高一数学北师大版选修2-1 第三章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是(　　)A．an＝2n　　　　　　　　　 B．an＝2n＋1C．an＝2n－1      D．an＝2n＋1答案：B2．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形      B．直角三角形C．钝角三角形      D．等腰三角形解析：由sin Asin C<cos Acos C，可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．答案：C3．有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为(　　)A．大前提错误      B．小前提错误C．推理形式错误     D．非以上错误答案：A4．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是(　　)①与已知矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理、法则矛盾　④与事实矛盾A．①②       B．①③C．①③④       D．①②③④解析：根据反证法的证明步骤：反设，正确推理，导出矛盾，①②③④给出的矛盾都可以．答案：D5．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了(　　)A．归纳推理      B．类比推理C．没有推理      D．演绎推理答案：B6．下面几种推理是合情推理的是(　　)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由菱形的性质，推出正方形的性质；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②       B．①③④C．①②④      D．②④解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．答案：C7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是(　　)A．各正三角形内的任一点B．各正三角形的中心C．各正三角形边上的任一点D．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案： B8．用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是(　　)A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至少有一个偶数D．假设a，b，c至多有一个偶数解析：“a，b，c中至少有一个偶数”的否定应为“a，b， c中至多有0个偶数”，即“a，b，c都不是偶数”．答案：B9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)A．大于0        B．小于0C．不小于0      D．不大于0解析：由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)，知ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)≤0.答案：D10．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定(　　)A．大于零      B．等于零C．小于零      D．正负都有可能解析：因f(x)＝x3＋x是增函数且是奇函数，由a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．用三段论证明f(x)＝x3＋xcos x为奇函数的大前提是_______________________．答案：若y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数12．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”．答案：x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)13．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即1∶8.答案：1∶814．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn} 中，写出相类似的性质．解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N＋)①通项bn＝bm·λn－m；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b；④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn ′≠0)构成等比数列．16．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N＋)． (1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；(2)根据(1)的结论用三段论证明数列{an}是等比数列．解：(1)由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝；a3＝；a4＝，猜想an＝n－1(n∈N＋)．(2)对于数列{an}，若＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列，……………大前提因为数列{an}的通项公式an＝n－1，且＝，………………………………小前提所以通项公式为an＝n－1的数列{an}是等比数列．………………………………结论17．(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B>0.又∵cos B＝，∴只需证明a2＋c2－b2>0.∴即证a2＋c2>b2.∵a2＋c2≥2ac，∴只需证明2ac>b2.由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)，∴只需证明b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立，在△ABC中，最后一个不等式显然成立．∴B为锐角．法二(综合法)由题意：＝＋＝， 则b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(∵a＋c>b)．∵cos B＝≥>0，又y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴0<B<，即B为锐角．18．(本小题满分14分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.