第04讲 整式的乘除与分解因式-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析）

这是一份第04讲 整式的乘除与分解因式-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第04讲：整式的乘除与分解因式考点梳理考点一：整式的乘法（1）同底数幂的乘法：（m,n都是正整数）即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（2）幂的乘方：（m,n都是正整数）即：幂的乘方，底数不变，指数相乘；（3）积的乘方：（n是正整数）即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘；整式的乘法：⑴单项式单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.考点二：乘法的公式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：（3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；考点三：整式的除法（1）同底数幂的除法：（a‡0 , m , n都是正整数，并且m>n）即：同底数幂相除，底数不变，指数相减；（2）规定：即：任何不等于0的数的0次幂都等于1；（3）整式的除法：①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则把连同它的指数作为商的一个因式；②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加；考点四：因式分解（1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解因式）；（2）公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；（3）因式分解的方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：②完全平方公式：③立方和：④立方差：⑶十字相乘法：⑷拆项法⑸添项法                  题型强化训练一、单选题1．（2021·湖北·广水市教学研究室八年级期末）已知10x＝5，10y＝2，则103x+2y﹣1的值为（　　）A．18 B．50 C．119 D．1282．（2021·山东禹城·八年级期末）下列各式中，计算正确的是（）A． B． C． D．3．（2021·四川雁江·八年级期末）下列式子中，正确的有(    )①m3∙m5=m15；  ②（a3）4=a7；  ③（-a2）3=-（a3）2；  ④（3x2）2=6x6A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2021·安徽太和·八年级期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（　　）A．， B．，4 C．3， D．3，45．（2021·安徽郊区·八年级期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A． B．C． D．6．（2021·贵州桐梓·八年级期末）若的值为，则的值为（）A． B． C． D．  7．（2021·重庆八中八年级期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．8．（2021·四川内江·八年级期末）已知，，，则代数式的值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（2021·广西玉州·八年级期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）A．1 B．4 C．11 D．1210．（2021·湖南古丈·八年级期末）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n211．（2021·山东临淄·八年级期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解12．（2021·四川东坡·八年级期末）式子化简的结果为（）A． B． C． D．  二、填空题13．（2021·云南江川·八年级期末）分解因式：=______．14．（2021·河南偃师·八年级期末）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为_____．15．（2021·山东临淄·八年级期末）已知，则代数式的值为_________．16．（2021·内蒙古扎兰屯·八年级期末）如果的乘积中不含项,则m为__________.17．（2021·山西省运城市实验中学八年级期末）已知可分解因式为，其中、均为整数，则_____.18．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若m+n=0，则；④若，则m=1．其中正确结论的序号是___________(填写你认为所有正确的结论的序号)． 三、解答题19．（2021·山东宁阳·八年级期末）分解因式（1）（2）（3）（4）20．（2021·安徽郊区·八年级期末）计算（1）；（2）．21．（2021·河南太康·八年级期末）先化简或先因式分解，再求值：（1），其中．（2），其中．22．（2021·安徽太和·八年级期末）某小区有一块长为()米,宽为()米的长方形地块(如图所示)，物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;(1)应绿化的面积是多少平方米?(2)当时求出应绿化的面积. 23．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，例如：为五次三项式，为二次四项式．（1）为________次________项式．（2）若关于、的多项式，，已知中不含二次项，求a+b的值．（3）已知关于的二次多项式，在时，值是，求当时，该多项式的值．24．（2021·云南祥云·八年级期末）回答下列问题：（1）填空：_____________；（2）填空：若，则_________；（3）若，，求的值．25．（2021·四川乐山·八年级期末）我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．（5）已知，，求的值．
参考答案1．B【分析】直接逆用同底数幂的乘法和除法展开计算即可．【详解】∵10x=5，10y=2，∴103x+2y-1=（10x）3×（10y）2÷10=125×4÷10=50，故选B．【点睛】本题考查了幂的有关运算性质，解题的关键是能够熟练逆用这些幂的运算性质，难度不大．2．C【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项计算即可．【详解】A.x与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.，故本选项错误；C.，故本选项正确；D.，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．3．B【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．【详解】解：①，故该项错误；②，故该项错误；③，，故该项正确；④，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，故选：B．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．4．A【分析】根据题意可得规律为，再逐一判断即可.【详解】根据题意得，a，b的值只要满足即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.5．D【分析】根据等积法可进行求解．【详解】解：由图可得：；故选D．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．6．B【分析】把进行完全平方，展开计算的值即可.【详解】∵=1，∴=1，∴-2=1，∴=3，∴=8，故选B.【点睛】本题考查了完全平方公式的展开计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.7．A【分析】根据因式分解的定义进行判断可得答案.【详解】解：根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式,B,D都不是乘积的形式，C含有分式，A符合因式分解的意义,故是因式分解,故选：A.【点睛】本题主要考查因式分解的定义：因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式.8．D【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.【详解】∵，，，∴，，，∴故选D.【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.9．C【详解】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.10．C【详解】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故选C． 11．C【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．12．C【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可．【详解】设S=，∴（2—1）S=（2—1）∴S====，故选C．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，善于观察题目的特点，通过添项构造连续的平方差公式使用条件是解题的关键．13．x（x+2）（x﹣2）．【详解】试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．14．4.5【详解】分析：首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a2m-n的值为多少即可．详解：∵am=3，∴a2m=32=9，∴a2m-n==4.5．故答案为4.5．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．15．49【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：49．【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．16．【分析】把式子展开，找到x2项的系数和，令其为0，可求出m的值．【详解】＝x3+3mx2-mx-2x2-6mx+2m,又∵的乘积中不含项,∴3m-2＝0，∴m=.【点睛】考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．17．．【详解】首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a、b的值，从而可算出a+3b的值：∵，∴a=－7，b=－8．∴．18．①③【详解】根据所给式子计算：①(1-3)[1+(-3)]=-2×(-2)=4，故正确；②；=故，所以该结论错误；③∵m+n=0∴m=-n∴==(1+n)(1-n)- (1-n) (1+n)=0故③正确．④∵∴=0∴m=1或n=-1故④错误．19．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式可得到答案；（2）利用分组分解法，把原式化为：，再利用平方差公式分解即可得到答案；（3）先计算整式的乘法，合并同类项后可得：，再利用完全平方公式分解因式即可得到答案；（4）先把原式化为：，再利用平方差公式分解为：，再次利用平方差公式把分解即可得到答案．【详解】解：（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查的是因式分解，掌握提公因式与公式法，分组分解法分解因式是解题的关键．20．（1）；（2）【分析】（1）由单项式的乘法和除法、积的乘方的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）由整式的加减乘除混合运算，先去括号，然后合并同类项，即可得到答案．【详解】解：（1）===；（2）==．【点睛】本题考查了整式的混合运算，单项式的乘法和除法、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．21．（1）；（2）【分析】（1）先利用乘法公式进行化简，再代入进行求解；（2）先提取（b+3），再利用完全平方公式因式分解，再代入求解.【详解】（1）===把代入原式= （2）==把代入原式=【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的应用.22．（1）；（2）63.【分析】（1）依据应绿色的面积=矩形面积-正方形面积列式计算即可；（2）将a=3，b=2代入化简后的结果，最后，依据有理数的运算法则进行计算即可.【详解】(1) 依题意得：绿化的面积=答：绿化的面积为（）平方米；(2) 当时，平方米.答：当时应绿化的面积为63平方米.【点睛】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.23．（1）六，四；（2）；（3）．【分析】（1）根据一个多项式的次数为，项数为，我们称这个多项式为次多项式或者次项式，即可解答；（2）计算出，根据不含二次项，即二次项的系数为0，求出，的值，即可解答；（3）先将关于的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出、的值，进而求出当时，该多项式的值．【详解】解：（1）为六次四项式；故答案为：六，四；（2），中不含二次项，，，，，；（3）．是关于的二次多项式，即．又当时，原代数式的值是解得：．关于的二次多项式当时，原式．【点睛】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的有关概念．24．（1）2；2；（2）23；（3）a2＋=7．【分析】（1）根据完全平方公式变形解答；（2）利用（1）的第一个关系式计算即可得到答案；（3）将已知方程变形为a＋＝3，利用（1）的第一个关系式计算即可．【详解】解：（1）∵，∴2；∵，∴；根据答案为：2,2；（2）=23，故答案为：23；（3）∵a2－3a＋1＝0且a≠0，两边同除以a得：a－3＋＝0，移项得：a＋＝3，∴a2＋＝(a＋)2－2＝7．【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握完全平方公式，正确变形进行计算是解题的关键．25．（1）；（2），；（3）；（4）；（5）【分析】（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案；（2）由利用长方体的体积公式直接可得答案；（3）提取公因式，即可得到答案；（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；（5）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案．【详解】解：（1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为所以截去后得到的几何体的体积为：故答案为：（2）由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，所以长方体③的体积为故答案为：，（3）由题意得：故答案为：（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：故答案为：（5），，，