数学2.4 抛物线当堂达标检测题

这是一份数学2.4 抛物线当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是( )
A．|x0－eq \f(p,2)| B．|x0＋eq \f(p,2)|
C．|x0－p| D．|x0＋p|
[答案] B
[解析] 利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋eq \f(p,2)；当p<0时，p到准线的距离为d＝－eq \f(p,2)－x0＝|eq \f(p,2)＋x0|.
2．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
[答案] B
[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)，又准线方程为x＝－7，∴p＝14.
3．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示( )
A．F到l的距离
B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标
D．F到l的距离的eq \f(1,4)
[答案] B
[解析] 设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝eq \f(p′,2)，故P表示焦点到y轴的距离．
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 设F为抛物线y2＝4x的焦点，则由抛物线的定义知|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝10.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则一定有eq \f(y1y2,x1x2)等于( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
[答案] B
[解析] 设过焦点的直线方程为x＋ay－eq \f(p,2)＝0(a∈R)，则代入抛物线方程有y2＋2apy－p2＝0，故由根与系数的关系知y1y2＝－p2.又由yeq \\al(2,1)＝2px1，①
yeq \\al(2,2)＝2px2，②
①②相乘得yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2，∴x1x2＝eq \f(p2,4)，
∴eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x,y＝kx－2))得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则eq \f(4(k＋2),k2)＝4，即k＝2.
7．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(y1＋y2,2))，∴eq \f(y1＋y2,2)＝2，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1 ①,y\\al(2,2)＝2px2 ②))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2p(x1－x2)⇒eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)＝eq \f(p,\f(y1＋y2,2))，∴kAB＝1＝eq \f(p,2)⇒p＝2，∴y2＝4x，∴准线方程式为：x＝－1，故选B.
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
[答案] B
[解析] 依题意F(1,0)设A点坐标为(x，y)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝x(1－x)＋y(－y)＝x－x2－y2，
x－x2－4x，＝－x2－3x＝－4.
即x2＋3x－4＝0解之得x＝1或x＝－4
又∵x≥0，∴x＝1，y2＝4，y＝±2.
∴A(1，±2)．
9．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x＋2＝0相切．∴动圆过定点F(2,0)，故选B.
10．(2008·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C．(1,2) D．(1，－2)
[答案] A
[解析] 依题意，抛物线的焦点F(1,0)，准线为lx＝－1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|＋|PF|＝|QP|＋|PM|＝|QM|＝3为所求的最小值，此时Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)).故选A.
二、填空题
11．P点是抛物线y2＝4x上任一点，到直线x＝－1的距离为d，A(3,4)，|PA|＋d的最小值为________．
[答案] 2eq \r(5)
[解析] 设抛物线焦点为F(1,0)
则d＝|PF|，∴|AP|＋d＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝eq \r((3－1)2＋(4－0)2)＝2eq \r(5).
12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案] 2x－y＋4＝0
[解析] 设y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处切线方程为y－1＝k(x－1)，
联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x2－4x＋2，,y－1＝k(x－1)，))
∴3x2－(k＋4)x＋(k＋1)＝0.
∵Δ＝0，∴k＝2.
∴过P(－1,2)与切线平行的直线为2x－y＋4＝0.
13．已知点P在抛物线y2＝2x上运动，点Q与点P关于(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是________．
[答案] y2－4y＋2x＝0
[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＋x＝2，,y0＋y＝2))∴x0＝2－x，y0＝2－y，
又P(x0，y0)在y2＝2x上，
∴(2－y)2＝2(2－x)
即y2－4y＋2x＝0.
14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq \r(3)的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))，则p＝______.
[答案] 2
[解析] 如图，设B(x0，y0)，则MK＝eq \f(1,2)BH，
则x0＋eq \f(p,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(p,2)))有x0＝eq \f(p,2)＋2.
可得y0＝eq \r(p2＋4p)，又直线AB方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入有eq \r(p2＋4p)＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋2－1))，解得p＝2.
三、解答题
15．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：
①只有一个公共点；
②有两个公共点；
③没有公共点．
[解析] 由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝k(x＋2)，,y2＝4x，))消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝eq \f(1,4)，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(eq \f(1,4)，1)．
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq \f(1,2)，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1③当Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k>eq \f(1,2)或k<－1，
此时，直线l与抛物线没有公共点．
综上所述可知当k＝0或k＝－1或k＝eq \f(1,2)时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>eq \f(1,2)时，直线l与抛物线没有公共点．
16．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于eq \r(10)时， 求k的值．
[解析] (1)证明：如图所示，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－x,y＝k(x＋1)))消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以yeq \\al(2,1)＝－x1，yeq \\al(2,2)＝－x2，yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝x1x2，因为kOA·kOB＝eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(1,y1y2)＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝eq \f(1,2)|ON||y1|＋eq \f(1,2)|ON||y2|＝eq \f(1,2)|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝eq \f(1,2)·1·eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq \f(1,2)eq \r((\f(1,k))2＋4)，因为S△OAB＝eq \r(10)，所以eq \r(10)＝eq \f(1,2)eq \r(\f(1,k2)＋4)，解得k＝±eq \f(1,6).
17．设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|＝8eq \r(5)，求△FAB的面积．
[解析] 设AB方程为y＝x＋b，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,y2＝8x.))消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|
＝eq \r(2)×eq \r((x1＋x2)2－4x1·x2)
＝eq \r(2[(8－2b)2－4b2])＝8eq \r(5)，
解得：b＝－3.
∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0，
∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为
d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).∴S△FAB＝eq \f(1,2)×8eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(10).
18．已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．
[解析] 设抛物线上的点A(yeq \\al(2,1)，y1)，B(yeq \\al(2,2)，y2)关于直线l对称．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k·\f(y1－y2,y\\al(2,1)－y\\al(2,2))＝－1,\f(y1＋y2,2)＝k(\f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),2)－1)＋1))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－k,y1y2＝\f(k2,2)＋\f(1,k)－\f(1,2)))，
∴y1、y2是方程t2＋kt＋eq \f(k2,2)＋eq \f(1,k)－eq \f(1,2)＝0的两个不同根．
∴Δ＝k2－4(eq \f(k2,2)＋eq \f(1,k)－eq \f(1,2))>0
得－2