高中数学人教版新课标B选修2-12.4 抛物线课时训练

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-12.4 抛物线课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p B．5p
C．6p D．8p
[答案] A
[解析] |PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2eq \r(5))到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：
y2＝－2px(p>0)，
由题意，得eq \f(p,2)＋5＝6，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
3．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线和一条射线
C．椭圆 D．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x0，∴p＝4.故选C.
8．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )
A．4 B.eq \r(74)
C.eq \r(17)－1 D.eq \r(34)－1
[答案] D
[解析] 因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝eq \r((4－1)2＋52)－1＝eq \r(34)－1.
9．已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，l与C有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．1条、2条或3条
[答案] C
[解析] 将直线l和C的方程联立，消去y，得
k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
当k＝0时，方程①只有一个解，x＝0.
所以直线l与C只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为y＝0，当k≠0时Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，此时l与C有一个公共点，l与C相切．
综上可知，当k＝0或k＝±1时，l与C有一个公共点．
10．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] 本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，B(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)·(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f((y1y2)2,16)＋y1y2＝eq \f((－4)2,16)－4＝－3，故选D.
二、填空题
11．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m＝________.
[答案] ±4eq \r(2)
[解析] x1＋eq \f(p,2)＝4，p＝4，∴y2＝8x，
将A(4，m)代入，解得m＝±4eq \r(2).
12．抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．
[答案] 1或9
[解析] 设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)
由题意，得y0＝6，x0＋eq \f(p,2)＝10，
又yeq \\al(2,0)＝2px0，解得x0＝1或9.
13．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义，基本知识点．
设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)
抛物线y2＝4x，焦点为(1，c)，准线为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
14．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4eq \r(3)，则焦点到AB的距离为________．
[答案] 2
[解析] 由题意，设A点坐标为(x,2eq \r(3))，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
三、解答题
15．根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点是F(3,0)．
(2)准线方程是x＝－eq \f(1,4).
(3)焦点到准线的距离是2.
[解析] (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，又焦点F(3,0)，∴p＝6，
∴抛物线方程为y2＝12x.
(2)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
又准线方程为x＝－eq \f(1,4)，∴p＝eq \f(1,2)，
∴抛物线方程为：y2＝x.
(3)∵焦点到准线的距离为2，
∴抛物线的标准方程为y2＝±4x或x2＝±4y.
16．求证：以抛物线y2＝2px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
[证明] 如图，过A、B分别作AC、BD垂直于l，垂足为C、D，取AB中点M，作MH⊥l于H.
由抛物线定义，知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.
∴|AB|＝|AC|＋|BD|.
又ACDB是梯形，MH是其中位线，
∴|MH|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq \f(1,2)|AB|.∴|MH|是圆M的半径，从而命题得证．
17．如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．
[解析] 如下图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线y＝x2的准线上的射影分别为A′，M′，B′，
由抛物线的定义，得
|AF|＝|AA′|＝y1＋eq \f(1,4)，
|BF|＝|BB′|＝y3＋eq \f(1,4)，
∴y1＝|AF|－eq \f(1,4)，y3＝|BF|－eq \f(1,4).
又M是线段AB的中点，
∴y2＝eq \f(1,2)(y1＋y3)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|－eq \f(1,2))≥eq \f(1,2)(|AB|－eq \f(1,2))
＝eq \f(1,4)(2a－1)
当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为eq \f(1,4)(2a－1)．
18．点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解析] 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，
设P(2yeq \\al(2,1)，y1)，则
|PM|2＝(2yeq \\al(2,1)－2)2＋yeq \\al(2,1)＝4yeq \\al(4,1)－7yeq \\al(2,1)＋4
＝4(yeq \\al(2,1)－eq \f(7,8))2＋eq \f(15,16)≥eq \f(15,16).
∴|PM|≥eq \f(\r(15),4)，
∴|PQ|min＝|PM|min－1＝eq \f(\r(15),4)－1.
此时P点的坐标为(eq \f(7,4)，eq \f(\r(14),4))或(eq \f(7,4)，－eq \f(\r(14),4))．