在证明前先要引导学生分析，充要条件需要从“充分性”和“必要性”两方面进行证明，同时还要引导学生发现本题中的描述与前面例子的区别与练习，即“q的充要条件是p”实际上就是说“p是q的充要条件”.另外，前例中侧重对充要条件的理解，考查学生是否掌握了判断充要条件的基本方法，而本题侧重证明，因此更注重数学知识本身的考查.

5.课堂小结

(1) 充要条件的定义

(2) 充要条件与数学定义的关系

【设计意图】通过2个问题，回顾总结本节课所学的知识.

6. 当堂检测

完成课本22页的练习1,2,3.

1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；

(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；

(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．

2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.

3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.

【设计意图】通过当堂检测，对本节课学生所学的知识进行检查，掌握学生的学习情况与教学效果.