中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第35讲 矩形、菱形、正方形（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点三十五：矩形、菱形、正方形

聚焦考点☆温习理解

一、矩形 

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)矩形的四个角都是直角

(3)矩形的对角线相等

(4)矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×宽=ab

二、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)菱形的四条边相等

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形[来源:学科网]

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

三、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。学科！网

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形(或矩形)；

最后证明它是矩形(或菱形)

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=

名师点睛☆典例分类

考点典例一、矩形的性质与判定

【例1】(2019•山东青岛•8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【举一反三】

1. . 如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是_____．

【例2】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；

(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【举一反三】

(2018年湖北省武汉市晒湖中学数学中考模拟试题(一))已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为_____．

考点典例二、菱形的性质与判定

【例3】(2019·山东滨州)如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，求四边形的面积．

【举一反三】

1. (2019•江苏宿迁•8分)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)求线段EF的长．

2. (2019·广西贺州·8分)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．

【例4】(2019•广东广州•3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为(　　)

A．4 B．4 C．10 D．8

【举一反三】

(2019·贵州贵阳·3分)如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(　　)

A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm

考点典例三、正方形的性质与判定

【例5】(2019•海南•13分)如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q．

(1)求证：△PDE≌△QCE；

(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【举一反三】

(2019·天津)如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

【例6】(2019•浙江湖州•4分)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　 ．

【举一反三】

(湖南省邵阳县黄亭市镇中学2017~2018学年九年级数学(上)期末检测模拟题)如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是_____．(填序号)

考点典例四、特殊平行四边形综合题

【例4】．(2019•四川自贡•12分)(1)如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①线段DB和DG的数量关系是　DB＝DG　；

②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．

(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．

【举一反三】

(2019湖北咸宁市3分)如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：

①CQ＝CD；

②四边形CMPN是菱形；

③P，A重合时，MN＝2；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．

其中正确的是　 　(把正确结论的序号都填上)．

课时作业☆能力提升

一、选择题

1．如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为(   )

A. 52    B. 48    C. 40    D. 20

2. ．如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于E，则下列结论不一定成立的是(   )

A.     B.

C.     D.

3．(2018广西贵港)如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是(　　)

A．6     B．3      C．2      D．4.5

4. 用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是(  )

A. (A)    B. (B)    C. (C)    D. (D)

5. 下列命题正确的是

A. 平行四边形的对角线互相垂直平分    B. 矩形的对角线互相垂直平分

C. 菱形的对角线互相平分且相等    D. 正方形的对角线互相垂直平分

6. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是(   )

A.     B. 2    C.     D. 4

7. (2018浙江温州中考模拟)如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为(    )

A.3     B.     C.     D.4

8. (2018广西南宁)如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为(　　)

A．          B．       C．       D．

二、填空题

1. 2019•四川省凉山州•5分)如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B、C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为　4　．

2. . (2018年湖北省黄梅中考模拟试题)如图，四边形ABCd为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是　   　．

3. (2017-2018学年天津市蓟州区第三联合学区九年级(上)联考数学试卷(12月份))Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．

4. 如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为E，边与相交于点，则的长为__________．

5．(2018湖北黄冈中考模拟)如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　   　．

6. (2017重庆A卷第18题)如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　   　．

三、解答题

1. 小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形的边，上，，求证：.

(1)小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把绕点A旋转得到，使，点E，F分别在边，上，如图2，此时她证明了.请你证明.

(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明.

(3)如果在原题中添加条件：，，如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).

2. (山东省济南市长清区2018届九年级3月质量(模拟)检测数学试题)(1)如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD.求证：AO=OB.

(2)如图，AB是的直径，PA与相切于点A，OP与相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.

3. 如图,点M是正方形边CD上一点,连接,作于点E,手点F,连接．

(1)求证:；

(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．

4. (2019•湖南株洲•8分)如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC.BD的交点，连接CE.DG．

(1)求证：△DOG≌△COE；

(2)若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．