中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第29讲 尺规作图（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点二十九：尺规作图

聚焦考点☆温习理解

1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺[来源:学科网]

2．基本作图

(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；

(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；

(3)作角的平分线；

(4)作线段的垂直平分线；

(5)过一点作已知直线的垂线．

3．利用基本作图作三角形

(1)已知三边作三角形；

(2)已知两边及其夹角作三角形；

(3)已知两角及其夹边作三角形；

(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；

(2)作三角形的内切圆；

(3)作圆的内接正方形和正六边形．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型

6．作图的一般步骤

尺规作图的基本步骤：

(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；

(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；

(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；

(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；

(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；

(6)结论：对所作图形下结论．

名师点睛☆典例分类[来源:Z_xx_k.Com]

考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图

【例1】(2019·贵州贵阳·3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是(　　)

A．2 B．3 C． D．

【举一反三】

(2018黑龙江绥化一模)如图，为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)

考点典例二、画已知直线的平行线，垂线

【例2】(北京市燕山区2018届九年级一模)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

请回答：该作图依据是__________________________________________________．

【例3】(2019•山东青岛•4分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：∠α，直线l及l上两点A，B．

求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．

【举一反三】

(2017浙江衢州第7题)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

A．① B．② C．③ D．④

考点典例三、画三角形

【例4】(2018江苏无锡模拟中考题)如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：

(1)作△ABC的外心O；

(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

【举一反三】

已知：线段a、c和∠β(如图)，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．(不写作法，保留作图痕迹)．

考点典例四、通过画图确定圆心

【例5】(2019•甘肃庆阳•8分)已知：在△ABC中，AB＝AC．

(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　25π　．

【举一反三】

(浙江省杭州市余杭区2018届九年级上学期期中) 如图，(1)作△ABC的外接⊙O(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．

课时作业☆能力提升

1．(2018广西贺州中考模拟)如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是(  )

A．∠DAE=∠B      B．∠EAC=∠C      C．AE∥BC      D．∠DAE=∠EAC

2．(2017-2018学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上10月考)用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是(  )

A．已知两条直角边                       B．已知两个锐角

C．已知一直角边和直角边所对的一锐角     D．已知斜边和一直角边

3．(2019•北京)已知锐角∠AOB，如图，

(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；

(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

(3)连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A．∠COM=∠COD      B．若OM=MN．则∠AOB=20° 

C．MN∥CD        D．MN=3CD

4．(2019•河北)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是

A． B． C． D．

5．(2017湖北随州)如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是(　　)

A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧

B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧

C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧

D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧[来源:学|科|网]

6．(浙江省温州市鹿城区第二十三中学2018学年八年级期中)如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是( )

A. SSS    B. SAS    C. ASA    D. AAS

7．(2018届浙江省杭州市淳安县中考模拟)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圆规等分的是(   )

①两等分    ②三等分     ③四等分       ④五等分

A. ②    B. ①②    C. ①②③    D. ①②③④

8．((2019•长春)如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是

A． B．

C． D．

9．(浙江省丽水市青田县八校联盟2018届九年级上学期第二次教学效果调研)已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是(    )

A. A    B. B    C. C    D. D

10．(2018湖北十堰中考模拟)如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是(   )

A．平分          B．垂直平分      

C. 垂直平分        D．平分

11．(2019•潍坊)如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；③连接交于点．下列结论中错误的是

A． B．

C． D．

12．(2019•宁夏)如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则__________．

13．(2018年北京怀柔初三数学二模)下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.

如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.

作法：如图，

(1)以AB为边在L2上方作等边△ABC；

(2)以C 为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点.

则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.

请回答:该作图的依据是______________________________________________________.

14. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)

   (1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；

   (2)在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .

15. (2019•金华)如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可．

16. (2019•吉林)图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：

(1)在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；

(2)在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD=∠CHD=90°．

31．(2019•武汉)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

(1)如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC．

(2)如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．

(3)如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．

．

17.(2017贵州六盘水第25题)如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.

(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).

(2)求的最小值.

18.(2017江苏盐城第24题)如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．

(1)如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；(不写作法与证明，保留作图痕迹)

(2)如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

19. (2019•哈尔滨)图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；

(2)在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．

26．(2019•济宁)如图，点和点在内部．

(1)请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)请说明作图理由．

20. (2019•湖北武汉•8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

(1)如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．

(2)如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．

(3)如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．