高中数学人教版新课标B选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线课后复习题

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线课后复习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2009·宁夏、海南)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2eq \r(3) B．2
C.eq \r(3) D．1
[答案] A
[解析] 本题主要考查双曲线的几何性质．
由双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1得焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，
∴焦点到渐近线的距离d＝eq \f(|4\r(3)|,\r(3＋1))＝2eq \r(3).
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq \r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
[答案] B
[解析] 顶点为(0,2)，∴a＝2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq \r(2)倍，∴有4＋2b＝eq \r(2)·2c，且4＋b2＝c2，解得b＝2.
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(5))
B．(1，eq \r(5))∪(eq \r(5)，＋∞)
C．(eq \r(5)，＋∞)
D．[eq \r(5)，＋∞)
[答案] C
[解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率eq \f(b,a)>2时，才能保证y＝2x与双曲线有公共点，
∴eq \f(c2－a2,a2)>4，即eq \f(c2,a2)>5.
∴eq \f(c,a)>eq \r(5).
4．如果eq \f(x2,|k|－2)＋eq \f(y2,1－k)＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是( )
A．(1，＋∞)B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(1,2)
[答案] A
[解析] 方程化为：eq \f(y2,k－1)－eq \f(x2,|k|－2)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－1>0，,|k|－2>0.))∴k>2.
又c＝eq \r(k－1＋(k－2))＝eq \r(2k－3)>1，
故选A.
5．(2009·四川)已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq \r(3)，y0)在该双曲线上，则eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
又点P(eq \r(3)，y0)在双曲线上，∴yeq \\al(2,0)＝1，
∴eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－2－eq \r(3)，－y0)·(2－eq \r(3)，－y0)
＝－1＋yeq \\al(2,0)＝0，故选C.
6．已知椭圆eq \f(x2,3m2)＋eq \f(y2,5n2)＝1和双曲线eq \f(x2,2m2)－eq \f(y2,3n2)＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±eq \f(\r(15),2)y B．y＝±eq \f(\r(15),2)x
C．x＝±eq \f(\r(3),4)y D．y＝±eq \f(\r(3),4)x
[答案] D
[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(eq \r(3m2－5n2)，0)，
双曲线焦点(eq \r(2m2＋3n2)，0)．
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.
∴m2＝8n2.
又∵双曲线渐近线为y＝±eq \f(\r(6)·|n|,2|m|)·x，
∴代入m2＝8n2，|m|＝2eq \r(2)|n|，得y＝±eq \f(\r(3),4)x.
7．如果双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(3) D．2eq \r(2)
[答案] A
[解析] ∵双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，又两渐近线互相垂直，所以a＝b，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(2)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(5,3)
C．2 D.eq \f(7,3)
[答案] B
[解析] 由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝eq \f(2,3)a，设P(x0，y)，则x0>0，∴eq \f(2,3)a＝ex0－a，∴e＝eq \f(5a,3x0).
∵|x0|≥a，∴eq \f(a,x0)≤1.∴e＝eq \f(5,3)·eq \f(a,x0)≤eq \f(5,3).故选B.
9．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 如图：
由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：
|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，
∴渐近线方程：y＝±eq \f(4,3)x.故选C.
10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(eq \r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq \f(2,3)，则此双曲线方程是( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1
[答案] D
[解析] 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，依题意c＝eq \r(7)，∴方程可化为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,7－a2)＝1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,7－a2)＝1，,y＝x－1，))得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(－2a2,7－2a2).
∵eq \f(x2＋x2,2)＝－eq \f(2,3)，∴eq \f(－a2,7－2a2)＝－eq \f(2,3)，
解得a2＝2.故所求双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1.
二、填空题
11．与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．
[答案] eq \f(2x2,5)－eq \f(2y2,5)＝1
[解析] ∵双曲线的两渐近线互相垂直，
∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝eq \f(5,2).
12．(2008·安徽)已知双曲线eq \f(x2,n)－eq \f(y2,12－n)＝1的离心率为eq \r(3)，则n＝________.
[答案] 4
[解析] ①若焦点在x轴上，a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(12),\r(n))＝eq \r(3)，∴n＝4.
②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，
∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.
13．已知点F、A分别为双曲线Ceq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则双曲线的离心率为________．
[答案] eq \f(1＋\r(5),2)
[解析] 由已知F(－c,0)，A(a,0)，
∴eq \(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，
∴由eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0得－ac＋b2＝0，
即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，
解得e＝eq \f(1＋\r(5),2)(另一根舍去)．
14．(2008·江西)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．
[答案] eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1
[解析] 易知右顶点为(a,0)，∴eq \f(|a|,\r(1＋3))＝1，
a＝2，又双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程也是y＝±eq \f(b,a)x，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，a＝eq \r(3)b，b＝eq \f(2\r(3),3)，
∴双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1.
三、解答题
15．已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，求双曲线的方程．
[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，则另一条为x＋eq \r(3)y＝0，可设双曲线方程为
x2－3y2＝λ(λ>0)，即eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,\f(λ,3))＝1.
由椭圆方程eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,16)＝1可知
c2＝a2－b2＝64－16＝48.
双曲线与椭圆共焦点，则λ＋eq \f(λ,3)＝48，
∴λ＝36.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,36)－eq \f(y2,12)＝1.
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
eq \f(x2,64－λ)－eq \f(y2,λ－16)＝1，
由渐近线方程y＝eq \f(1,\r(3))x可得eq \f(λ－16,64－λ)＝eq \f(1,3).
∴λ＝28.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,36)－eq \f(y2,12)＝1.
16．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12eq \r(3)，又离心率为2.求双曲线的方程．
[解析] 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝eq \f(c,a)＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理，得
(2c)2＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cs60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|，
又S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin60°＝12eq \r(3)，
∴|PF1|·|PF2|＝48，
∴3c2＝48，c2＝16得a2＝4，b2＝12.
所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
17．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点A(eq \r(14)，eq \r(5))，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为eq \f(4,3)，求此双曲线方程．
[解析] 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为
d1＝eq \f(|\r(14)b＋\r(5)a|,\r(a2＋b2))，d2＝eq \f(|\r(14)b－\r(5)a|,\r(a2＋b2))，
已知d1d2＝eq \f(4,3)，故eq \f(|14b2－5a2|,a2＋b2)＝eq \f(4,3)①
又A在双曲线上，则14b2－5a2＝a2b2，②
②代入①，得3a2b2＝4a2＋4b2，③
联立②、③解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1.
18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；
(3)求△F1MF2的面积．
[解析] (1)∵e＝eq \r(2)，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－eq \r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：易知F1(－2eq \r(3)，0)、F2(2eq \r(3)，0)，
∴kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝－eq \f(m2,3)，
∵点(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，
∴MF1⊥MF2.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq \r(3)，
F1F2上的高h＝|m|＝eq \r(3)，
∴S△F1MF2＝6.