高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式获奖ppt课件

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1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决 一些简单的问题.
奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？
二、等差数列的通项公式
三、等差数列的实际应用
问题1　(1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000,6 500,7 000,7 500,8 000，8 500.(2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986，得到数列1682,1758,1834,1910,1986.以上两个数列有共同特征吗？
提示　对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500,8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于数列(2)：1758－1682＝76，…，有同样的取值规律.
等差数列的定义对于一个数列，如果从第 项起，每一项与前一项的差都是同一个 ，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母d表示.
注意点：(1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋).公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒.(2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.
例1　(多选)下列命题中正确的是A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列C.数列{2n＋1}是等差数列D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
解析　A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.
反思感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数.
跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C. D.－3，－2，－1,1,2
解析　由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；
D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
等差数列的通项公式若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为 .
an＝a1＋(n－1)d
注意点：(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝ ，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
例2　(1)求等差数列10,8,6，…的第20项；
解　由于a1＝10，d＝－2，∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋.∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解　由于a1＝2，d＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋.由7n－5＝100，得n＝15.∴100是这个数列的第15项.
例3　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式.
解　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋.
延伸探究　本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解　设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，所以153是所给数列的第45项.
反思感悟　等差数列的通项公式及其应用(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项.
跟踪训练2　在等差数列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解　设{an}的公差为d，
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋，所以a10＝13－10＝3.
例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？
解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.
反思感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.
跟踪训练3　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.
解　设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋).∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
1.知识清单：(1)等差数列的概念、判定.(2)等差数列的通项公式.(3)等差数列通项公式的应用.2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.3.常见误区：在具体应用问题中项数不清.
1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于
2.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于A.－9 B.－8 C.－7 D.－4
解析　∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B.
3.在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝_____.
解析　因为a5＝11，d＝－2，所以a1＋4×(－2)＝11，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.令－2n＋21＝1，得n＝10.
4.等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
解析　a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1.
1.(多选)下列数列中，是等差数列的为A.1,3,5,7,9 B.2,0，－2,0，－6,0，…
2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1
解析　已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.
3.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于A.15 B.22 C.7 D.29
解析　设{an}的首项为a1，公差为d，
解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
4.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为A.52 B.51 C.50 D.49
解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，
5.首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是
解析　该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d，
6.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得________斤？
解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依次类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
7.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第_____项.
解析　由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，令2n－7＝53，解得n＝30，所以53是数列{an}中的第30项.
8.等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是______.
解析　设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，
又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
9.在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式.
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.方法二　由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，
10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝(1)证明：数列{bn}是等差数列；
证明　由已知an＋1＝2an＋2n，
即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，
11.在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
解析　设等差数列{an}的公差为d，
解得d＝2.∴an＝2n－11(n＝1,2，…)，Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11).当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.故数列{Tn}有最大项T4，无最小项.
14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3， ①3a1＋21d＝4， ②
15.已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝____.
解析　易知an≠0，∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，
16.已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2；
解　由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)求数列{bn}的通项公式；
解　由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解　因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.